人教版初中数学中考冲刺：创新、开放与探究型问题-知识讲解（提高）

中考冲刺：创新、开放与探究型问题一知识讲解（提高）

【中考展望】

所谓开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目

的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案（一个、多个或所有答案）或探索出解决问题的多种

方法.

由于开放探究型问题对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年中考命题的一个热

点.通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方

案设计、命题组合型、问题开放型等.

【方法点拨】

由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖,

构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并

力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题

途径完成最后的解答.由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式

或套路，但是可以从以下几个角度考虑：

1.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，

从而得出规律.

2.反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与己知条

件一致.

3.分类讨论法.当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做

到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果.

4.类比猜想法.即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，

并加以严密的论证.

以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运

用.

【典型例题】

类型一、探索规律

C1.（•武汉校级二模）如图，△ABC面积为1,第一次操作：分别延长AB,BC,CA至点Ai,Bi,

Ci,使AiB=AB,CiB=CB,CiA=CA,顺次连接Ai,Bi,Ci,得到△A1B1C1.第二次操作：分别延长

AiBi,BiCi,CiAi至点A2,B2,C2,使A2B尸AIBI,B2CI=BICI,C2AI=CIAI,顺次连接A2,B2,C2,

得到AA2B2c2,...按此规律，要使得到的三角形的面积超过，最少经过（）次操作.

C,

A.7B.6C.5D.4

【思路点拨】

先根据已知条件求出△ABG及△&B£2的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可.

【答案】1).

【解析】解：AABC与AA1BB1底相等(AB=AiB),高为1：2(BBi=2BC),故面积比为1：2,

•••△ABC面积为1,

SAAIBIB=2.

同理可得，SACIBIC=2,SAAAIC=2,

SAAIBICI=SACIBIC+SAAAIC+SAAIBIB+SAABC=2+2+2+1=7；

同理可证4A2B2c2的面积=7XAAIBICI的面积=49,

第三次操作后的面积为7x49=343,

第四次操作后的面积为7x343=2401.

故按此规律，要使得到的三角形的面积超过，最少经过4次操作.

故选D.

【总结升华】

考查了三角形的面积，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的

关系，再根据此规律求解即可.

举一反三：

【变式】(2016•抚顺)如图,△AAA3,AAiAsAs,4A人品，…，△A3„-2A3„-IA3„(n为正整数)均为等边三

角形，它们的边长依次为2,4,6,…，2n,顶点A»A6,Ag,…，A”,均在y轴上，点0是所有等边三角

形的中心，则点A2016的坐标为.

【答案与解析】

解：•.♦△AAA3为等边三角形，边长为2,点A3,A6IAg,…，A3”均在y轴上，点0是所有等边三角形的

中心，

.•人的坐标为(o,2百)，

3

•••2016+3=672,

••.Azole是第672个等边三角形的第3个顶点，

...点A20I6的坐标为(0,—x四G),

32

即点A2016的坐标为(0,44873)；

故答案为：(0,448石).

类型二、条件开放型、结论开放型

C2.在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的顶点A的坐标为(2,2).

(1)若底边BC在x轴上，请写出一组满足条件的点B、点C的坐标：；

(2)若底边BC的两端点分别在x轴、y轴上，请写出一组满足条件的点B、点C的坐标：.

【思路点拨】

(1)首先由BC在x轴上，在等腰AABC中，即可过顶点A作ADLBC交BC于D,根据三线合一的性质，

可得BD=CD,即B,C关于点D对称，则可求得满足条件的点B、点C的坐标；

(2)连接0A,由等腰三角形ABC的顶点A的坐标为(2,2),易证得aAOB丝ZsAOC,则可知OB=OC,继

而可得满足条件的点B、点C的坐标.

【答案与解析】

解：(1)；BC在x轴上，在等腰AABC中，过顶点A作ADLBC交BC于D,

•.•顶点A的坐标为(2,2),

AD的坐标为(2,0),

在等腰△ABC中，有BD=CD,

；.B,C关于点D对称，

•••一组满足条件的点B、点C的坐标为：B(0,0),C(4,0)；

七#

(2)连接0A,

•••等腰三角形ABC的顶点A的坐标为(2,2),

.\ZA0C=ZA0B=45°,

.•.当OB=OC时，

OB=OC

在AAOB与AAOC中，＜ZAOB=ZAOC

OA=OA

.".△AOB^AAOC,

.*.AB=AC,

即aABC是等腰三角形，

•••一组满足条件的点B、点C的坐标：(0,1),(1,0).

