小学奥数教程-约数与倍数教师手册

5-4-3.约数与倍数(三)

尊弟目强

1.本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。

2.本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，

例如:(1)约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；

(2)整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为△☆的结构，

而且表达形式唯一”

一、约数、公约数与最大公约数概念

(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数，整数a能被整数。整除，a叫做。的倍数，。就叫做a的约数；

(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；

(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；

(4)0被排除在约数与倍数之外

1.求最大公约数的方法

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来.

例如：231=3x7x11,252=22X32X7,所以(231,252)=3x7=21；

2|1812

②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘.例如：3[9_6,所以(12/8)=2*3=6；

32

③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数.用转转相

除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除

小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前

一个余数，直到余数是0为止.那么，最后一个除数就是所求的最大公约数.(如果最后的除数是1,那么原

来的两个数是互质的).

例如，求600和1515的最大公约数：1515+600=2…315；600+315=1…285；315+285=1…30；

285+30=9…15;30+15=2-0;所以1515和600的最大公约数是15.

2.最大公约数的性质

①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；

②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；

③几个数都乘以一个自然数〃，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以“.

3.求一组分数的最大公约数

先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a;求出各个分数的分子的最

大公约数b;2即为所求.

a

4.约数、公约数最大公约数的关系

(1)约数是对一个数说的；

(2)公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数

二、倍数的概念与最小公倍数

(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数

(2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数

(3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。

1.求最小公倍数的方法

①分解质因数的方法；

例如：231=3x7x11,252=22X32X7,pffU[231,252]=22x32x7x11=2772;

②短除法求最小公倍数；

2|1812

例如：3|96,所以[18,12]=2*3、3、2=36;

32

,axb

③3r,切=二不■

(a,b)

2.最小公倍数的性质

①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.

②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积.

③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数.

3.求一组分数的最小公倍数方法步骤

先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数“；求出各个分数分母的最大公约数人；3即

为所求•例如椁江捣兰

Fl1LM4

注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数,例如:=

|_23j(2,3)

4.倍数、公倍数、最小公倍数的关系

(1)倍数是对一个数说的；

(2)最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数

三、最大公约数与最小公倍数的常用性质

1.两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

如果用为A、B的最大公约数，且A=sa,B=mb，那么a、6互质，所以A、8的最小公倍数为〃a76,

所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

M|AB

ab

①AxBumaxmbumxmab,即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；

②最大公约数是A、B、A+B,A-3及最小公倍数的约数.

2.两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即(a,b)x[a,勿=axb,此性质比较简单，学生比较容易掌握。

3.对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为

a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数

例如:5x6x7=210,210就是567的最小公倍数

功偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍

例如：6x7x8=336,而6,7,8的最小公倍数为336+2=168

性质(3)不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几

个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。

四、求约数个数与所有约数的和

1.求任一整数约数的个数

一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)力口1后所得的乘积。

如:1400严格分解质因数之后为23、52乂7,所以它的约数有(3+1)x(2+1)X(1+1)=4X3X2=24个。(包括1

和1400本身)

约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过

的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂建议给学生推导并要求其掌握。

难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少

个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。

2.求任一整数的所有约数的和

一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最

高次幕求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。

如：2I000=23X3X53X7,所以21000所有约数的和为

(1+2+22+2')(1+3)(1+5+52+53)(1+7)=74880

此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记

忆即可。

模块一、运用大公约和小公倍的模型解题

如果，"为A、8的最大公约数，根据模型知道：

M|AB

ab

(1)且A=ma,B=mb

(2)那么a、。互质

(3)所以A、8的最大公约数为机，最小公倍数为,加出

(4)最大公约数与最小公倍数的成绩为A与3的成绩

【例11甲数是36,甲、乙两数最大公约数是4,最小公倍数是288,那么乙数是多少？

【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】2星【题型】解答

【解析】法1:根据两个自然数的积=两数的最大公约数x两数的最小公倍数，有：甲数x乙数=4x288，所

以,乙数=4x288+36=32；

法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4,则甲数=4*9,设乙数=4x6,贝IJS,9)=1.因为甲、乙

两数的最小公倍数是288,贝I]288=4x9x0,得b=8.所以,乙数=4x8=32.

