(人教A版2019选择性必修第一册)高二数学上册数学同步精讲 拓展二：圆锥曲线的方程（轨迹方程问题）（精讲）（原卷版+解析）

拓展二：圆锥曲线的方程（轨迹方程问题）（精讲）第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析重点题型一：直接法重点题型二：相关点法重点题型三：定义法重点题型四：参数法重点题型五：点差法第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆知识点一：曲线方程的定义一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：①曲线上的点的坐标都是方程的解；②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．知识点二：求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．知识点三：求轨迹方程的方法：1、定义法：如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。2、直译法：如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3、参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点运动的某个几何量，以此量作为参变数，分别建立点坐标与该参数的函数关系，，进而通过消参化为轨迹的普通方程.4、代入法（相关点法）：如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。5、点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析重点题型一：直接法典型例题例题1．（2022·全国·高二课时练习）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点．若，且，则点的轨迹方程是______．例题2．（2022·四川内江·高二期末（理））在中，，，与斜率的积是．求点的轨迹方程；例题3．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）已知动点到定点、的距离之比为，动直线与垂直，垂足为点．求动点的轨迹方程；同类题型归类练1．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积为.(1)求点的轨迹方程；(2)记点的轨迹为曲线，是曲线上的点，若直线，均过曲线的右焦点且互相垂直，线段的中点为，线段的中点为.是否存在点，使直线恒过点，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.2．（2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习（文））已知直线上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且，记点P的轨迹为，求曲线的方程；3．（2022·河南商丘·三模（理））在平面直角坐标系xOy中，已知，，M是一个动点，C，D分别为线段AM，BM的中点，且直线OC，OD的斜率之积是．记M的轨迹为E．(1)求E的方程；(2)若过点且不与x轴重合的直线与E交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为（与Q不重合），直线与x轴交于点G，求的值．重点题型二：相关点法典型例题例题1．（2022·吉林·东北师大附中高二期末）已知圆与直线相切．(1)求圆的标准方程；(2)若线段的端点在圆上运动，端点的坐标是，求线段的中点的轨迹方程．例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知的斜边为，且.求：(1)直角顶点的轨迹方程；(2)直角边的中点的轨迹方程.例题3．（2022·全国·高三专题练习）是圆上的动点，点在轴上的射影是，点满足．（1）求动点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点的直线与动点的轨迹交于不同的两点，，求以，为邻边的平行四边形的顶点的轨迹方程．同类题型归类练1．（2022·广东梅州·高二期末）已知圆M经过原点和点，且它的圆心M在直线上.(1)求圆M的方程；(2)若点D为圆M上的动点，定点，求线段CD的中点P的轨迹方程.2．（2022·吉林·长春十一高高二期末）已知抛物线上的点到焦点F的距离为6.(1)求m的值及抛物线C的标准方程；(2)若，点Q为抛物线C上一动点，点M为线段FQ的中点，试求点M的轨迹方程.重点题型三：定义法典型例题例题1．（2022·全国·高二专题练习）已知是两个定点且的周长等于则顶点的轨迹方程为______．例题2．（2022·广东·华南师大附中三模）已知在中，，，动点满足，，的垂直平分线交直线于点．(1)求点的轨迹的方程；例题3．（2022·福建省福州第一中学高二期末）已知动点在轴及其右方，且点到点的距离比到轴的距离大1.(1)求点的轨迹的方程；同类题型归类练1．（2022·云南玉溪·高二期末）已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．(1)求的方程；2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足．记M的轨迹为C．(1)求C的方程；3．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知在平面直角坐标系中有两定点，，平面上一动点到两定点的距离之和为．