新教材2023版高中数学第二章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.2直线的方程课件新人教B版选择性必修第一册

2．2.2直线的方程[课标解读]

根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．新知初探·自主学习课堂探究·素养提升新知初探·自主学习教材要点知识点一直线方程的概念一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程．状元随笔如何判断点P(2，1)是否在直线y＝x－1上？[提示]把点的坐标代入方程，若满足方程，点就在直线上，反之，不在直线上．知识点二直线方程的几种形式形式条件方程应用范围点斜式直线l上一点P(x0，y0)及斜率k____________直线l的斜率k________斜截式直线l的斜率k及在y轴上的截距b____________两点式直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)直线l不与________平行或重合截距式直线l在x轴，y轴上的截距分别为a和b____________直线l不与________平行或重合，且不过________一般式二元一次方程系数A、B、C的值______________(A2＋B2≠0)平面内任何一条直线y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b存在坐标轴

坐标轴原点Ax＋By＋C＝0状元随笔直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程均能化为一般式方程吗？[提示]是．基础自测1．方程y－y0＝k(x－x0)(

)A．可以表示任何直线B．不能表示过原点的直线C．不能表示与y轴垂直的直线D．不能表示与x轴垂直的直线答案：D解析：因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以y－y0＝k(x－x0)不能表示与x轴垂直的直线．2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(

)A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1答案：C解析：方程变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.3．过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是(

)A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0D．x－y－1＝0答案：D

4．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为________.答案：A2＋B2≠0解析：由二元一次方程表示直线的条件知A、B至少有一个不为零即A2＋B2≠0.课堂探究·素养提升题型1求直线的点斜式方程例1

求满足下列条件的直线的点斜式方程．(1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点．

方法归纳求直线的点斜式方程的方法步骤1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．跟踪训练1

(1)一条直线经过点(2，5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为__________．解析：因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan45°＝1，所以直线的方程为y－5＝x－2.答案：y－5＝x－2(2)经过点(－5，2)且平行于y轴的直线方程为________．答案：x＝－5解析：因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5.

题型2求直线的斜截式方程例2

根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；解析：由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5.(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2.

方法归纳1．用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别．2．直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．跟踪训练2

(1)写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程；解析：易知k＝－1，b＝－2，故直线的斜截式方程为y＝－x－2.

(3)已知直线l的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率，在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标．解析：直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0，1)．题型3直线的两点式方程例3

在△ABC中，A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，(1)求BC所在直线的方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的方程．

状元随笔(1)由两点式直接求BC所在直线的方程；(2)先求出BC的中点，再由两点式求直线方程．例4

求过定点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．

方法归纳1．由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．2．求直线的两点式方程的策略以及注意点当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．跟踪训练3

(1)已知点A(3，2)，B(－1，4)，则经过点C(2，5)且经过线段AB的中点的直线方程为________．

答案：2x－y＋1＝0(2)已知直线l过点(1，2)，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l的方程为(

)A．2x－y＝0B．2x＋y－4＝0C．2x－y＝0或x＋2y－2＝0D．2x－y＝0或2x＋y－4＝0答案：D

状元随笔直线l在两坐标轴上的截距成倍数关系，应考虑直线过原点和不过原点两类，分别设出方程，再由直线l过点(1，2)求得直线方程．

答案：C

(2)若直线mx－y＋(2m＋1)＝0恒过定点，则此定点是________．答案：(－2，1)解析：直线方程可化为y－1＝m(x＋2)．由直线的点斜式可知直线过定点(－2，1)．状元随笔含有参数的一般式直线方程问题⇒化为直线方程的相应形式，根据实际情况求解．方法归纳1．含参数的一般式的处理方法(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.(2)令x＝0可得在y轴上的截距；令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程要注意验根．2．直线恒过定点的求解策略(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标．(2)将方程变形，把x，y作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点．

答案：C

(2)已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＋c＝0通过第________象限．答案：一、二、三

题型5由直线的方向向量、法向量求直线方程例6

(1)一条直线经过点(2，5)，且它的方向向量是(1，1)，则这条直线的点斜式方程为________；答案：y－5＝x－2解析：因为方向向量是(1，1)，所以斜率k＝1，所以直线的方程为y－5＝x－2.(2)经过点(－5，2)且法向量为(1，2)的直线方程为________．答案：

x＋2y＋1＝0解析：设直线方程x＋2y＋C＝0代入点(－5，2)得C＝1.方法归纳通过直线的一个法向量或者一个方向向量求出直线方程的方法1．方法一应用求动点轨迹的方程的一般步骤，设直线上点的坐标为(x，y)，根据条件列出方程．2．方法二找到直线的一个法向量或者一个方向向量和直线的五种形式的