【答案】32

【巩固】已知A8两数的最小公倍数是180,最大公约数是30,若4=90,则8=。

【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，六年级，二试，第5题，5分

【解析】根据最小公倍数x最大公约数=,知道，8=18()x30+90=60

【答案】60

【例2】已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数.

【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】3星【题型】解答

【解析】由于两个自然数的积=两数的最大公约数x两数的最小公倍数，可以得到，最大公约数是240+60=4,

设这两个数分别为4“、4b，那么3力=1,且=毛，所以“和6可以取1和15或3和

5，所以这两个数是4和60或12和20.

【答案】这两个数是4和60或12和20

【例3]两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,试求这两个数的差.

【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】3星【题型】解答

【解析】设这两个自然数为：5。、5b,其中a与〃互质，5a+56=50,a+b=\0,经检验，容易得到两组符

合条件的数：9与1或者7与3.于是，所要求的两个自然数也有两组：45与5,35与15.它们的

差分别是：45-5=40,35-15=20.所以，所求这两个数的差是40或者20.

【答案】这两个数的差是40或者20

【巩固】两个自然数的和是125,它们的最大公约数是25,试求这两个数.

【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】3星【题型】解答

【解析】125+25=5,5=1+4=2+3,两数可以为25、100或者50、75.

【答案】两数可以为25、100或者50、75

［例4］已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少？

【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】3星【题型】解答

【解析】假设这两个数是21a和2必,易得21xax0=126,所以axb=6,由a和b互质，那么就有

6=1x6=2x3两种情况.所以甲、乙是：21x1=21,21x6=126或21x2=42,21x3=63两种情

况.它们的和是147或105.

【答案】和是147或105

【巩固】已知两个自然数的最大公约数为4,最小公倍数为120,求这两个数.

【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】3星【题型】解答

【解析】这两个数分别除以最大公约数所得的商的乘积等于最小公倍数除以最大公约数的商，120+4=30,

将30分解成两个互质的数之积：1和30,2和15,3和10,5和6,所以这两个数为4与120,或

8与60,或12与40,或20与24.

【答案】两个数为4与120,或8与60,或12与40,或20与24

【例5】甲、乙两个自然数的最大公约数是7,并且甲数除以乙数所得的商是乙数是.

8

【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】2星【题型】填空

【解析】由(甲,乙)=7,且甲：乙=9:8,由于8与9互质，所以乙数=8x7=56.

【答案】56

［例6］已知正整数a、。之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、，中较大的

数是多少？

【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】4星【题型】解答

［解析】设，有a=6+l20,又设(a,b)=d,a=pd,b=qd,(p,q)=l，且p>q，则［a,b\=pqd,有

pqd=l05d，所以pq=105=3x5x7.因为=(p-q)d=120，所以(p-q)是120的约数.

①若/?=105,q=l，则p-q=104,不符合；

②若p=35"=3,则p-q=32,不符合；

③若p=2l,q=5，则p-q=\6,不符合；

④若p=15,q=7,则p-q=8,符合条件.

由(p—q)d=8d=120，得4=15，从而a、。中较大的数〃=4/=15*15=225.

【答案】225

［例7］已知两个自然数的和为54,它们的最小公倍数与最大公约数的差为114,求这两个自然数.

【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】4星【题型】解答

【解析】设这两个自然数分别是，迎、，泌，其中“为它们的最大公约数，〃与b互质(不妨设。4〃)，根据题

意有：

fmb+ma=m[a+方)=54

[mab-m=m(ab-1)=114

所以可以得到加是54和114的公约数，所以是(54,114)=6的约数.m=1,2,3或6.

