湘教九年级下册《第2章 圆》2023年单元测试卷

湘教新版九年级下册《第2章圆》2023年单元测试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列说法中，不正确的是（）

A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形B.圆的每一条直径都是它的对称轴

C.圆有无数条对称轴D.圆的对称中心是它的圆心

2.如图，已知4B为。。的直径，C,。是圆上4B同侧的两点，AACD=

120°,则4B4D=（）

A.50°

B.40°

C.30°

D.20°

3.如图，己知O。的半径为5,弦AB,CD所对的圆心角分别是-08,

乙COD,下列说法正确的是（）/

①若乙4OB=NCOD,贝lJCD=AB；②若CD=4B,则CD,AB所对的（

弧相等；③若CD=48,则点。到CD,4B的距离相等；④若乙4OB+----

Z.COD=180°,且CD=6,则4B=8.

A.①②③④B.①③④C.①②④D.③④

4.往直径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若

水面宽48=8cm,则水的最大深度为（）Io

A.1cm

B.2cm

C.3cm

D.4cm

5.如图，△ABC内接于。。，若sinN84C=g,BC=2<6>则。。的

半径为（）

A.3V-6

B.6/7

C.4V~7

D.2/7

6.若直线，和。。在同一平面内，且。。的半径为5cm,圆心。到直线1的距离为2cm,则直

线［与的位置关系为（）

A.相离B.相切C.相交D.以上都不对

7.如图，点P为0。外一点,PA为0。的切线,4为切点,P。交O。于点B,4P=30°,OB=3,

C.6D.9

8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步,

股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股

（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少？”你的答案是（）

A.3步B.5步C.6步D.8步

9.如果一个扇形的弧长等于它的半径的C倍，那么此扇形称为“优雅扇形”，则半径为2的

“优雅扇形”的面积为（）

A.7TB.<2C.<2TTD.2\1~2

10.如图，4BCDEF为。0的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是（）

A/?B.（合?对C.^a2D.©_?）a2

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.如图，。。的弦48、半径OC的延长线交于点D,BD=OA,若

/.AOC=105°,贝叱。=.

12.如图，4B是。。的直径，C为圆上一点，乙4=60。，ODIBC,D

为垂足，且。。=10,则ZB=

13.如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A,B,C.若4点的坐标为(0,4),

C点的坐标为(6,2),则圆心M点的坐标为.

14.己知。。的半径是一元二次方程/-3》一4=0的一个根，圆心。到直线2的距离d=6.

则直线I与。。的位置关系是.

15.如图，四边形2BCD是。。的外切四边形，且力B=10,

CD=12,则四边形ABCD的周长为

16.已知弧的长是|兀，弧的半径为3,则该弧所对的圆心角度数为.

17.如图，半圆。的直径4B=12czn,点C,。是这个半圆的三等C

分点，则弦4C,4D和弧围成的图形(图中阴影部分)的面积是ZZ

cm^.

18.如图，Rt^ABC^P,ABIBC,AB=6,BC=36,P是△ABC内A

部的一个动点，且满足4=则线段CP长的最小值是.

B

三、解答题(本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(本小题8.0分)

如图，已知。。的两条弦AB、CD,且AB=CD.求证：AD=BC.

20.(本小题8.0分)

如图，已知4B是。。的直径，点P在B4的延长线上，PD切。。于点D,过点B作BE1PD,

交PD的延长线于点C,连接AD并延长，交BE于点、E.

(1)求证：AB=BE；

(2)若R4=2,cosB=|,求。。的半径.

21.(本小题8.0分)

如图，已知△ABC内接于。。，。是。。上一点，连接B。、CD、AC.BC交于点E.

(1)请找出图中的相似三角形，并加以证明;

(2)若4。=45。，BC=2,求O0的面积.

22.(本小题8.0分)

如图，在AZBC中，AB=AC,以4B为直径作半圆0,分别交BC,4C于点D、E.

(1)求证：BD=DC；

(2)若NB4C=40。，AB=AC=8,求助的长.

23.(本小题8.0分)

如图，在Rt/kABC中，AACB=90°,AC=5,CB=12,4。是△4BC的角平分线，过4、C、

。三点的圆0与斜边48交于点E,连接DE.

(1)求证：AC=AE；

(2)求4。的长.

24.(本小题8.0分)

如图所示，在A4BC中，4c=90。，内切圆。0与三边分别切于点。，E,F.

(1)试说明四边形OECF为正方形：

(2)若4。=6,BD=4,求AC和。。的半径；

(3)若4B=c,BC=a,AC=b,试用关于a,b,c的代数式表示内切圆的半径r.

A

25.(本小题8.0分)

如图，AABC内接于。。，直径4。交BC于点E,延长4。至点F,使。尸=2。£),连接FC并延

长交过点4的切线于点G,且满足AG〃BC,连接OC,若COSNB4C=5BC=6.

