高等数学课件12第二节 数列的极限

第二节数列的极限一、数列极限的定义二、收敛数列的性质1/2811、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、数列极限的定义21、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、数列极限的定义3“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、数列极限的定义4“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、数列极限的定义5“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、数列极限的定义6“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、数列极限的定义7“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、数列极限的定义8“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、数列极限的定义9“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、数列极限的定义10正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积3/2811例如4/2812

例1（1）a,aq,aq2,aq3,…,aqn-1,….

其中a,q为常数且q0。一般项公式为（2）（3）xn=aqn-1。此数列简记为{aqn-1}。。LL,)1(,,34,21,21nnn--+13在几何上一个数列可看成实数轴上的一个点列，也可看成实数轴上的一个动点注：2.数列可看成是以自然数为自变量的函数：xn=f(n).6/28147/28数列极限的直观定义

对{xn}:x1,x2,x3,…,xn,…

若随着n的无限增大(记作n

)，有xn无限接近某个定数a，(允许某些xn甚至全部xn等于a)，则称{xn}有极限(为a)或收敛(于a)，记作:

xn=a或xna(n)158/28例2

讨论{

}的极限解

因为16问题:

怎样用数学语言来精确地刻划数列极限的概念，即表达：随着项数n的无限增大，有项xn无限接近(或等于)a？17

随着n，有xn无限接近(或等于)常数a，也就是|xn-a|无限接近(或等于)0任给定正数，不论它有多么小，只要n足够大（n>某个N），总可以使|xn-a|<。于是有下面数列极限的定义（用“

—N”语言表达）18如果数列没有极限,就说数列是发散的.2、精确定义19注意：

1）（>0）必须可以任意小，但给定之后就确定下来了。因为可以任意小，所以/2，2

，

2等也是任意小的数。2）N与有关。3）若N()存在，则必不唯一。4）几何解释：20

5)收敛性和极限值都与数列中有限个项无关。可以任意改动、增删数列中有限个项，不影响其收敛性和极限值。

数列极限的定义未给出求极限的方法.注意：13/2821例3证所以,22特别注意:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定说明相应的N存在,但不必求出最小的N.23例4证所以,说明:

常数列的极限等于同一常数.17/2824例5证25例6证26二、收敛数列的性质1、有界性例如,有界；无界。20/2827定理1收敛的数列必定有界.证由定义,推论

无界数列必定发散.21/2828例7

{n+(-1)nn}:0,4,0,8,0,12,…是无界的,注意收敛有界;发散

无界.收敛有界;发散

无界.

{n+(-1)nn}发散.

22/2829例8证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.{xn}发散.证毕。23/28302、唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.证毕。24/28313.保号性.若且有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)则则324、子数列的收敛性注意：例如，33定理3数列{xn}收敛于a

{xn}的任一子数列都收敛于a．26/28推论

若{xn}有发散子列或有两个收敛于不同极限的子列

{xn}发散.34奇子列{x2k-1}：由{xn}中所有奇数项组成的子列。偶子列{x2k}：由{xn}中所有偶数项组成的子列。35思考1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.36因为子列{x2n}={4n},无界,

{x2n}发散.

{xn}发散.27/28发散!37三、小结1.数列:定义，几何表示，主