参数估计与假设检验

参数估计的基本思想

数理统计的主要任务之一是依据样本推断总体.推断的基本内容包括两个方面:一是依据样本寻找总体未知参数的近似值和近似范围;二是依据样本对总体未知参数的某种假设作出真伪判断.本章先介绍求近似值和近似范围的方法.参数估计点估计区间估计用某一数值作为参数的近似值在要求的精度范围内指出参数所在的区间§5.1点估计概述书P146例5.1即:选择统计量估计量带入样本值估计值点估计的评价标准1.无偏性书P146定义5.1例1.书P146例5.12.有效性书P148定义5.2

设和是的两个无偏估计,若

称比更有效例2.设X1,X2,X3为来自总体X的简单随机样本,EX=μ,DX=σ2,验证下列μ的估计量哪个更有效.解=μ=σ2/2同理为无偏估计量,更有效.s.r.s,试证:为的无偏估计,且比更有效.例3.设总体X的方差存在是来自X的证明:样本容量越大,样本均值估计值越精确.3.相合性(一致性)书P149定义5.3例4.设X1,X2,…,Xn为取自总体X的样本,E(X)=μ,D(X)=σ2,则是总体均值E(X)=μ的相合估计量.证明利用切比雪夫不等式:即是总体均值E(X)=μ的相合估计量.总体数学期望和方差的点估计在实际中,常常以样本均值作为总体均值的点估计,以样本方差作为总体方差的点估计.期望的点估计(1)无偏性(2)样本容量越大,估计值越有效(3)相合性方差的点估计(无偏估计量)(非无偏估计量)§5.2参数的最大似然估计与点估计一.最大似然估计最大似然估计基本思想:已经得到的实验结果出现的可能性最大,于是就应找这样的作为的真值,使实验结果出现的可能性最大(书P150定义5.4)试求参数p的最大似然估计量。故似然函数为已知例2.总体服从参数为λ的普阿松分布，为的一组样本观测值，求参数λ的最大似然估计.

故似然函数为例3.已知随机变量服从参数为的几何分布，其分布列为，为一组样本观测值，求参数的最大似然估计；

解:似然函数为例4.总体的密度函数为:今从中抽取了容量为10的一个样本，数据为：1050、1100、1080、1200、1300、1250、1340、1060、1150、1150,求参数的最大似然估计值

解:似然函数为解:似然函数为解:似然函数为似然函数为：X的概率密度为：解：

二.矩估计法这种估计量称为矩估计量；矩估计量的观察值称为矩估计值。§5.3置信区间区间估计要求根据样本给出未知参数的一个范围，并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。一.置信区间的概念二.正态总体参数的置信区间(1).已知方差，估计均值推得，随机区间：例2.已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;例3.(书P158例5.14)例4.(书P159例5.15)例5、从一台机床加工的轴承中，随机地抽取200件，测得其椭圆度，得样本观察值=0.081毫米，并由累积资料知椭圆度服从N（μ，0.0252），试在置信概率0.95下，求μ的置信区间。解：已知=0.025,n=200,=0.081查表可得=1.96(2).未知方差，估计均值推得，随机区间：例6.用仪器测量温度，重复测量7次，测得温度分别为：115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;设温度Xf(x)这就是说，随机区间：例8.设某机床加工的零件长度今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下：12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06,在置信度为95%时，试求总体方差的置信区间。例9.随机取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差为11（米/秒），设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹速度的标准差的90%的置信区间。例10.(书P161例5.16)三.大样本情形的渐进置信区间例11.(书P161例5.17)例13.(书P161例5.18)例14.(书P161例5.19)例15、设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的样本，测得样本均值为5，求X的数学期望的置信度为95%的置信区间。解：这是一般总体的均值在大样本下的区间估计问题因为=5，=1，n=100，

故近似的置信区间为

=（4.804，5.196）1、某旅行社调查当地每一旅游者的平均消费额，随机访问了100名旅游者，得知平均消费额=150元，根据经验，已知旅游者消费额X~N（μ，222），求该地区旅游者平均消费额μ的置信度为95%的置信区间。答案：（145.7，154.3）