(1)求证：乙COD=Z.BACx

(2)求。。的半径。C；

(3)求证：CF是。。的切线.

26.(本小题10.0分)

把两个等腰直角△48。和44DE按如图1所示的位置摆放，将44DE绕点4按逆时针方向旋转,

如图2,连接BD,EC,设旋转角为a((T<a<360。).

(1)当DE，4c时，4。与BC的位置关系是,4E与BC的位置关系是

(2)如图2,当点。在线段BE上时，求NBEC的度数；

(3)若4ABD的外心在边8。上，直接写出旋转角a的值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确，不合题意；

注圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，原说法错误，符合题意；

C.圆有无数条对称轴，正确，不合题意；

D圆的对称中心是它的圆心，正确，不合题意.

故选：B.

直接利用中心对称图形以及轴对称图形的定义分析得出答案.

此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形的定义，正确掌握相关定义是解题关键.

2.【答案】C

【解析】解：「AB为。。的直径，C,。是圆上4B同侧的两点，

•••^ABD=180°-^ACD=180°-120°=60°,^ADB=90°,

zBAD=90°-60°=30°,

故选：C.

根据圆内接四边形的性质得出N4BD=60。，根据直径所对的圆周角是90。得4BZM=90。，进而利

用互余得出484。的度数即可.

此题考查圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：直径所对的圆周角是90。.

3.【答案】B

【解析】解：因为在同圆中，若圆心角相等，则圆心角对的弦也相等;

若弦相等，那么该弦上的弦心距也相等.

所以①③正确；

因为在同圆中，若弦相等，则弦所对的劣弧和优弧也分别相等：

②中没有明确对应，所以不正确；

过。作OE1CD,OFLAB,垂足分别是点E、F.

vOE1CD,CD=6,

41=CE=3.

又・：0C=0B=5,

・・・OE=4.

vOF1AB,

1

••・z2=-Z-AOB.

•・•乙408+Z,C0D=180°,

・♦・41+42=90°.

•・•zl4-zC=90°,

:.z2=zC.

在△OEC与△OFB中，

rz.2=zc

△CEO=乙BFO

(08=OC

・•・△OEC^LOFB^AAS).

.•・BF=OE=4.

AB=8.故④正确.

故选:B.

利用圆心角、弦、弧、弦心距间关系，可说明①②③.过。作。ElCD,OF1AB,垂足分别是点

E、F,求出OE的长，证明AOEC三△OFB,从而求出AB的长而判断④.

本题考查了圆心角、弧、弦、圆心距间关系及勾股定理和三角形全等的判定.掌握圆的相关定理

是解决本题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：连接。8,过点。作。CJ.4B于点。，交。。于点C,如图所示:

则BO==4(cm),

•••O。的直径为10cm,

OB=OC=5(cm),

在RtAOBD中，OD=VOB2-BD2=V52-42=3(cm),

CD=OC-OD=5-3=2(cm),

即水的最大深度为2cm,

故选:B.

连接OB,过点。作。O1B于点D,交。。于点C,先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求

出。。的长，进而得出CD的长即可.

本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的

关键.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

连接OB,0C.作。。于D,根据同弧所对圆心角是圆周角的两倍，可得NBOC=2/B4C,根据

等腰三角形的性质，可得CD=，%，/-COD=Z.BAC,根据锐角三角函数可得圆的半径.

本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质以及三角函数的定义，正确作出辅助线是关键.

【解答】

解：如图：连接OB,0c.作。D1BC于。

vOB=0C,0D1BC

CD=\BC,乙COD=：4BOC

又Z.B0C=2/.BAC,BC=2<7，

:.乙COD=KBAC,CD=V-6

1

vsinZ-BAC=

CD1

"n"0D=0C=3

：.0C=3y

故选：A.

6.【答案】C

【解析】解：•:圆心到直线的距离2cm<5cm,

・•.直线和圆相交.

故选：C.

根据圆心到直线的距离2小于圆的半径5,则直线和圆相交.

能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系.若d<r,则直线与圆相交；若（/=△

则直线于圆相切；若d>r,则直线与圆相离.

7.【答案】A

【解析】解：连接。4

••・P4为。。的切线，

/.OAP=90°,

•••4P=30°,。8=3,

AO=3,则OP=6,

所以，BP=6—3=3.

故选：A.

直接利用切线的性质得出4P=90。，进而利用含30。角直角三角形的性质得出。P的长.

此题主要考查了切线的性质以及含30。角直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键.