【总结升华】

此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识.此题难度适中，解题的关键是注意数

形结合思想的应用，注意辅助线的作法.

举一反三：

【变式】在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的顶点A的坐标为(2,2).

(1)若底边BC在x轴上，请写出一组满足条件的点B,点C的坐标：；设点B,

点C的坐标分别为(m,0),(n,0),你认为m,n应满足怎样的条件？

(2)若底边BC的两个端点分别在x轴，y轴上，请写出一组满足条件的点B,点C的坐标:

;设点B,点C的坐标分别为(m,0),(0,n),你认为m,n应满足怎样的条件？

【答案】

解：可以通过等腰三角形的作法来探求符合题意的条件：由于AB=AC,故点B和点C在以A为圆心的同

一个圆上.

⑴如图(a)，作AE±x轴于E,以大于AE的长度为半径画弧,与x轴的交点即为符合题意的点B和点C.易

知E(2,0)为线段BC的中点，故CE=EB,即n-2=2—m；如：点B(0,0),点C(4,0)；m+n=4且m

Wn.

(2)类似于(1)作0A,与两条坐标轴分别交于B”B2,G,Cz,显然当A,B,C三点不共线时这样确定的

点B,C均符合题意.如：点B(l,0),点C(0,1),或点B(3,0),点C(0,1)；m=n,且m,n不为0

和4；或m+n=4.

类型三、条件和结论都开放的问题

C3.如图(1),四边形ABCD中，AD与BC不平行，现给出三个条件：①NCAB=/DBA,②AC=BD,

③AD=BC.请你从上述三个条件中选择两个条件，使得加上这两个条件后能够推出ABCD是等腰梯形,

并加以证明(只需证明一种情况).

图⑴

【思路点拨】

有两种方法，第一种是：①NCAB=/DBA,②AC=BD；第二种是：②AC=BD,③AD=BC,均可利用等腰梯形

的判定方法进行验证.

【答案与解析】

解：第一种选择：

①NCAB=/DBA,②AC=BD.

证明：由AACB也Z\BDA,

可得AD=BC,ZABC=ZBAD.

如图⑵作DE〃BC交AB于点E,则ZDEA=ZCBA.

.\ZDAE=ZDEA,AD=ED=BC.

由ED=BC及DE〃BC知,

四边形DEBC是平行四边形，所以AB〃CD.

AD与.BC不平行，

四边形ABCD是等腰梯形.

E

图（2）

第二种选择：②AC=BD,③AD=BC.

证明：如图（3）,延长AD、BC相交于点E.

由△DABgACBA,可得/DAB=NCBA,

.*.EA=EB.

由AD=BC,可得DE=CE,ZEDC=ZECD.

再由三角形内角和定理可得NEDC=NEAB,

.,.DC#AB.

：AD与BC不平行,

四边形ABCD是等腰梯形.

【总结升华】此题一道开放性的题目，主要考查学生对等腰梯形的判定的掌握情况.

举一反三：

【变式】如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB上取一点M,在CD上取

一点N,将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K,得到

I)I)BN

(1)若N1=70°，求NMNK的度数.

(2)ZXMNK的面积能否小于,？若能，求出此时/I的度数；若不能，试说明理由.

2

(3)如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值.

(备用图)

【答案】

解：⑴：ABCD是矩形,

；.AM〃DN.

.\ZKNM=Z1.

VZ1=7O°,

AZKNM=ZKMN=70°.

过M点作ME_LDN,垂足为E,则ME=AD=1.

VZKNM=ZKMN,

；.MK=NK,

又MK》ME,

ANK>l.

11

AMNK的面积=2NK・ME>2.

1

/.AMNK的面积不可能小于2.

(3)分两种情况：

情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合.

MK=MD=x,则AM=5-x.

由勾股定理得12+(5-x)2=x?,

解得x=2.6.

AMD=ND=2.6.

1x2.6

=

SAMKK=SAMND=:41.3.

情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC.

MK=AK=CK=x,则DK=5-x.

同理可得MK=NK=2.6.

VMD=1

1x2.6

=

SAMNK=SAMNI>=41.3.

△MNK的面积最大值为1.3.