2、假定初生男婴的体重服从正态分布，随机抽取12名新生婴儿，测得平均体重为3057，标准差为375.314，试以95%的置信系数求新生男婴的平均体重μ和方差的置信区间。答案：（2818，3295），（70752，405620）

3、已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对9个试件作横纹抗压力试验得：平均横纹抗压力

=464.56，标准差S=28.82，试对下面情况分别求出平均横纹抗压力的95%置信区间。（1）已知=25（2）未知答案：（448.23，480.89）及（442.41，486.71）

4、冷抽铜丝的折断力服从正态分布，从一批铜丝中任取6根来测试折断力，得样本方差=8.56，求方差的置信区间（=0.05）。

5、假设豫农1号玉米穗位X（单位：cm）是一个连续型随机变量，现在观测100株玉米穗位，测得平均高度

=112.3，标准差S=308.8求置信度为0.95的关于总体均值μ的置信区间。答案：（51.8，172.8）§5.4假设检验概述例1.某地旅游者的消费额附从正态分布X~N(μ,σ2),调查25个旅游者,得出一组样本观测值x1,x2,…,x25,若有专家认为消费额的期望值为μ0,如何由这组观测值验证这个说法？假设检验为μ=μ0例2.用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气体的含量服从正态分布X~N(23,22),现用一简便方法测量6次得一组数据23,21,19,24,18,18(单位:十万分之一),问用简便方法测得的有害气体含量是否有系统偏差?假设检验μ=23,σ2=22

众所周知,总体的全部信息可以通过其分布函数反映出来,但实际上,参数往往未知,有时甚至的表达式也未知.因此需要根据实际问题的需要,对总体参数或分布函数的表达式做出某种假设(称为统计假设),再利用从总体中获得的样本信息来对所作假设的真伪做出判断或进行检验.这种利用样本检验统计假设真伪的过程叫做统计检验(假设检验)例3.用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气体含量服从正态分布N(23,22),现用一简便方法测量6次得一组数据23,21,19,24,18,18(单位:十万分之一),若用简便方法测得有害气体含量的方差不变,问用该方法测得有害气体含量的均值是否有系统偏差?即分析用简便方法测得有害气体含量X~N(μ,22),基本检验H0:

μ=μ0=23备择检验H1:

μ≠μ0=23;若H0成立,则若取α=0.05,则P{|U|>uα/2}=α,:P{|U|>1.96}=0.05,在假设成立的条件下,|U|>1.96为概率很小事件,一般认为:小概率事件在一次实验中是不会发生的将样本观测值代入U得|U|>1.96,小概率事件在一次实验中发生了,故假设不合情理,

即:否定原假设,简便方法测得均值有系统偏差.注

检验准则则拒绝H0,则接受H0.1.统计检验的基本思想(1)小概率原理(实际推断原理)认为概率很小的事件在一次试验中实际上不会出现,并且小概率事件在一次试验中出现了,就被认为是不合理的.(2)基本思想先对总体的参数或分布函数的表达式做出某种假设,然后找出一个在假设成立条件下出现可能性甚小的(条件)小概率事件.如果试验或抽样的结果使该小概率事件出现了,这与小概率原理相违背,表明原来的假设有问题,应予以否定,即拒绝这个假设.若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现,就没有理由否定这个假设,表明试验或抽样结果支持这个假设,这时称假设与实验结果是相容的,或者说可以接受原来的假设.接受域否定域否定域注意:否定域的大小,依赖于显著性水平的取值,一般说来,显著性水平越高,即α越小,否定域也越小,这时原假设就越难否定

(1)

提出待检验的原假设和备则假设;(2)

选择检验统计量,并找出在假设成立条件下,该统计量所服从的分布;(3)

根据所要求的显著性水平α和所选取的统计量,确定一个合理的拒绝H0的条件;

(4)

由样本观察值计算出统计检验量的值,若该值落入否定域,则拒绝原假设,否则接受原假设注

若H1位于H0的两侧,称之为双侧检验;