(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线，分别与交于，，，四点，求四边形面积的最小值．4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，(1)求圆心的轨迹方程5．（2022·广东惠州·高三阶段练习）在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为.(1)求点的轨迹方程；6．（2022·全国·高三专题练习）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．7．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知动圆过定点，且与直线相切.(1)求动圆的圆心轨迹的方程；重点题型四：点差法典型例题例题1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.例题2．（2021·上海·高三专题练习）给定双曲线.（1）过点的直线与所给双曲线交于两点，求线段的中点轨迹方程.（2）过点能否作出直线，使与所给双曲线交于两点，且是线段的中点？并说明理由.例题3．（2021·全国·高三专题练习）过点的直线与抛物线交于、两点.求线段的中点的轨迹方程.拓展二：圆锥曲线的方程（轨迹方程问题）（精讲）第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析重点题型一：直接法重点题型二：相关点法重点题型三：定义法重点题型四：参数法重点题型五：点差法第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆知识点一：曲线方程的定义一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：①曲线上的点的坐标都是方程的解；②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．知识点二：求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．知识点三：求轨迹方程的方法：1、定义法：如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。2、直译法：如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3、参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点运动的某个几何量，以此量作为参变数，分别建立点坐标与该参数的函数关系，，进而通过消参化为轨迹的普通方程.4、代入法（相关点法）：如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。5、点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析重点题型一：直接法典型例题例题1．（2022·全国·高二课时练习）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点．若，且，则点的轨迹方程是______．【答案】设点，则，设，，则，，，，，，又，，，，即.故答案为：.例题2．（2022·四川内江·高二期末（理））在中，，，与斜率的积是．求点的轨迹方程；【答案】(1)设点C坐标为，由题知整理得点的轨迹方程为例题3．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）已知动点到定点、的距离之比为，动直线与垂直，垂足为点．求动点的轨迹方程；【答案】(1)解：设点，由已知可得，整理可得.因此，点的轨迹方程为.同类题型归类练1．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积为.(1)求点的轨迹方程；(2)记点的轨迹为曲线，是曲线上的点，若直线，均过曲线的右焦点且互相垂直，线段的中点为，线段的中点为.是否存在点，使直线恒过点，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】(1)；设，因为直线相交于点，且它们的斜率之积为，所以，整理可得，所以点的轨迹方程为.2．（2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习（文））已知直线上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且，记点P的轨迹为，求曲线的方程；【答案】(1)设点P的坐标为，则，∵，∴∴，当时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故．∴曲线C的方程为．3．（2022·河南商丘·三模（理））在平面直角坐标系xOy中，已知，，M是一个动点，C，D分别为线段AM，BM的中点，且直线OC，OD的斜率之积是．记M的轨迹为E．(1)求E的方程；(2)若过点且不与x轴重合的直线与E交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为（与Q不重合），直线与x轴交于点G，求的值．【答案】(1)（）解：由题意可知，直线的斜率存在，且，．由直线OC，OD的斜率之积是可知，直线BM，AM的斜率之积是，设，则直线AM的斜率为，直线BM的斜率为，可得，整理得，故E的方程为．重点题型二：相关点法典型例题例题1．（2022·吉林·东北师大附中高二期末）已知圆与直线相切．(1)求圆的标准方程；(2)若线段的端点在圆上运动，端点的坐标是，求线段的中点的轨迹方程．