类型四、动态探究型

Cd.如图1,将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,

三角板的一边交CD于点F.另一边交CB的延长线于点G.

(1)求证：EF=EG；

(2)如图2,移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，(1)中的结论

是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立.请说明理由：

(3)如图3,将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B,其他条件

EF

不变，若AB=a、BC=b,求---的值.

EG

【思路点拨】

(1)由/GEB+/BEF=90°,ZDEF+ZBEF=90°,可得NDEF=/GEB,又由正方形的性质，可利用SAS证

得Rt^FEDgRtZ\GEB,则问题得证；

(2)首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I,然后利用SAS证得Rt^FEI丝Rt^GEH,则问

题得证：

(3)首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N,易证EM〃AB,EN〃AD,则可证得ACENsA

CAD,ACEM-ACAB,又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GMES/\FNE,根据相似三角形的对应

边成比例，即可求得答案.

【答案与解析】

解：(1)证明：VZGEB+ZBEF=90°,ZDEF+ZBEF=90°,

：.ZDEF=ZGEB,

又：ED=BE,

；.EF=EG；

(2)成立.

证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I,

则E//=EI,N"EI=90°,

■:NGEH+/HEF=90°,NIEF+4HE打90°,

.,.ZIEF=ZGEH,

ARtAFEI^RtAGEH,

，EF=EG；

(3)解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N,

则NMEN=90°,

/.EM/7AB,EN/7AD.

.,.△CEN^ACAD,ACEM^ACAB,

.NE_CEEM_CE

''~AD~~CA'~AB~~CA'

.NEEMNEADb

•・---=-------，Un|Jn--------=-------=一,

ADABEMABa

VZIEF+ZFEM=ZGEM+ZFEM=90°,

・・・ZGEM=ZFEN,

VZGME=ZFNE=90°,

AAGME^AFNE,

.EF_EN

^~EG~~EMf

.EF_b

EGa

【总结升华】此题考查了正方形、矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质.此题综合

性较强，注意数形结合思想的应用.

举一反三:

【变式1】已知：如图(a),在RtaACB中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向

点A匀速运动，速度为lcm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ.若

设运动的时间为t(s)(0<t<2),解答下列问题：

(1)当t为何值时，PQ〃BC?

(2)设△AQP的面积为y(cn<2),求y与t之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把RtAACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t

的值.若不存在，说明理由；

(4)如图(b),连接PC,并把△POC沿QC翻折，得到四边形PQP'C,那么是否存在某一时刻t,使

四边形PQP'C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.

【答案】

解：⑴在R3ABC中，AB=5.

由题意知AP=5-t,AQ=2t.

若PQ〃BC,则△APQs/XABC.

.AQ_AP_

.It5-t

•.—=----.

45

(2)过点P作PH_LAC于H,如图(c).

VAAPH^AABC,

.PHAP

.•.这=三.解得PH=3-匕.

355

।।।3

y=-xAQxPH^-x2tx(3--t)=--t2+3t.

(3)若PQ把aABC周长平分，

则AP+AQ=BP+BC+CQ.

/.(5-t)+2t=t+3+(4-2t).

解得t=l.

若PQ把4ABC面积平分，

13,

则=/SaABC，即-m厂+3/=3.

：t=l代入上述方程不成立，

不存在这一时刻t,使线段PQ把RtAACB的周长和面积同时平分.

(4)过点P作PM_LAC于M,PNJ_BC于N,如图(d).

若四边形PQP'C是菱形，那么PQ=PC.

VPM1ACTM,，QM=CM.

：PN_LBC于N,易知△PBNsAABC.

.PNBP.PNt

•・__——___，・_・___—_•

ACAB45

4r

解得PN=一.

5

4t

・・・QM=CM=—.

5

44

**•一tH—，+2/=4.

55

解得/=竺.

9

.♦.当7=3时，四边形PQP'C是菱形.

9

48

37-/-

此时PM=3—2f=」,CA75-9-

53

在RtZXPMC中，PC=dPM?+CM2=5+|^=小三

菱形PQP'C的边长为^—.

9

举一反三：

【变式2】如图，点D,E在AABC的边BC上，连接AD,AE.①AB=AC；②AD=AE；③BD=CE.以此三个

等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②=>③；①③n②；

②③=>①.

(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答)；

(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题，然后证明).

