圆的有关性质（讲练）（教师版含解析）-2023年中考一轮复习讲练测（浙江专用）

2023年中考剧告总复习一给饼稼制（断注专用）

专做23圆的彳关植质（耕位）

1.了解圆的概念，理解与圆有关的概念；

2.理解不在同一直线上的三点上的三个点确定一个圆；

3.理解垂径定理、圆心角定理、圆周角定理以及圆内接四边形的有关性质;

4.会利用与圆有关的性质进行圆中简单的计算和证明.

一.选择题（共5小题）

1.在OO中，/8OC=130°,点A在BAC上，则N84C的度数为（）

B.65°C.75°D.130°

【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出N2AC的度数.

【解答】解：•.•/^。。二门。。，点4在BAC上,

ZBAC=AzBOC=-x130°=65°,

故选：B.

2.（2022•温州）如图，AB,AC是OO的两条弦，于点。，OEJ_AC于点E,连结。8,OC.若N

£>OE=130°,则/BOC的度数为（)

100°C.105°D.130°

【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得NBAC=50°,再根据圆周角定理得到/BOC=2/R4C,

进而可以得到答案.

【解答】解：'：OD1AB,OE1AC,

：.ZADO=90°,ZA£O=90°,

130°,

84c=360°-90°-90°-130°=50°,

，NBOC=2NBAC=100°,

故选：B.

3.(2020•绍兴)如图，点A,B,C,D,E均在G)O上，ZBAC=\50,ZCED=30°,则NBOO的度数

B.60C.75D.90

【分析】首先连接BE,由圆周角定理即可得N8EC的度数，继而求得NBEO的度数，然后由圆周角定

理，求得N80。的度数.

【解答】解：连接BE,

ZBEC=ZBAC=\5°,ZCED=30°,

:.NBED=NBEC+NCED=45°,

：.ZBOD=2ZBED=90°.

故选：D.

4.（2020•杭州）如图，已知2C是。。的直径，半径OAJ_2C,点。在劣弧AC上（不与点A,点C重合）,

8。与。4交于点E.设/AE£>=a,/40£>=0,则（）

A.3a+p=180°B.2a+p=180°C.3a-0=90。D.2a-0=90。

【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用a表示NCBD,进而由圆心角与圆周角关系，用a表示N

COD,最后由角的和差关系得结果.

【解答】解：•.•0AJ_8C,

.../AOB=N4OC=90°,

：.ZDBC=90°-NBEO=90°-ZAED=90°-a,

AZCOD=2ZDBC=180°-2a,

VZAOD+ZCOD=90°,

Ap+180°-2a=90°,

；.2a-0=9O°,

故选：D.

c

5.（2020•湖州）如图，已知四边形4BC£＞内接于。0,ZABC=10°,则NAOC的度数是（）

【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论.

【解答】解：•••四边形A8CQ内接于。0,NABC=70°,

...N49C=180°-乙48c=180°-70°=110°,

故选：B.

填空题（共4小题）

6.（2020•湖州）如图，已知A8是半圆。的直径，弦CQ〃AB,CD=S,48=10,则CD与AB之间的距离

【分析】过点O作OH1CD于H,连接OC,如图，根据垂径定理得到CH=DH=4,再利用勾股定理

计算出OH=3,从而得到C。与AB之间的距离.

【解答】解：过点。作O"，C£＞于H,连接OC,如图，则CH=£＞H=上8=4,

2

在RtZXOC”中，。4=而汇m=3,

所以C。与A6之间的距离是3.

故答案为3.

HD

7.（2022•湖州）如图，已知A8是00的弦，NAOB=120°,OCA.AB,垂足为C,OC的延长线交于

点。.若/AP。是众所对的圆周角，则NAP若的度数是30°

【分析】由垂径定理得出俞=箴，由圆心角、弧、弦的关系定理得出NAOO=NB。。，进而得出NAO。

=60°,由圆周角定理得出NAPD=2>/AOO=30°,得出答案.

2

【解答】解：'：OCYAB,

AD=BD,

:.ZAOD=ZBOD,

；NAO3=120°,

AZAOD=ZBOD=^ZAOB=60a,

2

AZAPD=XZAOD=1.X60°=30°,

22

故答案为：30°.