如果机=1,由初*(“+6)=54,有0+3=54；又由mx(“b-l)=l14,有而=115.

115=1x115=5x23,但是1+115=116/54,5+23=28^54,所以mxl.

如果〃z=2,由7??x(a+i>)=54,有a+b=27；又由，"x(ab-l)=114,有必=58.

58=1x58=2x29，但是1+58=59工27,2+29=31*27,所以6片2.

如果，〃=3,由，〃x(a+%)=54,有a+匕=18;又由/wx(“力-1)=114,有而=39.

39=1x39=3x13，但是1+39=40/18,3+13-16^18,所以加工3.

如果机=6,由%x(a+A)=54,Wa+b-9;又由机x(ab-l)=l14,有ab=20.

20表示成两个互质的数的乘积有两种形式：20=lx20=4x5，虽然1+20=21*9但是有4+5=9,

所以取加=6是合适的，此时〃=4,b=5,这两个数分别为24和30.

【答案】两个数分别为24和30

[例8]有两个自然数，它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693,这两个自然数

的差是.

【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】4星【题型】填空

【解析】两个自然数的最大公约数是它们的和的约数，也是它们的最小公倍数的约数，所以是它们的最大公

约数与最小公倍数的和的约数，也就是297和693的公约数，也就是(297,693)=99的约数.99的

约数共有6个，此时可以逐一分情况进行讨论，但较繁琐.

设这两个数分别为ad和川,其中(氏6)=1,a<h,”是它们的最大公约数.那么

(a+6)d=297,d+aZ;d=(a6+l)d=693，相比得

+1=,所以3而+3=7a+76,即9而-21a-216+9=0,可得

a+b2973

(3a-7)(36-7)=40.

由于(3a-7)和(3万-7)都是40的约数且除以3余2,只能为

骁日或啃工〉可得"=3-a=4

或

b=9[6=5

P=3不符合，所以只能为,此时

由于(a+6”=297,所以(a+b)是297的约数，

[0=9[0=5

d=297+(4+]=3,这两个数的差为M-aJ=e-a)d=33.

【答案】33

[例9]已知自然数为、8满足以下2个性质:(1)A8不互质;(2)A8的最大公约数与最小公倍数之

和为35。那么4+8的最小值是多少？

【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】4星【题型】解答

【解析】设(A,B)=M,那么A==,其中a力分别表示的独有因数。那么=，即有

(A,B)+[A,B]=M+Mab=M(\+ah')=35,因为4,8不互质，所以,而根据上面的式子M是

35的因数，所以例只可能为5或7.

1）当M=5时，心6,此时有卜=1,卜=2

[b=6[b=3

A+8=M（〃+/?）=5x（l+6）=35,或A+8=+b）=5x（2+3）=25

2）当例=7时，a/m,此时有（舍）因为（。））=1

A+B=A/（a+Z?）=7x（l+4）=35,或A+8=M（a+b）=7x（2+2）=28（舍）

所以4+8的最小值是25。

【答案】25

【例10】两个整数4、B的最大公约数是C,最小公倍数是。，并且已知C不等于1,也不等于力或8,

O£>187,那么4+8等于多少？

【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】4星【题型】解答

【解析】最大公约数C,当然是。最小公倍数的约数，因此。是187的约数，187=11x17,C不等于1，只

能是O11或者017.如果O11,那么^=187-11=176,力和8都是176的约数，4和8不能是

11，只能是22,44,88,176这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是

11,由此得出C不能是11.现在考虑017,那么0=187-17=170,力和8是170的约数，又要是

17的倍数，有34,85,170三个数，其中只有34和85的最大公约数是17,因此，4和8分别是

34和85,4+成34+85=119.

【答案】119

【例11]若a,8,c是三个互不相等的大于。的自然数，且a+8+c=1155，则它们的最大公约数的最

大值为,最小公倍数的最小值为,最小公倍数的最大值

为.