A

【答案】

解：(1)三个都是真命题；

(2)解法一①②二③

如图,过点A作4a理于点F.

■:AB=AC,

：.BF=CF.

*：AD=AEi

：.DF=EF.

：.BD=CE.

解法二①③=②

•:AB=AC,

:.ZABD=乙ACE.

*：BD=CE,

:•△ABD^XACElSAS.

：.AD=AE,

解法三②③=①

•:AD=AE,

：.ZADE=Z.AED,

即N/1如

,:BD=CE,

:.丛AB哙丛ACE(SAS).

：,AB=AC

类型五、创新型

Cs.先阅读下列材料，然后解答问题：从AB,C三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成

3x2

数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，记作C；=^—=3.一般地，从加个元素中选取〃个

32x1

元素组合，记作:

C=-------------------------------

〃（〃一1）…x3x2xl

7x6xSx4x3

例从7个元素中选5个元素，共有C；=----------=21种不同的选法.

5x4x3x2xl

问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有种.

【思路点拨】

本题需要学生读懂加个元素中选取〃个元素的计算规则，然后针对具体的从10人中选取3人参加

的计算.

【答案与解析】

10x9xX

由给出的公式可知从10个人中取3个人参加活动，有C：o=,=120种不同的选法.

3x2x1

【总结升华】

本题构思精妙、情境新颖.从试题的情境来看，本题以初中数学中的整数的乘除运算等基本运算为素

材，以高中数学中组合数的定义及其计算公式为背景，展示给学生的是一个全新的问题，试题具有较大

的自由度和思维空间，考查了阅读理解、知识迁移等多种数学能力，体现了主动探究精神，呈现出研究

性学习的特点，从而进一步考查了学生自学高中数学知识的能力.从试题的解答来看，直接以组合数的

定义及其计算公式为背景的试题在各种复习资料和模拟试题中从未见过，解决这个问题没有现成的“套

路”和“招式”，需要学生自主学习组合数的定义及其计算公式的定义，综合运用多种数学思想方法，

才能解决问题.

中考冲刺：创新、开放与探究型问题一巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题

1.（2016•重庆校级二模）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一

共有1个空心小圆圈，第②个图形中一共有6个空心小圆圈，第③个图形中一共有13个空心小圆圈，…,

按此规律排列，则第⑦个图形中空心圆圈的个数为（）

・OO•

•O•OOOO

OOOOOOOO

OOOOO

①②③

A.61B.63C.76D.78

2.如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3,AC=4,D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D

重合，折痕与AD交与点R；设RD的中点为D”第2次将纸片折叠，使点A与点Di重合，折痕与AD交

于点P2；设P2D1的中点为D”第3次将纸片折叠，使点A与点灰重合，折痕与AD交于点Pa；•设

P—Di的中点为D…，第n次将纸片折叠，使点A与点D一重合，折痕与AD交于点P.（n>2）,贝ijAPe

的长为（）

B

BB

第1次折叠第2次析善第3次折香

365x3637

B.-----C.

25x292145x2"

3.下面两个多位数1248624…、6248624-,都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2,若积为

一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位.对第2位数字再进行如上操

作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第1位数字是3

时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是（）

A.495B.497C.501D.503

二、填空题

4.（•合肥校级三模）如图，一个3x2的矩形（即长为3,宽为2）可以用两种不同方式分割成3或6个

H?

（1）一个5x2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是个，最少是个；

（2）一个7x2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是个，最少是个；

（3）一个（2n+l）x2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是个；最少是个.（n

是正整数）

5.一园林设计师要使用长度为4L的材料建造如图1所示的花圃，该花圃是由四个形状、大小完全一样

的扇环面组成，每个扇环面如图2所示，它是以点0为圆心的两个同心圆弧和延长后通过。点的两条直

（D使图①花圃面积为最大时R-r的值为,以及此时花圃面积为,其中R、r

分别为大圆和小圆的半径；

（2）若L=160m,r=10m,使图面积为最大时的。值为.

6.如图所示，已知AABC的面积So8c=l，

在图(a)中，若丛=毁=殁=2.,则5“病=工；

ABBCCA2△4

在图(b)中，若"=①=乌=].,则S八ABC=1

ABBCCA3-223

在图(c),若乱=照="=’7

则=记

ABBCCA4

按此规律,

三、解答题

7.(2016•丹东模拟)已知，点D为直线BC上一动点(点D不与点B、C重合)，ZBAC=90°,AB=AC,

ZDAE=90°,AD=AE,连接CE.