8.（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABC。的一条对角线，点。关于AC的对称点E在边8c上,

连接AE.若/ABC=64°,则/84E的度数为52°.

（分析】宜接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案.

【解答】解：•..圆内接四边形4BCD，

.".ZD=180°-ZABC=116°,

,/点D关于AC的对称点E在边8c上,

.*.ZD=ZXEC=116°,

.,.ZBAE=116°-64°=52°.

故答案为：52°.

9.（2019•嘉兴）如图，在。。中，弦AB=1,点C在AB上移动，连接OC,过点C作CCOC交。。于

点D,则CD的最大值为

【分析】连接O/），如图，利用勾股定理得到C。，利用垂线段最短得到当OC,48时，OC最小，再求

22

:,CD=VOD-OC=Vr2-0C2,

当OC的值最小时，CD的值最大，

而OCLAB时，OC最小，此时。、B两点重合,

:.CD=CB=^AB=1.X1=A,

222

即CO的最大值为工，

2

故答案为：1.

2

1.圆的有关概念

(1)圆：平面上到定息的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径.以点

0为圆心的圆，记做。0.

(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.连结圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做

直径，直径是圆中最长的弦.

(3)与圆有关的角：

①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

②圆周角：顶点在圆上,两边分别和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的

一半.

(4)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.外心也是三角形三边史垂线的交点.

(5)圆的内接四边形：如果一个四边形的左仝皿在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这

个圆叫做四边形的外接圆.圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角.

2.圆的有关性质：

(1)圆是轴对称图形,其对称轴是任意•条过圆心的宜线.圆是中心对称图形,对称中心为圆心,圆绕着它

的圆心旋转任意一个角度都能和原来的圆重合.

(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.

推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.

推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.

(3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等,那么它们所对应的其

余各组量都相等.

(4)圆心角与圆周角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的二生.

推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角和笠；相等的圆周角所对的弧也相等.

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直比，90。的圆周角所对的弦是直径.

(5)确定圆的条件：①已知圆心、半径；②已知直径；③不在同•条宜线上的三点.

者鱼一、圆的松钢

例7(2022•南山区校级模拟)数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识,

说法正确的是()

准呈缺口

A.学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”

B.车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”

C.射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”

D.地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”

【分析】根据两点确定一条直线，圆的认识，菱形的性质以及矩形的性质进行判断即可.

【解答】解：A.学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“四边形的不稳定性”，故本

选项错误，不合题意：

B.车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”，故本选项错误，不合题意；

C.射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故本选项正

确，符合题意

。.地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故本选项错误，不合题意.

故选：C.

【变式训练】

1.（2022•路南区三模）在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（）

A.无数个B.3个C.2个D.I个

【分析】在平面内与点P的距离为1。”的点在“以点P为圆心，1cm为半径的圆”上.

【解答】解：在平面内与点P的距离为\cm的点的个数为：所有到定点P的距离等于\cm的点的集合，

故选:A.

2.（2022•元宝山区一模）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（）

A.圆的直径是半径的2倍

B.同一个圆所有的直径都相等

C.圆的周长是直径的皿倍

D.圆是轴对称图形

【分析】井盖一般都做成圆形的是因为圆内最长的线段是圆的直径，而且都相等，所以井盖不会掉到井

里面.

【解答】解：生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里，这是因为同一个圆里所有的直

径都相等.

故选:B.

3.（2022•礼县模拟）如图，。。的直径BA的延长线与弦。C的延长线交于点E,且CE=O8,已知/£＞。2

=72°,则NE等于（）

D

c

A.36°B.30°C.18°D.24°

【分析】根据圆的半径相等，可得等腰三角形；根据三角形的外角的性质，可得关于/E的方程，根据解

方程，可得答案.

ZE=ZI.

由N2是的外角，得N2=NE+N1=2N£.

由OC=OO,得NO=/2=2/E.

由N3是三角形△。£>£的外角，得N3=E+/£>=/E+2NE=3NE.

由N3=72°，得3NE=72°.

解得NE=24°.

故选：D.