8.【答案】C

【解析】解：如图，在Rt△4BC中，44cB=90。，AC=8,BC=15,

O/分别与^ABC的三边分别相切于点。、E、F,连接A4,IB,IC,ID,

IE,IF,

AB=VAC2+BC2=V82+152=17，

vS^ABC=1AC-BC=^AC-ID+^BC-IE+^AB-IF,

8x15=(8+15+17)x/D,

•••ID=3,

即内切圆半径为3步，

•••内切圆直径为6步，

故选：C.

根据勾股定理可求出斜边的长度，再三角形内心的性质以及三角形面积公式求出内切圆半径即可.

本题考查三角形的内切圆与内心，掌握勾股定理，三角形内心的性质以及三角形面积的计算方法

是正确解答的前提.

9.【答案】D

【解析】解：•.<=孙，

二S=；X2X2X2=2>/-2,

故选：D.

根据扇形的面积公式S=：2r,其中］=r,求解即可.

本题是一个新定义的题目，考查了扇形面积的计算，注：扇形面积等于扇形的弧长与半径乘积的

一半.

10.【答案】B

【解析】解：•.•正六边形的边长为a,

**•0。的半径为Q,

•••O。的面积为兀xa2=Tia1,

・・•空白正六边形为六个边长为a的正三角形，

・•.每个三角形面积为:xaxaxsin60°=?Q2,

・••正六边形面积为蜉a?,

・•・阴影面积为（兀。2-噌a?）x：=©—a?,

故选：B.

利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，阴影面积=（圆的面积-

正六边形的面积）x3即可得出结果.

本题主要考查了正多边形和圆的面积公式，注意到阴影面积=（圆的面积-正六边形的面积）X2是

解答此题的关键.

11.【答案】25。

【解析】解：连接。B,A

B

vBD=OA,OB=OA,/

\o~~Icb

BD=A0=OB,\/

：.^OBD,AOAB都是等腰三角形，

设4。的度数是久，则NB4。=乙4B。=x+x=2x,

则在A/1OB中，利用三角形的内角得是180。，可得：

105°-x+2x+2x=180°,

解得x=25°.

故答案为：25°.

连接。8,利用8。=4。=。8,结合等腰三角形的性质及内角和定理求解.

本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角

形是解题的关键.

12.【答案】40；20日

【解析】解：「AB是。。的直径，

"=90°,

乙B=90°-LA=90°-60°=30°,

OD1BC,

BD=CD,

在RtAOBD中，:NBu30。，

OB=2OD=20,BD=COD=10<3，

•••AB=2OB=40,BC=2BD=20V-3.

故答案，40,20，？.

根据圆周角定理，由4B是。。的直径得到NC=90。，则利用互余得到NB=30。，根据垂径定理由

OD1BC得到BD=CD,然后根据含30度的三角形三边的关系可计算出。B、BD,从而可得到AB和

BC的长.

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查

了垂径定理和含30度的三角形三边的关系.

13.【答案】(2,0)

【解析】解：如图，作2B和BC的垂直平分线，它们的交点为M点，M点的坐标为(2,0).

故答案为：(2,0).

由于弦的垂直平分线必过圆心，则利用网格特点，作和BC的垂直平分线，它们的交点为M点,

然后写出M点的坐标.

本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

14.【答案】相离

【解析】解：TX2-3X-4=0,

X]=—1,%2=4,

••-O。的半径为一元二次方程,一3%-4=0的根,

・•・r=4,

•・,d=6

・•・d>rt

•・・直线/与。。的位置关系是相离，

故答案为：相离.

先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解.

本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系

完成判定.

15.【答案】44

【解析】

【分析】

本题考查的是切线长定理，掌握圆外切四边形的对边之和相等是解题的关键.

根据圆外切四边形的对边之和相等求出4D+BC,根据四边形的周长公式计算即可.

【解答】

解：,••四边形4BCC是。。的外切四边形，

•••AD+BC=AB+CD=22,

二四边形力BCD的周长=AD+BC+AB+CD=44,

故答案为：44.

16.【答案】100°

【解析】解：•••弧长的公式1=黑，

1OU

弧长的公式口兀=甯，

3loU

解得，n=100,

故该弧所对的圆心角度数为100。，

故答案为：100°.

根据弧长的公式，=黑，代入计算即可.

本题考查了弧长的公式计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键.

17.【答案】67r

【解析】解：如图，连接CD,OC,0D,

•••点C,点。是半圆弧Q的三等分点，

1OAO

/.Z-COD=号＞=60。，

v0C=0D,

・•.△C。。是等边三角形，

・•・Z,OCD=(COD,

:・CD"AB,

**•S“o。=S^AOC»

AS阴影部分二S扇形1CUD

_607rx62

二360

=67r(cW),

故答案为：67r.

根据半圆弧的三等分点，可得4C00的度数，再根据平行线的性质得出SMo°=Sfoc，进而将问

题转化为S阴影部分=S版/ACOD即可•

本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的前提.