【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】4星【题型】填空

【关键词】走美杯，6年级，决赛，第8题，10分

【解析】由于a+b+c=1155,而1155=3x5x7x11。令a=mp,b=mq,c=ms.m为a,b,c的最大公约数，

则必/s最小取7。此时/77=165.

为了使最小公倍数尽量小，应使三个数的最大公约数。尽量大，并且使4,8,C的最小公倍数尽

量小，所以应使。=165,4=1，故2,。=4,此时三个数分别为165,330,660,它们的最小公倍

数为660,所以最小公倍数的最小值为660o

为了使最小公倍数尽量小，应使三个数两两互质且乘积尽量大。当三个数的和一定时，为了使它们

的乘积尽量大，应使它们尽量接近。由于相邻的自然数是互质的，所以可以令1155=384+385+386,

但是在这种情况下384和386有公约数2,而当1155=383+385+387时，三个数两两互质，它们的

最小公倍数为383x385x387=57065085,即最小公倍数的最大值为57065085。

【答案】最大公约数的最大值为165,最小公倍数的最小值为660,最小公倍数的最大值为57065085

模块二、约数的个数与约数的和

【例12】2008的约数有（）个。

【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星【题型】解答

【关键词】走美杯，四年级，初赛，第4题

【解析】因为2008=2x2x2x251,所以约数有(3+1)x(1+1)=8(个)

【答案】8个

【巩固】2008006共有()个质因数。

(4)4(3)5(6)6(07

【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星【题型】选择

【关键词】华杯赛，初赛，第2题

【解析】因为2008006=2006x1000+2006=2006x1001=(2x17x59)x(7x11x13),共有6个。

【答案】6个

【巩固】105的约数共有几个？

【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星【题型】填空

【关键词】华杯赛，初赛，第3题

【解析】105=3x5x7,共有(1+1)x(1+1)x(1+1)=8个约数，即1,3,5,7,15,21,35,105。

【答案】8个

【巩固】已知300=2x2x3x5x5,则300一共有个不同的约数。

【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯，5年级，初赛，第5题，6分

【解析】3/2x3=18个

【答案】18

【例13】筐中有60个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同。问：有多少种分法？

【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星【题型】填空

【关键词】华杯赛，初赛，第8题

【解析】方法一：偶数60的约数中，偶数有8个，即：2,4,6,10,12,20,30,60因此有8种分法.

方法二：偶数个约数，即60+2=30的所有约数，30=2x3x5,所以共有(l+l)x(l+l)x(l+l)=8个约

数。

【答案】8个约数

【例14】数360的约数有多少个?这些约数的和是多少？

【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星【题型】解答

【解析】360分解质因分360=2x2x2x3x3x5=23x32x5;360的约数可以且只能是2"x3〃x5。,(其中a,b,c均

是整数，且a为0~3,6为0~2,c为0~1).因为a、b、c的取值是相互独立的，由计数问题的乘法原

理知,约数的个数为(3+1)X(2+1)X(1+1)=24.我们先只改动关于质因数3的约数，可以是/J3,它们

的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)x2>‘x5"'；我们再来确定关于质因数2的约数,

可以是1,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)所以所有360约数的和为(1+3+3?)x0+2+22+23;

最后确定关于质因数5的约数，可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+

32)X(1+2+22+23)X(1+5).于是,我们计算出值:13x15x6=1170.所以,360所有约数的和为1170.

【答案】约数有24个，和为1170

[例15]2008+a=6…6,a,6均为自然数.。有种不同的取值.