4.（2022•平泉市二模）如图，计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比.若

圆的半径为1,当任务完成的百分比为x时，线段的长度记为d（x）,下列描述正确的是（）

A.d(25%)=1

B.当x>50%时，d(x)>1

C.当时，d(xi)>d(X2)

D.当xi+x2=100%时，d(xi)=d(X2)

【分析】A、求出MN的长，即可判断；

8、错误，用反例说明即可；

C、错误，用反例说明即可；

D、正确.此时两点关于OM对称.

【解答】解：4、d(25%)=a，本选项错误，不符合题意；

8、当x>50%时，，d(x)>1,错误当x》三双％时，d(x)W1,本选项错误，不符合题意；

3

C、当xi>X2时，d(XI)>d(X2)，当xi=25%,12=75%时，d(xi)=d(X2),本选项错误，不符合题

息、；

D、当用+12=100%时，d(xi)=d(12)，正确，本选项符合题意.

故选：D.

星直二、囊核炙理

例2(2022•桥西区模拟)如图，某同学测试一个球体在水中的下落速度，他测得截面圆的半径为5cm,假

设球的横截面与水面交于A,8两点，AB=Scm.若从目前所处位置到完全落入水中的时间为4s,则球

体下落的平均速度为()

A.0.5cm/sB.0.75cm/sC.\cmlsD.2cmls

【分析】设圆心为O，连接OB,过点。作OCLAB,交。。于点C,交AB于点Q,根据垂径定理及勾

股定理可求出8。、O。、CO长，从而利用速度=路程+时间计算结果.

【解答】解：设圆心为。，连接。8,则。8=5,

B

4

过点。作0CL4B,交。。于点C,交AB于点。，则8。=/杷=4的，

在RtZXB。。中，OD=^52_42=3cm,

：.CD=OC-0D=5-3=2cm,

从目前所处位置到究全落入水中，球体下落的平均速度为2+4=0.5的/s.

故选：A.

【变式训练】

1.(2022•吉阳区模拟)如图，AB是。。直径，弦CO_LAB,垂足为E,若AB=10,8=8,则AE等于

()

【分析】由CD的长根据垂径定理可知CE的长，利用勾股定理可将弦心距OE的长求出，进而可求出

AE的长.

：.CE=4.

VAB=10,

：.OC=^AB=5.

2

在RtZXOCE中，C£2+O£2=OC2,即：42+O£2=52,

解得：0E=3,

.•.A£=OA+OE=5+3=8.

故选：C.

2.（2022•东西湖区模拟）如图，正方形A8CQ和正方形BEFG的顶点分别在半圆。的直径和圆周上，若

BG=4,则半圆。的半径是（）

【分析】连接OC,OF,设OB=x,则4B=BC=2x,在Rt/XBCO和Rt△尸EO中利用勾股定理列出等式

计算x的值，进一步求出半径即可.

【解答】解：连接OC,OF,

:四边形ABCD是正方形且顶点。和C在圆上，

：.AB=BC=2x,/OBC=90°,

；8G=4,四边形BEFG是正方形，

：.OE=x+4,EF=BE=BG=4,NFEB=90°,

在RtABCO中，"="+（2x）2g，

在Rt^FEO中，"=Y（X+4）2+42WX2+8X+32,

•：OF=OC,

・・・5/=/+8x+32,

解得x=4或x=-2（舍去）

当x=4时，0。=小而，

则半圆0的半径是4^5.

故选：C.

3.（2022•雄县一模）已知。0的直径C£>=10,8与。O的弦48垂直，垂足为且AM=4.8,则直径

C£>上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）

A.1个B.3个C.6个D.7个

【分析】利用勾股定理得出线段和AC的长，根据垂线段的性质结合图形判断即可.

【解答】解：TC。是直径，

0c=OQ=ko=2X10=5,

22

'."ABLCD,

，NAMC=NAMO=90°,

：AM=4.8,

；•OM=^52-4.82=14,

；.CM=5+1.4=64,M£>=5-14=3.6,

.,MC=^4.82+6.42=8'AD=^.82+3.62=6>

：AM=4.8,

点到线段的最小距离为4.8,最大距离为6,则A点到线段M/5的整数距离有5,6,

A点到线段MC的最小距离为4.8,最大距离为8,则A点到线段MC的整数距离有5,6,7,8,

直径8上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有6个，

故选：C.

