新教材2023版高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性课件新人教A版选择性必修第二册

5．3.1函数的单调性新知初探·课前预习题型探究·课堂解透【课标解读】1.通过数形结合感受导数与函数单调性的关系．2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．3．能利用导数求不超过三次的多项式函数的单调区间．新知初探·课前预习【教

材

要

点】要点一函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间的关系在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0❶，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调________；在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0❷，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调________．批注❶

f′(x)>0，即函数f(x)图象的切线斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势．

批注❷

f′(x)<0，即函数f(x)图象的切线斜率为负，则切线的倾斜角为钝角，曲线呈下降趋势．递增递减要点二利用导数判断函数单调性的一般步骤第1步，确定函数y＝f(x)的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．要点三函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大❸________比较“________”(向上或向下)越小❹________比较“________”(向上或向下)较快陡峭较慢平缓批注❸函数值增加得越来越快f′(x)>0越来越大；函数值减少得越来越快f′(x)<0越来越小．

批注❹函数值增加得越来越慢f′(x)>0越来越小；函数值减少得越来越慢f′(x)<0越来越大．【夯

实

双

基】1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．(

)(2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(

)(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．(

)(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(

)××√√2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则(

)A.f′(3)>0 B．f′(3)<0C．f′(3)＝0 D．f′(3)的符号不确定答案：B解析：由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，所以f′(3)<0.故选B.3．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上是(

)A．增函数 B．减函数C．先增后减 D．不确定答案：A解析：∵f(x)＝2x－sinx，∴f′(x)＝2－cosx＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．故选A.

(－∞，0)，(0，＋∞)

题型探究·课堂解透题型1导数与函数图象的关系例1

[2022·广东广州高二期末]已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)图象是(

)答案：A解析：设导函数与横轴的交点为x1，x2，设－1<x1<0<x2<1，由导函数的图象可知：当x∈(－∞，x1)时，f′(x)<0⇒f(x)单调递减，当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0⇒f(x)单调递增，当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)<0⇒f(x)单调递减，由此可以确定选项A符合，故选A.【方法总结】判断函数与其导函数图象关系的方法要抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点观察其图象在哪个区间内上升或下降，而对于导函数，则应观察其函数值在哪个区间内大于零、小于零，并且这些区间与原函数的单调区间是否一致．巩固训练1

设函数f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是(

)答案：B解析：由函数f(x)的图象，知当x<0时，f(x)是单调递减的，所以f′(x)<0；当x>0时，f(x)先减少，后增加，最后减少，所以f′(x)先负后正，最后为负．故选B.题型2利用导数求函数的单调区间例2

(1)已知函数f(x)＝xlnx－x，求f(x)的单调区间；(2)已知函数f(x)＝(x＋1)eax，a∈R，求函数f(x)的单调区间．

【方法总结】利用导数求函数单调区间的三点提醒

答案：A

(2)求函数f(x)＝alnx－4x－2(a∈R)的单调区间．

答案：A

解析：f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.因为函数在区间(1，4)内为减函数，所以当x∈(1，4)时，f′(x)≤0.又函数在区间(6，＋∞)上为增函数，所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0，所以4≤a－1≤6，所以5≤a≤7.即实数a的取值范围为[5，7].【方法总结】利用导数求参数取值范围的两个策略巩固训练3

(1)[2022·福建厦门外国语学校高二期末]若函数f(x)＝(x2－ax－a)ex在区间(－2，0)内单调递减，则实数a的取值范围是(

)A．[1，＋∞)B．[0，＋∞)C．(－∞，0]D．(－∞，1]答案：B解析：∵f(x)＝(x2－ax－a)ex，∴f′(x)＝ex·[x2＋(2－a)x－2a]＝ex(x－a)(x＋2)，∵x∈(－2，0)时，ex(x＋2)>0，∴若f(x)在(－2，0)内单调递减，则x－a≤0在(－2，0