高等量子力学-01+量子力学中的对称性

高等量子力学２００４年９月1讲授内容量子力学中的对称性角动量理论二次量子化方法路径积分相对论量子力学初步2第一章量子力学中的对称性２００４年９月3§1.1

对称性在量子力学

中的表述4力学体系；力学量；哈密顿量力学体系→一定物理条件下的微粒子体系力学量→坐标，动量，角动量，宇称，能量等前几种对各种力学体系都相同

→算符形式及本征值谱都相同

哈密顿量→随力学体系的不同而不同5位能算符；哈密顿量例：自由运动库仑场

→哈密顿量表征了一个力学体系的特性

不仅如此————6哈密顿量与薛定谔方程哈密顿量还支配着体系的演化进程体系所处状态随时间的演化遵守薛定谔方程其中正是体系的哈密顿量

→哈密顿量在量子力学中的地位非常重要！7ErwinRudolfJosefAlexanderSchrödingerBorn:12Aug1887inViennaDied:

4Jan1961inVienna●1933年获诺贝尔物理学奖●薛定谔猫—Schrödinger'scatparadox，athoughtexperiment8哈密顿量与对称性力学体系的特性之一是对称性。

对称性又称不变性

——完全由体系的哈密顿量所决定。在分析量子力学中的对称性之前→9对称性－认识发展史人们对对称性的认识可追溯到远古时期最早注意到的当是自然界中普遍存在的空间对称现象——镜像对称，中心对称等10对称性－认识发展史自然界中的对称性——银河系11对称性－认识发展史自然界中的对称性——最完美的环状星系12对称性－认识发展史

对称的概念被抽取出来——最初应用于打造石器和制作装饰物13对称性－认识发展史随着人类文明的发展，对称性概念广泛进入建筑、雕塑、音乐、文学等领域。14对称性－认识发展史建筑中的对称性——吉萨金字塔15对称性－认识发展史建筑中的对称性——吉萨金字塔16对称性－认识发展史建筑中的对称性——紫禁城17对称性－认识发展史建筑中的对称性——古罗马斗兽场18对称性－认识发展史进入科学领域——古希腊时期

古希腊人认为球是最完美的图形

特点——在以下操作下不变：１、绕直径旋转任意角度；２、相对于过球心的平面镜作镜像；３、将球面上每一点与球心连线并在延长线上取到球心距离与该点到球心距离相等的点组成图形。这就是对称性！分别为旋转、镜像和中心对称——均属于直观上的几何对称。19对称性－认识发展史随着经典物理学的建立，对对称性的认识达到新的高度，揭示了对称性（不变性）与守恒量之间的关系。20对称性－认识发展史在近代物理学的发展中，爱因斯坦的伟大贡献之一——

指出了对称性在物理学中的重大意义21AlbertEinsteinBorn:14March1879inUlmDied:

18April1955inPrinceton●1921年获诺贝尔物理学奖forhisworkonthephotoelectriceffect(1905)●SpecialTheoryofRelativity(1905)●GeneralTheoryofRelativity(1915)22对称性－认识发展史量子力学建立之后，人们对对称性的认识更加深刻。

对称性（不变性）守恒量空间平移空间旋转空间反演时间平移动量角动量宇称能量23对称性－认识发展史

研究对称性的意义：１、守恒量［好量子数］，

跃迁的选择定则，

能级的简并性，

——均取决于体系的对称性２、利用对称性对体系做定性分析24哈密顿量与对称性●对称性分类：几何对称；动力学对称●量子力学中的对称性→哈密顿量在某种变换下的不变性●变换类型时空坐标的变换—平移，转动等；表象变换；规范变换；全同粒子的置换；……25对称性的数学表达——一般讨论设有变换

—线性；与时间无关；存在逆若体系在此变换下不变→

变换前后波函数满足同一运动方程26对称性的数学表达——一般讨论进而有——量子力学中对称性的数学表达式27对称性的数学表达——一般讨论●每种变换都对应着一个算符，若哈密顿量具有这种变换不变性，则

→可能存在某个守恒量！●Noether‘sTheorem［1915］：对每一种对称性，必存在一个相应的守恒定律，反之亦然。

只对连续变换的对称性才成立28EmmyAmalieNoetherBorn:23March1882inBavariaDied:14April1935inPennsylvania

ItwasherworkinthetheoryofinvariantswhichledtoformulationsforseveralconceptsofEinstein'sgeneraltheoryofrelativity.PraisedbyEinsteinas“penetratingmathematicalthinking”29对称性的数学表达——一般讨论●Wigner指出：量子力学中的对称性变换有两种——幺正变换和反幺正变换

幺正变换不变性对应一个守恒定律反幺正变换则不然●幺正变换：时间平移；空间平移；空间转动等反幺正变换：时间反演30EugenePaulWignerBorn:17Nov1902inBudapestDied:

1Jan1995inPrincetonReceivedtheNobelPrizeforPhysicsin1963——In1933,hetookaveryimportantstepininvestigatingnuclearforce

31HermannKlausHugoWeylBorn:9Nov1885nearHamburgDied:8Dec1955inZürichWeyl'sowncomment,althoughhalfajoke,sumsuphispersonality——

“Myworkalwaystriedtounitethetruthwiththebeautiful,butwhenIhadtochooseoneortheother,Iusuallychosethebeautiful.”32Wigner与Weyl

Weyl'sideasdifferedfromthoseofWignerinthathewantedtoapplygrouprepresentationstogetabetterunderstandingofthefoundationsofquantummechanicsingeneralandnotsomuchtogaininsightintoparticularproblems.

33杨振宁（ChenNingYang）出生：1922年9月22日合肥●1957年获诺贝尔物理学奖

——与李政道