4.（2022•温州校级模拟）如图，是一架无人机俯视简化图，MN与PQ表示旋翼,旋翼长为24c/n,A,B为

旋翼的支点，各支点平分旋翼，飞行控制中心。到各旋翼支点的距离均为30a”，相邻两个支架的夹角均

相等，当无人机静止且支架与旋翼垂直时，M与尸之间的距离为（）

N

A.30-12我B.30-12A/5C.15-3百D.15A/5-24

【分析】如图，延长8P交AM的延长线于点J,连接OP,OM,OJ,OJ交PM于点K.首先求出只/=

K/=1()J§-12,再求出PK,可得结论.

【解答】解：如图，延长8P交AM的延长线于点J,连接OP,OM,OJ,OJ交PM于点、K.

•：OJ=OJ,OA=OB,ZOAJ=ZOBJ,

.,.RtAOAJ^RtAOBJ(.HL),

：.JB=JA,ZJOA=ZJOB=1.ZAOB=30°,

2

'：OA=30cm,

：.AJ=BJ=OB'tan300=10我(cm),

'：PB^AM=\2cm,

:.PJ=JM=(l(y/3-12)cm,

,JOJLPM,

：.PK=KM=PJ-cos30°=(1()V3-12)X退=(15-6禽)cm,

2

:.PM=2PK=(30-12V3)cm.

故选：A.

5.(2022•贺州二模)一装有某种液体的圆柱形容器，半径为6c〃?，高为18cm.小强不小心碰倒，容器水平

静置时其截面如图所示，其中圆心。到液面A8的距离为3sb若把该容器扶正竖直，则容器中液体的

高度为()

A4兀-3aR12K-9V3-12K-9V3n12冗-9y

12兀n52cir

【分析】根据体积不变，利用扇形面积公式求解即可.

【解答】解：连接。4,OB,如图,

根据题意得：0A=6cw,弦心距0C=3a”,

—人"=*号3

AZAOC=60°,则NAOB=120°,

.".AC=3^/3cm,AH=2AC=6'J^cm,

120万X62

2

阴影南彩A-yX6V3X3=12H-9V3(cm).

•'•S=50AB-SOAB=~~360

设把该容器扶正竖直后容器中液体的高度为〃（C/77）,

依题意得：6?兀h=18（12兀-9时），

.,12兀

■*h=2H，

故选：B.

6.（2022•东海县一模）我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，所以圆是“等

宽曲线”，除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如莱洛三角形（如图1）,它是分别以等边

三角形的每一个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形.图

2是等宽的莱洛三角形和圆形滚木的截面图.有下列4个结论：

图1图2

①莱洛三角形是轴对称图形；

②图1中，点A到弧BC上任意一点的距离都相等；

③图2中，莱洛三角形的周长、面积分别与圆的周长、面积对应相等；

④使用截面的莱洛三角形的滚木搬运东西，会发生上下抖动.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①©©C.②®®D.①②③

【分析】根据莱洛三角形、圆的性质逐项进行判断即可.

【解答】解：由莱洛三角形的画法可知，莱洛三角形是轴对称图形，因此①正确；

弧BC是以点A为圆心，AB为半径的弧，因此点A到弧BC上任意一点的距离都相等，所以②正确；

莱洛三角形的面与圆的面积不相等，因此③不正确；

由“莱洛三角形”对称性可知，在转动的过程其边沿上的点到中心的距离相等，因此使用截面的莱洛三

角形的滚木搬运东西，不会发生上下抖动，因此④不正确：

综上所述，正确的有①②，

故选：A.

考点三、圆芯鱼

仰|3（2022•长安区二模）如图，AB为。。的直径，点C为。。上一点，且余=3最，则弦AC与弦BC

A.AC=3BCB.AC=MBCC.AC=(A/2+1)BCD.MAC=BC

【分析】如图，过点。作OOJ_A8,交AC于。，连接8。，0C,证明△CD8是等腰直角三角形，且AD

=BD,设C£>=CB=x,则AO=2O=&x,计算AC和BC的比可得结论.