【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星【题型】填空

【关键词】走美杯，五年级，初赛，第8题

【解析】由2(X)8+。=/?…6可知，出?+6=2008,帅=2002。又因为2002=2x7x11x13,而且a>6,所以。

的取值有：3+C：+C：+1=14(种)

【答案】14

【巩固】2010除以正整数N,余数是15,那么N的所有可能值的个数是o

【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星【题型】填空

【关键词】学而思杯，6年级，1试，第5题

【解析】2010-15=1995,1995=3x5x7x19,1995的约数有16个，其中小于等于15的有5个，所以满

足条件的/V有11个。

【答案】11

【例16】自然数/V有45个正约数。，的最小值为o

【考点】约数的个数与约数的和【难度】4星【题型】填空

【关键词】走美杯，6年级，决赛，第5题，8分

【解析】由于45=45x1=15x3=9x5=5x3x3,根据约数个数公式，自然数/V可能分解成/工

asxb\a4xb2xc2等形式，在以上各种形式下，/V的最小值分别为2"、2,4x32.28x3\24x32x52,

比较这些数的大小，2^>2'4x32>28x34>24x32x52,所以最小值是2’x3?x5?=3600.

【答案】3600

【巩固】自然数N有20个正约数，N的最小值为o

【考点】约数的个数与约数的和【难度】4星【题型】填空

【关键词】走美杯，5年级，决赛，第1题，8分

【解析】因为约数的个数是指数加1再相乘，所以先将20分解质因数，20=20x1=10x2=5x4=5x2x2,

若想N最小：20=5x2x2,那么指数为4、1、1,经试算，最小值为24x3x5=240。

【答案】240

【巩固】恰有20个因数的最小自然数是(卜

(4)120(8)240(C)360(0)432

【考点】约数的个数与约数的和【难度】4星【题型】选择

【关键词】华杯赛，初赛，第5题

【解析】8,20=20=2x10=4x5=2x2x5,四种情况下的最小自然数分别为：2也、29x3,24x3\24x3x5,

其中最小的是最后一个，为240o

【答案】B

【例17】设4共有9个不同的约数，8共有6个不同的约数，。共有8个不同的约数，这三个数中的任何

两个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？

【考点】约数的个数与约数的和【难度】4星【题型】解答

【解析】本题考查对约数个数计算公式的灵活应用

由公式的结果倒推，力有9个约数，那么符合公式的要求有，9=(2+1)(2+1)，或者9=(0+1)(8+1),

2

若要求力的值尽可能小，则力不可能为某个质数的8次方的形式，那么说明/的形式为A=/xb

的形式，为最终满足三个数的乘积最小的要求，那么力最小为4=22x3?，类似的可以知道3=ax/,

同时为满足最小要求8=5x22。

C为8个约数情况可能有两种，C=mxnxp、C=mx尸,其中当C=3x2'，时数字最小，同时三个

数任意2个都不整除，所以此时三个数的乘积为20*24x36=17280

【答案】17280

【例18］在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？

【考点】约数的个数与约数的和【难度】4星【题型】解答

【解析】6=lx6=2x3，故6只能表示为(5+1)或(l+l)x(2+l)，所以恰好有6个约数的数要么能表示成某

个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32,符

合后者的数枚举如下：

22X322X522X722XU22X1322X1722X1922X23……8个

32X232X532X732X11……4个

52X252X3……2个

72X2……1个

所以符合条件的自然数一共有1+8+4+2+1=16个.

【答案】16个

【巩固】恰有8个约数的两位数有_______个.

【考点】约数的个数与约数的和【难度】5星【题型】填空

【解析】根据约数个数公式，先将8进行分解：8=lx8=2x4=2x2x2，所以恰有8个约数的数至多有3个

3

不同的质因数，分解质因数后的形式可能为A,，A'B,XHci.其中由于27=128>100，所以A,

形式的没有符合条件的两位数；4小形式中，8不能超过3,即可能为2或3,有2x33、3x2\

5x23、7x23vllx23，共5个；—形式的有2x3x5、2x3x7、2x3x11、2x3x13、2x5x7,

共5个.所以共有5+5=10个符合条件的数.

【答案】10个

【巩固】在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？

【考点】约数的个数与约数的和【难度】5星【题型】解答

【解析】由于9=lx9=3x3，根据约数个数公式，可知9个约数的数可以表示为一个质数的8次方，或者两

个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中只有28=256符合条件，后者中符合条件有22x5?=100、

22X72=196,2?x1『=484、22xl32=676,32x52=225.3?x7?=441,所以符合条件的有7个.