(1)如图1,当点D在线段BC上时，求证：①BDLCE,②CE=BC-CD；

(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CE、BC、CD三条线段之间的

关系；

(3)如图3,当点0在线段BC的反向延长线上时，且点A、E分别在直线BC的两侧，点F是DE的中点,

连接AF、CF,其他条件不变，请判断4ACF的形状，并说明理由.

8.如图(a)、(b)、(c),在AABC中，分别以AB,AC为边,向AABC外作正三角形、正四边形、正五边

形，BE,CD相交于点0.

(1)①如图(a),求证：ZiADC^4ABE；

②探究:

图(a)中，NBOC=—

图(b)中，NBOC=

图(c)中，ZBOC=

⑵如图(d),已知：AB,AD是以AB为边向AABC外所作正n边形的一组邻边；AC,AE是以AC为边

向AABC外所作正n边形的一组邻边.BE,CD的延长相交于点0.

①猜想：图(d)中，ZB0C-；(用含n的式子表示)

②根据图(d)证明你的猜想.

9.如图(a),梯形ABCD中，AD/7BC,ZABC=90°,AD=9,BC=12,AB=a,在线段BC上任取一点P(P

不与B,C重合)，连接DP,作射线.PE1DP,PE与直线AB交于点E.

(1)试确定CP=3时，点E的位置；

(2)若设CP=x(x>0),BE=y(y>0),试写出y关于自变量x的函数关系式；

(3)若在线段BC上能找到不同的两点P“P?,使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时

a的取值范围.

图(a)图(b)

10.点A,B分别是两条平行线m,n上任意两点，在直线n上找一点C,使BC=k•AB.连接AC,在直

线AC上任取一点E,作NBEF=/ABC,EF交直线m于点F.

(1)如图(a),当k=l时，探究线段EF与EB的关系，并加以说明；

说明：

①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)；

②在完成①之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为NABC为特殊角)，在图⑹中补全图形，完

成证明.

(2)如图(c),若NABC=90°,k#l,探究线段EF与EB的关系，并说明理由.

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】A；

【解析】•••第①个图形中空心小圆圈个数为：4X1-3+lX0=l个；

第②个图形中空心小圆圈个数为：4X2-4+2X1=6个：

第③个图形中空心小圆圈个数为：4X3-5+3X2=13个；

第⑦个图形中空心圆圈的个数为：4X7-9+7X6=61个：

2.【答案】A；

1s155X325X335xV

【解析】由题意得，AD=-BC=-,ADFAD-DDF—,AD2=笠AD3二二二，ADF一

228252722M

.5155x325X3"T

故API=-，AP?=—»APs=---…APn=-，

4162622"

5x35

故可得APe=-—•

故选A.

3.【答案】A；

【解析】根据题意，当第1位数字是3时，按操作要求得到的数字是3624862486248…，从第2位数

字起每隔四位数重复一次6248,因为(100-1)被4整除得24余3,所以这个多位数前100位的所有数字

之间和是3+(6+2+4)+(6+2+4+8)*24=495,答案选A.

二、填空题

4.【答案】(1)4：10；(2)5；14：(3)4n+2；n+2.

【解析】(1)一个5x2的矩形最少可分成4个正方形，最多可分成10个正方形；

(2)一个7x2的矩形最少可分成5个正方形，最多可分成14个正方形；

(3)第一个图形：是一个3x2的矩形，最少可分成1+2个正方形，最多可分成1x4+2个正方形；

第二个图形：是一个5x2的矩形，最少可分成2+2个正方形，最多可分成2x4+2个正方形；

第三个图形：是一个7x2的矩形，最少可分成3+2个正方形，最多可分成3x4+2个正方形;

第n个图形：是一个(2n+l)x2的矩形，最多可分成nx4+2=4n+2个正方形，最少可分成n+2个正方形.

故答案为：(1)4；10；(2)5；14；(3)4n+2；n+2.

iE240

5.【答案】(1)R—r的值为一，以及此时花圃面积为一；(2)0值为例.

4471

【解析】要使花圃面积最大，则必定要求扇环面积最大.