若H1位于H0的一侧,称之为单侧检验.2.统计检验的实施顺序

另一方面,当原假设不成立时,却作出接受原假设的结论,造成犯“取伪”的错误,称为第二类错误,根据小概率原理否定原假设,有可能把本来客观上正确的假设否定了,造成犯“弃真”的错误,称为第一类错误,弃真取伪3.两类错误

就是犯第一类错误的概率的最大允许值.一般用表示犯第二类错误的概率.当样本容量一定时,小,就大,反之,小,就大.另外,一般,§5.5单正态总体的参数假设检验设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn为一组样本，1.总体方差σ2已知时(U检验法）①H0:μ=μ0(已知);H1:μ≠μ01)提出原假设和备择假设:H0:μ=μ0;H1:μ≠μ0,2)确定检验统计量:3)对给定α,由原假设成立时P(|U|>uα/2)=α得拒绝条件为|U|>uα/2,其中,接受域否定域否定域双侧统计检验例1、已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N（4.55,0.1082），现测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55？（=0.05）

对=0.05，查表可得=1.96

若H0为真时，

则|U|=||=1.83

|U|＜1.96，故接受H0

即可承认现在生产铁水的平均含碳量为4.55解：H0：=4.55，H1：≠4.55解：H0：=2.6，H1：≠2.6例2、某鸡场用某饲料饲养肉鸡3个月，平均体重2.6千克，标准差0.5千克，现改用复合饲料饲养肉鸡64只，3个月平均体重2.5千克，标准差不变，若肉鸡体重服从正态分布，问是否可以认为复合饲料和原饲料同样有利于肉鸡生长？（=0.05）

对=0.05，查表可得=1.96若H0为真时，|U|＜1.96，故接受H0可以认为复合饲料和原饲料同样有利于肉鸡生长②H0:μ≤μ0(已知);H1:μ>μ01)提出原假设和备择假设:H0:μ≤μ0;H1:μ>μ0,2)对统计量:在H0下有对给定的α有所以3)故

拒绝条件为U>uα,其中,否定域接受域P(>uα)≤α单侧（右侧）统计检验例3、书P170例5.24③H0:μ≥μ0(已知);H1:μ<μ0

1)提出原假设和备择假设:H0:μ≥μ0;H1:μ<μ0,2)选择统计量:3)对给定α,

否定域为U<-uα,其中2.σ2未知,μ的检验(t检验法）1)提出原假设和备择假设:H0:μ=μ0;H1:μ≠μ0,2)选择检验统计量：3)对给定α,拒绝条件为

|T|>tα/2(n-1)接受域否定域否定域类似可得:σ2未知,期望的单侧统计检验统计检验H0:μ≤μ0;H1:μ>μ0的拒绝条件为T>tα(n-1)统计检验H0:μ≥μ0;H1:μ<μ0的拒绝条件为T<-tα(n-1)例4.两厂生产同一产品,其质量指标假定都服从正态分布,标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5件产品测得其指标值为:119.0,120.0,119.2,119.7,119.6,从乙厂也抽取5件产品,测得其指标值为:110.5,106.3,122.2,113.8,117.2.要根据这些数据判断这两厂产品是否符合预定规格120?(显著性水平0.05)解

设甲厂产品指标服从正态分布,乙厂产品指标服从正态分布.和均未知.对甲厂进行t检验:

对于=0.05，查表可得(4)=2.776由样本值得S=0.4若H0为真时，∵2.795＞2.776，故拒绝H0即不可认为μ=120对乙厂进行t检验:

由样本值得S=6.1若H0为真时∵2.199<2.776，故接受H0即可认为μ=120例5、已知某一试验，其温度服从正态分布N（μ，2），现在测量了温度的5个值为：1250，1265，1245，1260，1275，问是否可认为μ=1277？（=0.05）解：对于H0：μ=1277H1：μ≠1277对于=0.05，查表可得(4)=2.776

若H0为真时，

∵3.37＞2.776，故拒绝H0即不可认为μ=1277由样本值得S2=11.942二.方差σ2的检验(1)σ2的检验（μ未知）1)