新教材2023版高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大小值第2课时函数的最大小值课件新人教A版选择性必修第二册

第2课时函数的最大(小)值新知初探·课前预习题型探究·课堂解透【课标解读】1.理解函数最值的概念．2．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．新知初探·课前预习【教

材

要

点】要点一最值的概念❶一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．批注❶

(1)给定的区间必须是闭区间，y＝f(x)的图象在开区间上虽然连续不断，但不能保证有最大值或最小值．(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证y＝f(x)有最大值和最小值．连续不断要点二函数在区间[a，b]上最值的求法一般地，求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值❷的步骤如下：(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的________；(2)将函数y＝f(x)的各________与端点处的函数值________，________比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________．

批注❷函数的最大值和最小值是一个整体性概念．最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．极值极值f(a)f(b)最大值最小值【夯

实

双

基】1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．(

)(2)开区间上的单调连续函数无最值．(

)(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值．(

)(4)若函数在给定区间上有最值，则最大(小)值最多有一个；若有极值，则可有多个．(

)×√×√2．函数y＝－x3＋6x2(x≥0)的最大值为(

)A.32

B．27C．16 D．40答案：A解析：因为y′＝－3x(x－4)，所以当0≤x≤4时，y′≥0；当x>4时，y′<0.所以函数在[0，4]上单调递增；在(4，＋∞)上单调递减，因此，y＝－x3＋6x2(x≥0)的最大值为－43＋6×42＝32.故选A.3．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(

)A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值答案：D解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值．故选D.

题型探究·课堂解透

x1(1，2)2(2，＋∞)ef′(x)

－0＋

f(x)1单调递减ln2单调递增【方法总结】利用导数求函数最值的方法巩固训练1

求函数f(x)＝(x－1)ex在区间[－1，2]上的最大值和最小值．

x－1(－1，0)0(0，a)a(a，1)1f′(x)

＋0－0＋

f(x)↗b↘↗

【方法总结】已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．巩固训练2

若f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a、b的值．解析：∵f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，∴f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4，∵x∈[－1，2]，∴x＝0，∵a>0，∴f(x)，f′(x)随x变化情况如下表：∴当x＝0时，f(x)取最大值f(x)max＝f(0)＝b，∵f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1，2]的最大值为3，∴f(x)max＝f(0)＝b＝3.x(－1，0)0(0，2)f′(x)＋0－f(x)↗最大值3↘又∵f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3且a>0，∴f(2)<f(－1)，∴当x＝2时，f(x)取最小值f(x)min＝f(2)＝－16a＋3，∵f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1，2]的最小值为－29，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.综上所述：a＝2，b＝3.题型3利用导数证明不等式例3已知函数f(x)＝lnx－x.(1)求f(x)的最大值；(2)证明：lnx<x<ex(x>0)．

【方法总结】待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证．巩固训练3

求证：x>1时，x－1<xlnx.证明：要证x>1时，x－1<xlnx，只需证xlnx－x＋1>0即可，设g(x)＝xlnx－x＋1，(x>1)，则g′(x)