高阶系统时域分析

第四节高阶系统的时域分析第三章时域分析法2/8/20241项目内容教学目的掌握高阶系统的阶跃响应时域表达形式，运动的五种模态，高阶系统近似为二阶系统的条件。教学重点高阶系统的降阶处理方法以及matlab图形分析方法。教学难点高阶系统复数域表达式的部分分式形式的推导。讲授技巧及注意事项尽可能将表达式转换过程中所使用的数学基础讲清楚，再将表达式和图形一一对应起来。3-4高阶系统的时域分析2/8/20242描述系统的微分方程高于二阶的系统为高阶系统。工程上通常把高阶系统采用闭环极点的概念适当地近似成低阶系统（如二阶或三阶）进行分析。原因：1、高阶系统的计算比较困难；2、在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往往是不必要的，甚至是无意义的。2/8/20243一、高阶系统的单位阶跃响应进行拉氏变换可得：2/8/20244进行拉氏反变换：在单位阶跃信号下的响应：2/8/202452/8/20246结论(性能分析)：1、高阶系统的时间响应，由一阶惯性子系统和二阶振荡子系统的时间响应函数项组成；2、如果高阶系统所有闭环极点都具有负实部，随着t的增长，上式的第二项和第三项都趋于0，系统的稳态输出为A0。2/8/20247按照一阶和二阶暂态响应指数的衰减系数的正负值，将暂态响应的运动形式分为5个模态：

pj<0一阶收敛模态二阶模态

pj>0一阶发散模态二阶收敛模态二阶等幅振荡模态二阶发散模态运动的模态一阶模态2/8/20248零极点分布图：传递函数：-pj0运动模态12/8/20249零极点分布图：传递函数：运动模态2pj02/8/202410零极点分布图：传递函数：运动模态3-ajb02/8/202411零极点分布图：传递函数：运动模态4jb02/8/202412零极点分布图：传递函数：运动模态5ajb02/8/202413运动模态总结

j0j0j0j0j02/8/202414结论3：响应曲线的类型由闭环极点决定如果有一个闭环极点位于s右半平面，则由它决定的模态是发散的，在其他模态(位于s左半平面的极点决定)，随t的推移最终趋于其对应的稳定值的时候，它的作用就会显现出来，导致整个系统对外显示是发散的。2/8/202415结论4：响应曲线的形状和闭环极点和零点有关。

对于稳定的系统，闭环极点负实部的绝对值越大(极点距虚轴愈远)，则其对应的响应分量(模态)衰减的越迅速，否则，衰减的越慢。(和极点有关)在留数的计算过程中，要用到C(s),而C(s)中包含有闭环的零点，因此不可避免地要影响到留数的值，而留数的数值实际上就是指数项的系数。(和零点有关)2/8/202416a.零极点相互靠近，则对Ai的影响就越小，且离虚轴较远(衰减速度快)，对c(t)影响越小；b.零极点很靠近，对c(t)几乎没影响；c.零极点重合——偶极子，对c(t)无任何影响；d.极点pj附近无零点，且靠近虚轴，则此极点对c(t)影响大。进一步理解

高阶系统的瞬态特性主要由系统传递函数中那些靠近虚轴而又远离零点的极点(主导极点)来决定。2/8/202417主导极点1、离虚轴最近;2、附近没有零点存在;3、其他所有极点远离虚轴(与虚轴的距离都在此极点与虚轴的距离的五倍以上)。主导极点主导极点二、高阶系统的二阶近似2/8/202418周围没有闭环零点：其输出响应的模态在总的响应中占的比重大(没有其它零点把它的作用抵消掉)；原因：离虚轴近：由此极点决定的指数项衰减缓慢，等其它闭环极点随时间的推移作用消失后，其作用仍然存在，并逐渐显现出来；其它闭环极点远离虚轴：其它闭环极点决定的模态和主导极点决定的模态相比衰减很快。

高阶系统的瞬态特性主要由系统传递函数中的主导极点决定。2/8/202419偶极子：wjss-s5-偶极子作用：通过增加含有零点的微分环节使某些极点的作用减小或消失；或者增加含有极点的惯性环节使某些零点的作用减小或消失。定义：一对非常靠近的零、极点会使该极点的对应留数很小，其在系统动态响应中的作用近似相互抵消，这对零极点叫做偶极子。2/8/202420高阶系统单位阶跃响应类似于二阶响应tt1r(t)c(t)2/8/202421

高阶系统的主导极点常常是共轭复数极点，因此高阶系统可以常用主导极点构成的二阶系统来近似。相应的性能指标可按二阶系统的各项指标来估计。在设计高阶系统时，常利用主导极点的概念来选择系统参数，使系统具有预期的一对共轭复数主导极点，这样，就可以近似的用二阶系统的性能指标来设计系统。2/8/202422高阶系统的降阶简化思路：1、去除传递函数中影响较小的极点；2、利用偶极子概念的零极点抵消作用，最终降为二阶或三阶系统。注意保持系统稳态放大倍数不变，即Φ(0)不变或A0不变。2/8/202423例：

已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的可能性。

s=-1为主导极点，忽略极点s=-10的影响。为了保持G(0)值不变，应将系统简化为：简化前后稳态增益不变2/8/202424指令：step(tf(1,[1,1])),holdonstep(tf(10,conv([1,1],[1,10])))2/8/202425例：

已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的可能性。

指令：[P,Z]=PZMAP(g)2/8/202426系统传递函数可近似为2/8/202427例：

已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的可能性。

指令：[P,Z]=PZMAP(g)P=-5.0000-1.6506-0.1747+1.5469i-0.1747-1.5469iZ=-4pzmap(g)2/8/202428去掉偶极子后的曲线与原曲线的比较：2/8/202429去掉非主导极点和偶极子后的曲线与原曲线的比较：2/8/202430例：2阶系统的传递函数为

附加零点后的传函为

附加极点后的传函为

2/8/202431三个系统的稳态增益相等。2/8/202432从变化中理解高阶系统的动态响应：1.附加闭环零点使系统响应加快，tr减小，超调量增大。相