【解答】解：如图，过点。作00,48,交AC于。，连接8。，OC,

,：AB是。0的直径,

AZACB=90°,

VAC=3BC,

.\NA0C=135°,

'：OA=OC,

：.ZA=ZACO=22.5°,

是AB的垂直平分线，

：.AD=BD,

：.ZA=ZABD=22.5°,

；.NCDB=NCBD=45°,

设C£）=C8=x,则

.BC_x_1

ACx+V2xV2+1

."C=（V2+1）BC.

故选：C.

【变式训练】

.（2022•亭湖区校级一模）如图.AB是的直径，ZD=40°,则NB0C=（）

c

A.80°B.100°C.120°D.140°

【分析】根据圆周角定理即可求出/80C

【解答】解：・・・NO=40°,

AZBOC=2ZD=SO0.

故选：A.

2.（2022•郑城县一模）如图，AB是。O的直径，点C为圆上一点，AC=4\历，。是弧AC的中点，AC与

BD交于点E.若E是8。的中点，则BC的长为（）

【分析】连接。。交AC于F,如图，根据垂径定理得到OOJLAC,则AF=CF,根据圆周角定理得到/

C=90°,所以OO〃8C,接着证明ABCE丝△DFE得到BC=O凡则0尸=工8（7,所以0尸=工0。，然

23

后设BC=x，则0£>=3X,AB=2OD=3X,在RtZ\ABC中，然后利用勾股定理计算出x,从而得到BC

2

的长.

【解答】解：连接。。交AC于尸，如图，

：£）是弧AC的中点，

：.OD±AC,

：.AF=CF,

是宜径，

/.ZC=90°,

OD//BC,

:.ND=NCBE,

是5。的中点,

：.BE=DE,

■:NBEC=NDEF,

:.△BCE-DFE(ASA),

：.HC=DF,

'：OF=1BC,

2

...OF=^DF,

2

OF=AOD,

3

设BC=x,则oo=3x,

2

；.AB=2O£>=3x,

在RtZXABC中，AB2=AC2+BC2,

(3x)2—(4A/2)2+j?,

解得x=2,

BC=2.

故选：C.

3.（2022•莱州市一模）如图，A8是半圆。的直径，以弦4C为折痕折叠余后，恰好经过点O,则N40C

等于（）

A.120°B.125°C.130°D.145°

【分析】根据翻折变换得出AC垂直平分。。,AQ=4。，求出△4。。是等边三角形，求出NAO0=60°,

再根据等腰三角形的性质得出NCOQ=NAO。，再求出答案即可.

【解答】解：。关于直线AC的对称点是0,连接OQ,交AC于M,

则4c垂直平分0。

即AQ=A。，0M1.AC,

'/0Q=0Af

：.OQ=AQ=OA,

：./\AQO是等边三角形，

ZAOQ=60°,

・・・OQJ_AC,OA=OC9

.'.ZCOQ=ZAOQ=60°,

AZAOC=60°+60°=120°,

故选：A.

4.（2022•武汉模拟）如图，在扇形中，点C为弧A8的中点，延长AC交08的延长线于点连接

s

BC,若8。=4,CD=5,则^DCB的值为（）

SADA0

Dt

【分析】连接OC,先证明△AOC丝/XBOC,得到/A=N08C=/0CA=N0C8,从而证得△OBCs4

DCO,根据相似三角形的性质求出DO,进而求出08,计算面积比即可.

【解答】解：连接OC,

,点C为弧A8的中点，

/.ZAOC=ZBOC,OA=OC=OB,

：.△AO*ZkBOC,

二/A=/O8C=/OC4=NOC8,

又NDBC=ZDCO,

：./\DBC^/\DCO,

•DB_DC

"DC"DO'

；Br>=4,CD=5,

■45

"5"D0，

解得：。0=空，

4

：.OB=OD-2。=詈_娉，

.S/iDCB二4二16

FDCO百可

4

.SADCB16

••------------------------------:Z1—•,

S四边形M»BC18

...$2kDCB=16二8

^ADAO16+1817

故选：B.