【答案】7个

【例19］能被2145整除且恰有2145个约数的数有个.

【考点】约数的个数与约数的和【难度】5星【题型】填空

【关键词】学而思杯，6年级，第6题

【解析】先将2145分解质因数：2145=3x5x11x13,所以能被2145整除的数必定含有3,5,11,13这4

个质因数；由于这样的数恰有2145个约数，所以它至多只有4个质因数，否则至少有5个质因数，

根据约数个数的计算公式，则有5个大于1的整数的乘积等于2145,而2145只能分解成3,5,

11,13的乘积，矛盾.所以所求的数恰好只有3,5,11,13这4个质因数.

对于这样的每一个数，分解质因数后3,5,11,13这4个因子的幕次都恰好是2=(3-1),4=(5-1),

10=(11-1),12=(13-1)的一个排列，所以共有4!=24种

【答案】24个

【巩固】能被210整除且恰有210个约数的数有个.

【考点】约数的个数与约数的和【难度】4星【题型】填空

【解析】210=2x3x5x7,所以原数肯定含有2,3,5,7这四个质因子，而且幕次一定按照某种顺序是1,

2,4,6,可以任意排列，所以有4!=24个.

【答案】24个

【巩固】1001的倍数中，共有个数恰有1001个约数.

【考点】约数的个数与约数的和【难度】6星【题型】填空

【关键词】仁华学校

【解析】1001的倍数可以表示为1(X)1%,由于l(X)l=7xlIxl3,如果4有不同于7,11,13的质因数，那么

1001Z至少有4个质因数，将其分解质因数后，根据数的约数个数的计算公式，其约数的个数为

(q+1)(%+1)(为+1)(%+1)…+1)，其中.如果这个数恰有1001个约数，则

(4+1)(%+弘%+X/卅・(“a”=100土X，但是1001不能分解成4个大于1的数的

乘积，所以“24时不合题意，即4不能有不同于7,11,13的质因数.那么1001k只有7,11,13

这3个质因数.设1001A=7"xl代xl3°,则(4+1)e+1乂。U)<D1,a+1、8+1、c+1分别为7,

11,13,共有3!=6种选择，每种选择对应一个100M,所以1001的倍数中共有6个数恰有1001

个约数.

【答案】6个

【巩固】如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？

【考点】约数的个数与约数的和【难度】6星【题型】解答

【解析】设这个自然数是。，2004=22X3X167，将〃分解质因数，设a=2"x3>,x167、xapg，其中

x,y,z可以是0或正整数，其余的系数都是正整数，则这个数的约数的个数

A=(x+l)(y+l)(z+1)(可+1)(4>2+1)…S"+1)"

因为这个自然数的2004倍恰有2004个约数，所以

2

(x+3)(y+2)(z+2)(仿+I)(b2+!)•••(/>„+1)=2004=2x3xl67.

—ryB2004(x+3)(y+2)(z+2)x+3y+2z+2

A(九+l)(y+l)(z+l)x+1y+\z+1'

要想使A最小，需要使9%匕2'出最大，

x+\y+1z+1

而x+32xy+2yz+2z

x+1x+1y+\y+1z+1z+1

所以剪f43x2x2=12,得到AN167.

A

要想使等号成立，必须x=y=z=O,n=\,4=166,即此数为一个不是2,3,167的质数的166

次方，此时这个数的约数有167个.故这个自然数最少有167个约数.

【答案】167个

【例201已知偶数为不是4的整数倍，它的约数的个数为12,求44的约数的个数.

【考点】约数的个数与约数的和【难度】4星【题型】解答

【解析】由于力是偶数但不是4的倍数，所以4只含有1个因子2,可将力分解成4=2以8,其中8是奇

数，根据约数个数公式，它的约数的个数为(l+l)x2V=12(其中N为B的约数个数)，则

4A=88=2?xB,它的约数个数为(1+3)*'=24个.