设扇环的圆心角为6,面积为S,根据题意得：

,OTIROnr〜、

L=----+——+2(/n?-r)

180180

6二180口一2(/?—，)]

万(R+-)

，5=皿一丝=里2一产

360360360

=2口185-2(』)]

360兀(R+r)

,1

^-(R-r)2+-L(R-r)

「LTI3

=-(R-r)~—+—.

4J16

'：Q<R-r<-,

2

L1}

S在R-r=—时取最大值为—.

416

LITI；

...花圃面积最大时R-r的值为士，最大面积为二x4=‘.

4164

(2):•当/?一r=工时，S取大值，

4

R—r=—==40(m),

44

T?=40+r=40+10=50(m),

c180[L-2(/?-r)]180(160-2x40)240

/.u=----------=----------=--.

60万兀

19

6.【答案】—.

27

【解析】

111

^Cq=l-i3ox-x-=-

c「211

5=1

AA2B2C2'3X-X-=-

317

5

W3-1-3X-X-=—

。，0815719

S人=]-3X-x-=—二—

998127

S-二⑶三匕]一厂总

〃+1〃+1(〃+1)

三、解答题

7.【答案与解析】

(1)证明：如图1中，VZBAC=ZDAE=90°,

AZBAD=ZCAE,

在aABD和4ACE中，

'AB二AC

</BAD=NCAE，

AD=AE

AAABD^AACE,

AZABD=ZACE=45°,BD=CE,

图1

・・・ZACB+ZACE=90°

AZECB=90°,

ABDICE,CE=BC-CD.

(2)如图2中，结论：CE=BC+CD,理由如下:

VZBAC=ZDAE=90°,

:.ZBAD=ZCAE,

在4ABD和4ACE中,

'AB=AC

<NBAD=/CAE，

图2

AD=AE

AAABD^AACE,

，BD=CE,

.,.CE=BC+CD.

(3)如图3中，结论：4ACF是等腰三角形.理由如下:

VZBAC=ZDAE=90°,

二ZBAD=ZCAE,

在△ABD和△ACE中,

'AB=AC

<ZBAD=ZCAE

,AD=AE

AAABD^AACE,

ZABD=ZACE,

VZABC=ZACB=45",

AZACE=ZABD=135°,

.*.ZDCE=90o,

又•••点F是DE中点，

，AF=CFJDE,

2

...△ACF是等腰三角形.

8.【答案与解析】

(1)证法一：

VAABD与4ACE均为等边三角形，

；.AD=AB,AC=AE,且NBAD=NCAE=60°.

ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,

即/DAC=/BAE.

.".△ADC^AABE,

证法二：:△ABD与4ACE均为等边三角形，

；.AD=AB,AC=AE,

且/BAD=/CAE=60°.

AAADC可由4ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到.

.".△ABE^AADC.

②120°,90°,72°.

360°

⑵①

n

②证法一：依题意，知NBAD和NCAE都是正n边形的内角，AB=AD,AE=AC,

...NBAD=NCAE=("2)180。

n

：.ZBAD-ZDAE=ZCAE-ZDAE,

即NBAE=NDAC.

AAABE^AADC.

AZABE=ZADC.

VZADC+Z0DA=180°,

/.ZAB0+Z0DA=180°.

AZAB0+Z0DA+ZDAB+ZB0C=360o.

.\ZB0C+ZDAB=180°.

.../B0C=18。。-ZDAB=180°-^^=^.

nn

证法二：延长BA交CO于F,证NB0C=/DAF=180°-ZBAD.

证法三：连接CE.证/B0C=180°-ZCAE.

9.【答案与解析】

解：⑴作DF_LBC,F为垂足.

当CP=3时，四边形ADFB是矩形，则CF=3.

，点P与点F重合.

XVBF1FD,

此时点E与点B重合.

⑵⑴当点P在BF上(不与B,F重合)时，(见图(a))

VZEPB+ZDPF=90°,ZEPB+ZPEB=90°,

r.ZDPF=ZPEB.

.".RtAPEB^AARtADPF.

.BEFP〃

••----=------①

BPFD

x3

又：BE=y,BP=12-x,FP=x-3,FD=a,代入①式，得=上一

12-xa

)=工(12—x)(x—3),整理，

a

1i

得y=—(x2-15x+36)(3<x<12)②

a

BEFP

(ii)当点P在CF上(不与C,F重合)时，(见上图(b))同理可求得——=——.