5.（2022•鹿城区校级二模）如图，半圆的半径为6,将三角板的30°角顶点放在半圆上，这个角的两边分

别与半圆相交于点A,B,则AB的长度为（）

A.3B.12C.2代D.6

【分析】连接04,0B,根据圆周角定理得出NA0B=2NACB,根据等边三角形的判定得出△A08是等

边三角形，再根据等边三角形的性质得出AB=OA即可.

【解答】解：连接。A,0B,

•：/AC8=30°,

AZAOB=6Q°,

"：OA=OB,

...△A08是等边三角形，

：.AB=OA=OB,

的半径为6,

：.AB=OA=6,

故选：D.

6.（2022•桂平市二模）如图，在Rt^ACB中/ACB=60°,以直角边AB为直径的。。交线段AC于点E,

点M是弧AE的中点，QW交AC于点。，。。的半径是6,则的长度为（）

【分析】根据三角形内角和定理求出/A=30°,根据垂径定理求出ODLAE,根据含30。角的直角三

角形的性质求出0力，再求出即可.

【解答】解：VZABC=90°,NACB=60°,

ZA=30°,

为弧AE的中点，0M过圆心。,

J.OMLAD,

：.ZADO=90°,

.•.0D=_10A=LX6=3，

22

；.MD=OM-00=6-3=3,

故选：C.

思克四、圆周自

例4(2022•金东区二模)如图，A8是。0的直径，点C在上，血=黄，点。是正的中点，连结

0C,AD,交于点E,连结BE,BD.

(1)求NEBA的度数.

(2)求证：AE=y[2BD.

(3)若OE=1,求。0的面积.

【分析】(1)连接AC,先求出NBOC=90°,根据圆周角定理求出/CAB的度数，再求出/E48即可；

(2)由(1)知，0C垂直平分AB,得出AE=BE,在直角三角形中8O=sin45°BE,从而得出

BD；

(3)在RtZVU?。中，先求出。解，然后代入圆的面积计算公式计算即可.

【解答】解：(I)连接4C,

・・・AC=BC，

・•・ZAOC=ZBOC=90Q

：.ZCAB=45°,

・・•点。是市的中点，

***CD=BD，

：.ZCAD=ZEAB=22.5°；

（2）由（1）知，。。垂直平分A8,

:.AE=BE,

：.ZDEB=2ZEAB=45°,

是直径，

AZD=90°，

ABD=sin45°BE,

:.BE=42BD,

：.AE=y[2BD；

（3）VDE=1

：.BD=DE=1,

:.AE=BE=版,

在RtZXABO中，AD2+BD1=（20A）2,

（V2+1）2+1=4042,

.•Q2=2+\/^,

2

圆的面积为TTOA2=.2兀避兀.

2

【变式训练】

1.（2023•小店区校级一模）4、B、C是。。上的点，若NAOB=70°,则NACB的度数为（）

A.70°B.50°C.145°D.35°或145°

【分析】分两种情况：当点C在A、8两点之外时；当点C在A、8两点之间时，由圆周角定理即可计

算出NAC8.

【解答】解：当点C在4、8两点之外时，如图:

AZACB^1ZAOH=35°；

2

当点C在A、B两点之间时，如图:

ZACS=A（3600-NAOB）=145°,

2

故NACB的度数为35°或145°.

故选：D.

2.（2022•鹿城区校级模拟）如图，A8是半圆O的直径，C,。是半圆上的两点，若NBAC=20°.则NO

的大小为（）

【分析】由AB是半圆。的直径，得/AC8=90°,由直角三角形的性质求出/B,由圆内接四边形的性

质即可求解.

【解答】解：是半圆。的直径，

/.ZACZf=90°,

ZABC=900-ZBAC=90°-20°=70°,

8c=180°，

.*.ZD=180°-70°=110°.

故选：B.

3.（2022•东宝区校级模拟）如图，CO是。。的弦，直径垂足为G,C尸是的直径.分别连

接AC,BF交CD于点H.若点G为08的中点，04=7,tan/ACF=3,则G/Z的长为（）

5

【分析】由圆周角定理得NACF=/48凡根据08=。4=7,点G为08的中点求得8G=工，在RtA

BGH'V,再根据•解答即可.