【答案】24个

【例21】已知机、”两个数都是只含质因数3和5,它们的最大公约数是75,已知机有12个约数，〃有10

个约数，求”与〃的和.

【考点】约数的个数与约数的和【难度】4星【题型】解答

【解析】因为75=3x5?，如果设加=3，'x5'，，〃=3"x5>',那么/?、x中较小的数是1应、)，中较小的数是2.由

于一个数的约数的个数等于它分解质因数后每个质因数的次数加1的乘积所以(p+l)x(q+l)=12,

(x+l)x(y+1)=10.又22&至4<,10=2x5，由于y22，所以y+123，那么y+l=5,x+l=2,

得至lJx=1,y=4.那么q=2，得至Up=3，所以^=3?x5?=675,??=3x54=1875,m+n=255Q.

【答案】2550

【例22］已知4数有7个约数，8数有12个约数，且48的最小公倍数［4,8］=1728，则B=.

【考点】约数的个数与约数的和【难度】4星【题型】填空

【关键词】101中学

【解析】1728=26X33,由于力数有7个约数，而7为质数，所以/为某个质数的6次方，由于1728只有

2和3这两个质因数，如果4为36,那么1728不是力的倍数，不符题意，所以4=26,那么3?为

8的约数，设B=2"X33,则(k+l)x(3+l)=12，得左=2,所以B=2?x33=108.

【答案】108

【例23】一个自然数恰好有18个约数，那么它最多有个约数的个位是3.

【考点】约数的个数与约数的和【难度】4星【题型】填空

【关键词】走美杯，五年级，初赛，第14题

【解析】18=2x32,根据求一个数约数个数公式知，不同的质因数可能有一至三个。但是如果个位是3的约

-----1—K

数尽可能多，可以构造出：N=a3xhi,即一个质因数的个位是3,这个质因数只有1次方，另一

个质因数的个位是1,这个质因数有8次方。这样得到的不同的个位是3的约数有

dixb\\a3xbl~~a3xbl~bl...tz3x共有9个。

【答案】9

【例24】一个分子是1的分数，化成小数后是一个混循环小数，且循环节为两位，不循环也有两位，那么这

种分数共有多少个？

【考点】约数的个数与约数的和【难度】6星【题型】解答

【解析】假设该混循环小数是。阪d="cd=994+cd那么其中称二。u,22,33,44,55,66,

99009900

77,88,99,且b*d，所以99%+7不是11和10的倍数.令7=x,=y，则

-=O.abcd=ahcd-ah=2112，那么（99x+y）“=9900，而所以（99x+y）是9900的约数，且不是

11和1（）的倍数.99（X）的约数中11的倍数有9900=Sx字x4xl,99（X）的约数中11的倍数有

3x3x3=27（个），10的倍数有2x3x2x2=24（个），即是11也是10的倍数有12个，显然对任意

值，工和、都有99以内的符合条件自然数解所以符合条件的解有3*3x3x2-（27+24—12）=15（个）,

对应的〃也有15个，即这样的分数有15个.

【答案】15个

【例25]±2,2,...,些中，共有一_个最简分数。

89102009----

【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星【题型】填空

【关键词】学而思杯，6年级，第5题

【解析】由于分子和分母相差7,所以当分子是7的倍数时，该分数就不是最简分数,1到2002中7的倍数

的数共有286个，故最简分数有2002-286=1716个。

【答案】1716个

【例26】设〃，。，c是0~9的数字（允许相同）,将循环小数0.必C化成最简分数后，分子有种

不同情况.

【考点】约数的个数与约数的和【难度】6星【题型】填空

【解析】0.4/=也，显然只要诙与999互质，就构成了最简分数，所以最简分数的分子可以是所有小于

999

999且与999互质的数，这样的数一共有999-（胆+胆-坐-1=648（个）.如果嬴:与999不