2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 1-4两条直线的平行与垂直 课件40张

第一章1.4两条直线的平行与垂直基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测课程标准1.能根据直线的斜率和在y轴上的截距判断两条直线相交、平行、重合.2.能利用直线的法向量推导出两条直线平行的条件.3.能利用直线的法向量推导出两条直线垂直的条件.4.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题.基础落实·必备知识全过关知识点1

两条直线平行

1.几何方法判断对于两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为α1,α2,则

是l1∥l2的充要条件.

对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(其中b1≠b2),l1∥l2⇔

;l1与l2相交⇔

.

倾斜角相等(α1=α2)

k1=k2k1≠k22.向量方法判断对于两条不重合的直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),它们的法向量分别是n1=(A1,B1),n2=(A2,B2),(1)l1与l2相交的充要条件是n1与n2不共线,即A1B2≠A2B1.(2)l1与l2平行的充要条件是n1与n2共线,即A1B2=A2B1.名师点睛若没有指明l1,l2不重合,则k1=k2⇔l1∥l2或l1与l2重合.用斜率相等证明三点共线时,常用到这一结论.过关自诊1.[人教B版教材习题]已知直线2x+y-8=0与直线3x+(1-a)y+3=0平行,求a的值.提示

易知2(1-a)-3=0,∴a=-.

2.[人教A版教材习题]判断下列不同的直线l1与l2是否平行.(1)l1的斜率为2,l2经过A(1,2),B(4,8)两点;(2)l1经过P(3,3),Q(-5,3)两点,l2平行于x轴,但不经过P,Q两点;(3)l1经过M(-1,0),N(-5,-2)两点,l2经过R(-4,3),S(0,5)两点.(2)因为l1经过点P(3,3),Q(-5,3),它们的纵坐标相同,所以直线l1平行于x轴.又l2平行于x轴,且不经过P,Q两点,所以直线l1∥l2.知识点2

两条直线垂直1.对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2⇔

.

2.设直线l1,l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),则l1⊥l2⇔

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特别适合解决含参数的两直线垂直求参数的问题

k1k2=-1A1A2+B1B2=0名师点睛1.(1)过点(x0,y0)且与直线Ax+By+C=0平行的直线可表示为A(x-x0)+B(y-y0)=0;(2)过点(x0,y0)且与Ax+By+C=0垂直的直线可表示为B(x-x0)-A(y-y0)=0;(3)与直线y=kx+b(k≠0)垂直的所有直线可以表示为y=-x+m;(4)与直线Ax+By+C=0垂直的所有直线可以表示为Bx-Ay+m=0.2.“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直线垂直时,除了斜率之积等于-1,还可能一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在.过关自诊[人教B版教材习题]求下列过点P且与直线l垂直的直线的方程.(1)P(4,-3),l:x+5y-3=0;(2)P(3,-5),l:x+y=0;(3)P(2,3),l:x+y-2=0.提示

(1)5x-y-23=0.(2)x-y-8=0.(3)x-y+1=0.重难探究·能力素养全提升探究点一两条直线平行的判定【例1】

已知两直线l1:x+my+6=0;l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m为何值时,直线l1与l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合.解

∵直线l1:x+my+6=0,直线l2:(m-2)x+3y+2m=0,∴A1=1,B1=m,C1=6,A2=m-2,B2=3,C2=2m.(1)若l1与l2相交,则A1B2-A2B1≠0,即1×3-m(m-2)≠0,即m2-2m-3≠0,即(m-3)(m+1)≠0,即m≠3且m≠-1.故当m≠3且m≠-1时,直线l1与l2相交.规律方法

判断两条直线是否平行的步骤

变式训练1已知两直线l1:9x-y+a+2=0;l2:ax+(a-2)y+1=0.求a为何值时,直线l1与l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合.探究点二两条直线垂直的判定【例2】

(1)已知直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值;(3)已知直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2垂直,求a的值.解

(1)由题意知直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2.(2)由题意,知直线l2的斜率k2一定存在,直线l1的斜率k1可能不存在.当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,则l1⊥l2,满足题意.当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,(3)∵l1⊥l2,∴a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,即a2+2a-3=0,解得a=1或a=-3.规律方法

判定两直线垂直的步骤(1)一看:就是看每条直线所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在;若不相等,则进行下一步.(2)二代:就是将点的坐标代入斜率公式.(3)求值:计算斜率的值,进行判断.[注意]若已知点的坐标中含有参数,则利用两直线的垂直关系求参数值时,要注意讨论斜率不存在的情况.变式训练2(1)(多选题)下列各对直线互相垂直的是(

)A.l1过点M(1,1),N(1,2),l2过点P(1,5),Q(3,5)D.l1过点M(1,0),N(4,-5),l2过点P(-6,0),Q(-1,3)ABD(2)已知△ABC的顶点为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,求m的值.探究点三两直线平行与垂直的综合应用【例3】

如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.变式探究将本例改为“已知矩形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t)”,其余条件不变,试求顶点R的坐标.规律方法

1.利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤

2.判定几何图形形状的注意点(1)在顶点确定的前提下,判定几何图形的形状时,要先画图,猜测其形状,以明确证明的目标.(2)证明两直线平行时,仅有斜率相等是不够的,还要注意排除两直线重合的情况.(3)判断四边形形状,要依据四边形的特点,并且明确不会产生其他的情况.变式训练3已知四边形ABCD的顶点B(6,-1),C(5,2),D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形,求点A坐标.解

当A=D=90°时,如图①,由已知AB∥DC,AD⊥AB,而kCD=0,故A(1,-1).当A=B=90°时,如图②.①

②

本节要点归纳1.知识清单:(1)两直线平行的判定.(2)两直线垂直的判定.2.方法归纳:分类讨论、数形结合.3.常见误区:研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况.成果验收·课堂达标检测1234561.(多选题)若l1与l2为两条直线,它们的倾斜角分别为α1,α2,斜率分别为k1,k2,则下列说法正确的是(

)A.若l1∥l2,则斜率k1=k2B.若斜率k1=k2,则l1∥l2C.若l1∥l2,则倾斜角α1=α2D.若倾斜角α1=α2,则l1∥l2AC解析

当斜率相等或倾斜角相等时需考虑两条直线重合的情况,B,D都可能是两条直线重合,AC正确.1234562.下列直线中,与直线y=-3x+2垂直的是(

)A.y=3x-20 B.y=-3x+20C.y=x-20 D.y=-x-20C1234563.若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),则直线l1与l2的位置关系是(

)A.垂直

B.平行 C.重合

D.平行或重合D解析

因为直线l1的倾斜角为135°,所以斜率k1=tan

135°=-1.由l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),得k2==-1,所以k1=k2,所以直线l1与l2平行或重合.1234564.[2023河北唐山丰南第一中学期末]若直线l1:ax+4y+8=0与直线l2:3x+(a+1)y+8=0平行,则a的值为(

)A.3 B.-4 C.3或-4 D.-3或4B解析

因为直线l1:ax+4y+8=0与直线l2:3x+(a+1)y+8=0平行,所以a(a+1)=4×3,解得a=3或a=-4.当a=3时,l1:3x+4y+8=0,l2:3x+4y+8=0,两直线重合,不符