BG5

【解答】解：VZACF=ZABF,tanZACF=l,

5

tanZABF=—,

5

VOA=7,

08=7,

•.•点G为08的中点，

:.BG=L,

2

•.•直径

AZBGH=90°,

在中，tanNA8F=@L二,

BG5

GH3

3HnT

2

解得GH=21.

IO

故选：B.

4.（2022•保定二模）如图，已知BC是。。的直径，半径。4J_8C,点£＞在劣弧AC上（不与点A,点C重

合），BD与OA交于点E.设NAE£）=a,ZAOD=^,则（

A.3a+p=180°B.2a+p=180°C.3a-a=90°D.2a-p=90°

【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用a表示进而由圆心角与圆周角关系，用a表示/

COD,最后由角的和差关系得结果.

【解答】解：OALBC,

.•./AOB=4OC=90°,

8c=90°-NBEO=90°-ZAED=90a-a,

NCO£>=2NO8c=180°-2a,

VZAOD+ZCOD=90°,

/.p+1800-2a=90°,

，2a-0=90°，

故选：D.

5.（2022•夏邑县校级模拟）如图，在Rt/XABC中，/ACB=90°,CD是斜边AB上的中线，以CD为直径

的OO分别交AC、8C于点M、N,交A8于点£＞、尸（。、产可重合），过点N作NEJ_A8,垂足为E.

（1）求证：BN=CN；

（2）填空:

①当NOC4的度数为45°时,四边形。ENO为正方形;

②当NQC4的度数为60°时,四边形AFOM为菱形.

B

【分析】(1)连接DN,由直角三角形的性质可得CD=BD=AD,由圆周角定理的推论可得N£WC=90°,

由等腰三角形的性质可得BN=CN；

(2)①当/OCA的度数为45°时一，根据正方形的判定可以证明四边形。EM9为正方形;

②当NDCA的度数为60°时，根据菱形的判定可以证明四边形AFOM为菱形.

【解答】(1)证明：连接。M

VZACZf=90°,CD是斜边A8的中线,

：.CD=BD=AD.

；8是。。的直径,

:.NDNC=90°,

:.BN=CN；

(2)解：①当NOC4的度数为45°时，四边形OENO为正方形，理由如下:

连接ON,

；NAC8=90°,NDC4=45°,CO是斜边A8的中线,

ZDCB=45°,

：C£＞是斜边A3的中线，

：.DC=BD,

：.ZB=ZBCD=45°,

AZODE=90°,

OC=ON,

：.ZONC=ZDCB=45°,

：.ZNOD=90Q,

■:NELAB,

:.NDEN=90°,

四边形DENO为矩形,

"：OD=ON,

四边形OENO为正方形，

故答案为：45°；

②当NOC4的度数为60°时，四边形AFOM为菱形，理由如下:

连接0例，OF,

；CO是斜边A8的中线，

：.DC=DA,

：。。4=60°,

...△DCA是等边三角形，

AZA=60°,ZADC=60°,

OC=OM,

...△OCM是等边二角形，

同理：△。。尸是等边三角形,

ZOMC=ZA=ZDFO=60°,

J.OM//FA,OF//MA,

二四边形OM4尸是平行四边形，

"：OM=OF,

四边形OM4F是菱形，

故答案为：60°.

6.(2022•兴庆区校级一模)如图在RtZkACB中，ZACB=90°,BC=2,AC=4,以直角边AC为直径作圆

O,作NACB的角平分线交圆。于点E,交于点尸，连接AE和8E.

(1)求BE的长.

(2)求殴的值.

AE

A

CB

【分析】(1)由条件可以证明四边形OCBE是正方形，即可求出BE长：

(2)由尸得到EF：FC=1：2,推出EF：EC=1；3,由OE垂直平分AC得到AE=CE,

即可求解.

【解答］解(1)•.•(7£平分NACB,ZACB=90°,

：.ACE=1ZACB=45°,

2

AZAOE=2ZACE=90°,

；/AC8=NAOE=90°,

：.OE//BC,

；BC=OC=OE=2,

，四边形0C8E是正方形，

：.BE=OC=2-,

(2)垂直平分AC,

：.CE=AE,

\'BE//AC,

:•△EBFsXCAF,

•EF=BE=1

"FCAC

.EF=2,

',而T

.EF2

"AE=3"

A

CB

7.(2022•赛罕区校级一模)如图，在锐角三角形ABC中，是BC边上的高，以AO为直径的。。交A8

于点E,交AC于点F,过点F作FGLA8,垂足为H,交于点G,交A。于点M,连接AG,DE,DF.