【答案】(1)(2)(1)已知圆与直线相切，所以圆心到直线的距离为半径．所以，所以圆O的标准方程为：．(2)设因为AB的中点是M，则，所以，又因为A在圆O上运动，则，所以带入有：，化简得：．线段AB的中点M的轨迹方程为:.．例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知的斜边为，且.求：(1)直角顶点的轨迹方程；(2)直角边的中点的轨迹方程.【答案】(1)(2)(1)解：设，因为三点不共线，所以，因为，所以，又因为，所以，整理得，即，所以直角顶点的轨迹方程为.(2)解：设，因为，是线段的中点，由中点坐标公式得，所以，由（1）知，点的轨迹方程为，将代入得，即所以动点的轨迹方程为.例题3．（2022·全国·高三专题练习）是圆上的动点，点在轴上的射影是，点满足．（1）求动点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点的直线与动点的轨迹交于不同的两点，，求以，为邻边的平行四边形的顶点的轨迹方程．【答案】（1）点M的轨迹C的方程为，轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆（2）（1）设，则由知：点在圆上

点的轨迹的方程为：轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆（2）设，由题意知的斜率存在设，代入得：则，解得：设，，则四边形为平行四边形又

∴，消去得：

顶点的轨迹方程为同类题型归类练1．（2022·广东梅州·高二期末）已知圆M经过原点和点，且它的圆心M在直线上.(1)求圆M的方程；(2)若点D为圆M上的动点，定点，求线段CD的中点P的轨迹方程.【答案】(1).(2).(1)解：设圆M的方程为，则圆心依题意得，解得.所以圆M的方程为.(2)解：设，，依题意得，得.点为圆M上的动点，得，化简得P的轨迹方程为.2．（2022·吉林·长春十一高高二期末）已知抛物线上的点到焦点F的距离为6.(1)求m的值及抛物线C的标准方程；(2)若，点Q为抛物线C上一动点，点M为线段FQ的中点，试求点M的轨迹方程.【答案】(1)见解析(2)(1)解：因为抛物线上的点到焦点F的距离为6，所以，解得或，所以时，抛物线的标准方程为，所以时，抛物线的标准方程为；(2)解：因为，所以抛物线的标准方程为，则焦点为，设，则，故，即，将点的坐标代入抛物线的标准方程得：，即，所以点M的轨迹方程为.3．（2022·新疆昌吉·高二期末（理））点与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数.（1）求动点的轨迹的方程；（2）点在（1）中轨迹上运动轴，为垂足，点满足，求点轨迹方程.【答案】（1）；（2）（1）由题意知，所以化简得：（2）设，因为，则将代入椭圆得化简得重点题型三：定义法典型例题例题1．（2022·全国·高二专题练习）已知是两个定点且的周长等于则顶点的轨迹方程为______．【答案】或，且△ABC的周长等于16，，故顶点的轨迹是以为焦点的椭圆，除去与轴的交点，，，，故顶点的轨迹方程为或故答案为：或例题2．（2022·广东·华南师大附中三模）已知在中，，，动点满足，，的垂直平分线交直线于点．(1)求点的轨迹的方程；【答案】(1)∵，∴AC的垂直平分线交BA的延长线于点P．连接PC，则，∴，由双曲线的定义知，点P的轨迹E是以，为焦点，实轴长为的双曲线的右支（右顶点除外），，，则，∴E的方程是．例题3．（2022·福建省福州第一中学高二期末）已知动点在轴及其右方，且点到点的距离比到轴的距离大1.(1)求点的轨迹的方程；【答案】(1)；由题可得动点P的轨迹是以点为焦点，以直线l：为准线的抛物线，所以点P的轨迹E的方程是；同类题型归类练1．（2022·云南玉溪·高二期末）已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．(1)求的方程；【答案】(1)解：圆的圆心为，半径，由点在的垂直平分线上，得，所以，所以的轨迹是以A，为焦点的椭圆，，，所以，，，所以的方程为；2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足．记M的轨迹为C．(1)求C的方程；【答案】(1)由椭圆的定义可知：M的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，，所以，所以C的方程为3．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知在平面直角坐标系中有两定点，，平面上一动点到两定点的距离之和为．(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线，分别与交于，，，四点，求四边形面积的最小值．【答案】(1)因为（），所以点轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆，所以，，，所以轨迹方程为；4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，(1)求圆心的轨迹方程【答案】(1)解：因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标，圆C半径为，则，，所以<4，所以点C的轨迹是双曲线的一支，又，，，所以其轨迹方程为；5．（2022·广东惠州·高三阶段练习）在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为.(1)求点的轨迹方程；【答案】(1)解：依题意可得点与关于对称，则，∴.则点的轨迹为以，为焦点，实轴长为8的双曲线，∴，，又，