新教材2023版高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大小值第1课时函数的极值学生用书新人教A版选择性必修第二册

5．3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值【课标解读】1.了解极大值、极小值的概念．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．3．会用导数求函数的极大值、极小值．新知初探·课前预习——突出基础性【教材要点】要点一函数极值❶的定义1．极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝________，而且在点x＝a附近的左侧__________________，右侧________________，就把________叫做函数y＝f(x)的极小值点，________叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝________，而且在点x＝b附近的左侧________________，右侧________________，就把________叫做函数y＝f(x)的极大值点，________叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极大值点、极小值点统称为极值点❷；极大值、极小值统称为________．批注❶(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．(5)单调函数一定没有极值．批注❷可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分不必要条件．要点二求函数y＝f(x)极值的方法一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是________；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是________．【夯实双基】1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数的极大值一定大于其极小值．()(2)导数为0的点一定是极值点．()(3)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．()(4)函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．()2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个 B．2个C．3个 D．4个3．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则()A．x＝12为f(x)B．x＝－2为f(x)的极大值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝0为f(x)的极小值点4．已知函数f(x)＝x3－3x2＋2，则函数f(x)的极大值为________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1极值的图象特征例1(多选)[2022·河北邢台·高二期末]若函数f(x)的导函数的部分图象如图所示，则()A．x1是f(x)的一个极大值点B．x2是f(x)的一个极小值点C．x3是f(x)的一个极大值点D．x4是f(x)的一个极小值点[听课记录]【方法总结】根据导函数图象判断极值点、极值的方法严格按照极值点、极值的定义，观察图象与x轴的交点，若在交点的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则交点是极大值点，函数值是极大值；若在交点的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则交点是极小值点，函数值是极小值；若不符合以上两点就不是极值点，也就没有极值．巩固训练1[2022·山东济宁高二期中]如图是函数y＝f(x)(x∈R)的导函数f′(x)的图象，下列说法正确的是()A．x＝2是函数y＝f(x)的极大值点B．x＝－2是函数y＝f(x)的零点C．函数y＝f(x)在区间(－2，－1)上单调递减D．函数y＝f(x)在区间[－2，2]上存在极小值题型2求函数的极值例2求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝lnx[听课记录]【方法总结】求可导函数f(x)极值的一般步骤巩固训练2求下列函数的极值：(1)y＝2x＋8x(2)y＝x3(x－5)2.题型3已知函数的极值求参数值或范围例3(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝()A．4或－3 B．4或－11C．4 D．－3(2)[2022·山东聊城高二期中]设函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)的一个极值点，则下列结论一定正确的是()A．2a＋b＝0 B．a－c＝0C．2a－b＝0 D．b≠0(3)函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a>0)在(－∞，＋∞)上无极值，求实数a的取值范围．[听课记录]【方法总结】已知函数极值求参数的方法巩固训练3(1)[2022·河北石家庄二中高二期中]若函数y＝－x3＋3x2＋m的极大值等于9，则实数m等于()A．5B．9C．－5D．9(2)已知函数f(x)＝13x3－12(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，则实数m的取值范围为

5．3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值新知初探·课前预习[教材要点]要点一1．0f′(x)<0f′(x)>0af(a)2．0f′(x)>0f′(x)<0bf(b)3．极值要点二极大值极小值[夯实双基]1．(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：由导函数f′(x)在区间(a，b)内的图象可知，函数f′(x)在(a，b)内的图象与x轴有四个公共点，在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，所以函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有1个．故选A.答案：A3．解析：由f′(x)的图象可知，f(x)在(－∞，－2)和(12，2)上单调递减，在(－2，12)和(2，＋∞所以x＝12为f(x)的极大值点，x＝－2和x＝2为f(x)的极小值点，x＝0故选A.答案：A4．解析：∵f(x)＝x3－3x2＋2，∴f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，解得：x1＝0，x2＝6.x(－∞，0)0(0，6)6(6，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以当x＝0时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)的极大值为f(0)＝2.答案：2题型探究·课堂解透例1解析：对于A选项，由图可知，在x1左右两侧，函数f(x)左增右减，x1是f(x)的一个极大值点，A正确．对于B选项，由图可知，在x2左右两侧，函数f(x)左减右增，x2是f(x)的一个极小值点，B正确．对于C选项，由图可知，在x3左右两侧，函数f(x)单调递增，x3不是f(x)的一个极值点，C错误．对于D选项，由图可知，在x4左右两侧，函数f(x)左增右减，x4是f(x)的一个极大值点，D错误．故选AB.答案：AB巩固训练1解析：由f′(x)的图象可知，当x＝－1，x＝2时，f′(x)＝0，又因为当x∈(－∞，2)时，f′(x)>0，当x∈[2，＋∞)时，f′(x)≤0，所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．对于A，f(x)在x＝2处取得极大值，无极小值，故A正确；对于B，由f′(x)图象无法判断零点的个数，x＝－2不一定是零点，故B错误；对于C，函数y＝f(x)在(－2，－1)上单调递增，故C错误；对于D，函数f(x)在x＝2处取得极大值，无极小值，故函数f(x)在[－2，2]上无极小值，故D错误．故选A.答案：A例2解析：(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增10单调递减－22单调递增因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22.(2)函数f(x)＝lnxx的定义域为(0，＋∞且f′(x)＝1-lnxx2.令f′(x)＝当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)单调递增1单调递减因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝1e，函数f(x)巩固训练2解析：(1)函数的定义域为x∈R且x≠0，又y′＝2－8x2.令y′＝0，得x当x变化时，y′，y的变化情况如表：x(－∞，－2)－2(－2，0)0(0，2)2(2，＋∞)y′＋0－－0＋y↗极大值↘↘极小值↗因此当x＝－2时，y极大值＝－8，当x＝2时，y极小值＝8.(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)．令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，3)3(3，5)5(5，＋∞)y′＋0＋0－0＋y↗无极值↗极大值108↘极小值0↗∴x＝0不是y的极值点；x＝3是y的极大值点，y极大值＝f(3)＝108；x＝5是y的极小值点，y极小值＝f(5)＝0.例3解析：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意得f1=10解得a=4，b=但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以a=-3，b=3，不符合题意，应舍去．而当a=4，b=-故选C.(2)∵f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex，∴f′(x)＝[ax2＋(2a＋b)x＋b＋c]ex，∵x＝－1为函数f(x)的一个极值点，∴f′(－1)＝0，即：[a·(－1)2＋(2a＋b)·(－1)＋b＋c]e－1＝0，∵e－1≠0，∴a－c＝0.故选B.(3)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0或f′(x)＝3ax2－4x＋1≤0恒成立．因为a>0，所以f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，则有Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0.解得a≥43，故实数a的取值范围是[43，＋∞答案：(1)C(2)B(3)见解析巩固训练3解析：(1)y′＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)，当0<x<2时，y′>0，当x<0或