(1)求证：/GA。与尸互补；

(2)若NAC8=45°,AD=4,AD=2BD,求的长.

【分析】(1)根据圆周角定理得出NAGF=N4OF,再根据角之间的互余关系及等量代换推出NG4O=

NEAF,最后利用圆内接四边形的性质即可得证；

(2)作出辅助线0凡可得：XAHMS[\F0M,XAHMSXADB、根据相似三角形的性质得到三角形边

之间的关系，最后根据勾股定理求解即可.

【解答】(1)证明：山题可知NAGF=NAD尸(同弧所对的圆周角相等)，

,：GF±AB,A。为圆的直径，

AZAGF+ZGAE=90°,ZADF+ZMD=90°,

ZGAE=ZFAD,

：.ZGAE+ZDAE=ZFAD+ZDAE,即ZGAD=ZEAF,

'：四边形AEDF是圆的内接四边形，

：.ZEAF+ZEDF=ISO0,

：.ZGAD+ZEDF=ISO°.

(2)解：如图,

连接OF,

是圆的直径，且是△ABC的高，GFLAB,

：.ZAED=ZADB=ZAHM=ZAFD=90°,

,：ZHAM^ZDAB,

：.XAHMsMDB,

.AH=AD

"fflfBD'

"：AD=2BD,

.AH_9

HM

VZACB=45°,

：.ZDAC=ZADF=ZAFO=45°,

.•./A"=90°,

在RtAAHM与Rt△尸OM中，

VZAMH=ZFMO(对顶角)，

•FO_AH_9

OMHM

・.・AD=4,

：.OF=OA=2,

.&=2,解得0M=1,AM=0A-0M=\,

OM

设HM=x,则4，=2x,

在中有：AH2+HM2=AM2,

即（2x）2+/=[,解得X]=Y£,X2=~（舍去），

55

5

8.（2022•仓山区校级模拟）如图，A8CE）是。0的内接四边形，BD为直径,连接OA,且OA〃BC.

（1）求证：AC=AD；

（2）过点B作8E_LAC于点E,延长BE交AO于点/，若tanNCB£>=4,BE=9,请补全图形并求4/

3

的长.

A

【分析】（1）延长A。交8于点从根据圆周角定理得出NBCO=90°,根据平行线的性质得到NA”。

=N8CD=90°,根据垂径定理得到CH=O",则AH是线段CO的垂直平分线，根据垂直平分线的性

质即可得解；

（2）根据题意补全图形，根据圆周角定理得出/8AC=NBOC,ZCAD=ZCBD,解直角三角形求解即

可.

【解答】（1）证明：如图，延长4。交CD于点H,

为。。的直径,

AZBCD=90°,

'JOA//BC,

:.NAHD=NBCD=90°,

：.AH±CD,

：.CH=DH=^CD,

2

：.AH是线段CD的垂直平分线,

：.AC=AD；

（2）解：补全图形如图,

在RtZXBCD中，tan/CBr>=SD=a,

BC3

：.tanZBDC=^-=^-,

CD4

:NBAC=NBDC,

tanZBAC—tanZBDC=—,

4

'：BELAC,

：.ZAEB=ZAEF=90°,

在RtZXABE中，tan/BAC=^L=旦，BE=9,

AE4

•A=2

',前T

."E=12,

,：ZCAD^ZCBD,

tanZ£4F=tanZCBD=—,

3

在Rt/XAE尸中，tanZE4F=^L=A,

AE3

：.EF=\6,

22

.,.AF=^Ag2+Ep2=yj12+16=20.

考立JI,圆佝接口边形

例5（2022•铁西区二模）如图1,四边形4BCO内接于OO,8。为直径，俞上点E,满足褊=而，连结

8E并延长交CD的延长线于点RBE与A。交于点G,连结CE,EF=DG.

(1)求证：CE=BG；

(2)如图2,连结CG,