新教材2023版高中数学第六章导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.1导数与函数的单调性第2课时导数与函数的单调性的应用课件新人教B版选择性必修第三册

第2课时导数与函数的单调性的应用新知初探·自主学习课堂探究·素养提升新知初探·自主学习基

础

自

测

1．已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有(

)A.f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0解析：由已知，得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∵当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上均单调递增，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，g(x)在(－∞，0)上单调递减，∴当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.答案：B

答案：B

解析：f′(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝[x－(a＋1)](x－a)，令f′(x)<0，得a<x<a＋1，故f(x)的减区间是(a，a＋1).答案：(a，a＋1)

课堂探究·素养提升

方法归纳1．研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．2．划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点

已知函数的单调性求参数的取值范围【思考探究】1．已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，如何求实数a的取值范围．[提示]由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a＜3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a＜0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.

例2

已知关于x的函数y＝x3－ax＋b.(1)若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)内是增函数，求a的取值范围；【解析】

y′＝3x2－a.(1)若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)内是增函数．则y′＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立，即a≤3x2在x∈(1，＋∞)时恒成立，则a≤(3x2)min.因为x>1，所以3x2>3.所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3].(2)若函数y＝x3－ax＋b的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值．

状元随笔(1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a的取值范围．(2)函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a的值．

方法归纳1．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号)．

答案：

D(2)若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)上不单调，求a的取值范围．

利用导数证明不等式例3

证明ex≥x＋1≥sinx＋1(x≥0)．【证明】令f(x)＝ex－x－1(x≥0)，则f′(x)＝ex－1≥0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴对任意x∈[0，＋∞)，有f(x)≥f(0)，而f(0)＝0，∴f(x)≥0，即ex≥x＋1，令g(x)＝x－sinx(x≥0)，g′(x)＝1－cosx≥0，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(0)，即x－sinx≥0，∴x＋1≥sinx＋1(x≥0).综上，ex≥x＋1≥sinx＋1(x≥1).方法归纳用导数证明不等式f(x)>g(x)的一般步骤(1)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b].(2)证明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)>0.(3)依(2)知函数F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上是单调增函数，故f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．这是因为F(x)≥F(a)>0，即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)>0.跟踪训练3

证明不等式lnx≤x－1.

教材反思1．牢记利用导数法解决取值范围问题的2个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，再利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．2．掌握恒成立问题的重要思路利用函数的单调性求参数的取