18.【答案】3C-3

【解析】解：•••"B4+NPBC=90....•••V..,.

而4PAB=乙PBC,/V\\

Z.PBA+^PAB=90°,i0r-.X

AAPB=90°,\\

•••点P在以4B为直径的圆上，*

取AB的中点0,连接OC交。。于P',如图，

vAB=6,BC=3AT2.

•1•OP'=3,OC=J32+（3/7尸=3口,

：.CP'=3门―3，

••・线段CP长的最小值是3，耳-3.

故答案为

先证明4APB=90。，则可判断点P在以AB为直径的圆上，取4B的中点0,连接OC交O。于P',如

图，利用两点之间线段最短可判断此时PC的值最小，然后求出CP'即可.

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

19.【答案】证明：•：AB=CD,

AB=CD，

：.AB-BD=CD-BD^

■■AD=BC>

:.AD=BC.

【解析1根据弦和弧的关系，由/B=CD可得粕=CD，进而得到尬=BC，即可证明AD=BC.

本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，掌握圆心角，弧、弦之间的关系定理是解题的关键.

20.【答案】(1)证明：连接OD,

c

•・,PC于圆相切于D,

・・・半径001PC,

vBE1PC,p/A(----------------------)B

・・・0D//BE,\/

:.Z-E=Z,0DA,

v0D=0Af

・•・Z.DAO=Z.0DA,

A乙E=Z-DAO,

:.BA=BE；

(2)解：0D〃8C,

AZ-POD=乙B,

3

:.cosZ-POD=cosB=

.qp__0D_0D_3

••而―OA+PA-0D+2~5*

0D=3,

・・・o。的半径是3.

【解析】(1)由切线的性质得到径0。1PC,又BC1PC,得到=Z.0DA,由。。=0A,

得到因此乙£=乙。力。，故BA=BE；

(2)NP0D=4B,得到cos"。。=cosB=热因此黑=送片券=1，即可求出。。的半径

是3.

本题考查切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，关键是由NP0C=

乙B,得到cos"。。=cosB=从而求出。。的长.

21.【答案】解：(1)结论：AABEfDCE,(1分)

证明：在△4BE和ADCE中，

乙

Z.i4=Z-DfZ-AEB=DEC,

：^ABE-LDCE.(3^)

(2)作。。的直径B/，连接CF,

=4。=45°,Z.BCF=90°.

BCF是等腰直角三角形.(4分)

vFC=BC=2,

BF=2<7.

OB=（5分）

2

:.SQ0=OB-n=27r.（6分）

【解析】（1）容易发现：A/IBE与ADCE中，有两个角对应相等，根据相似三角形的判定可得到它

们相似;

（2）求。。的面积，关键是求。。的半径，为此作。。的直径BF,连接CF,得出ABCF是等腰直角

三角形，由BC=2,求出BF的长，从而求出。。的面积.

本题重点考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及相似三角形的判定.

22.【答案】（1）证明：连接4。，OE,

•••48是圆的直径，

.•.4408=90。，即4D1CB,

■■■ABAC,

・・.BD=DC；

（2）解：•••△84C=40。，

:.（BOE=80°,

vAB—8,

.・・OB=4,

iz、］80TTX416

••・BE的长为：=1■兀

【解析】⑴连接4D,OE,根据直径所对的圆周角是直角可得=90。，再利用等腰三角形的

三线合一性质，即可解答；

（2）根据圆周角定理求出NBOE=80。，然后根据弧长公式计算即可.

本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查了学生的推理能力和计算能力，注

意：在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所夹弧所对的圆心角度数的一半.

23.【答案】解：（1）・••N4CB=90。，且N4CB为圆。的圆周角（已知），

•••AD为圆。的直径（90。的圆周角所对的弦为圆的直径），

•••^AED=90。（直径所对的圆周角为直角），

又4。是44BC的为4C的平分线（已知），

•••^CAD=NEAD（角平分线定义），

■-CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），

在Rt△ACD^Rt△4E。中，

（CD=ED

（.AD=AD'

■■Rt△ACD=Rt△AED（HL'）,

■■AC=AE（全等三角形的对应边相等）；

（2）•••△ABC为直角三角形，且4C=5,CB=12,

・•・根据勾股定理得：4B=V52+122=13，

由（1）得到乙4ED=90°,则有NBED=90°,

设CD=DE=%,贝IJDB=BC-CD=12-x,EB=AB-AE=AB-AC=13-5=8,

在RtABED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2,

即（12-X）2=X2+82,

解得：x=y，

CD=y,又AC=5,△4CD为直角三角形，

・•・根据勾股定理得：40=VAC2+CD2=苧.

【解析】（1）由圆。的圆周角乙4cB=90。，根据90。的圆周角所对的弦为圆的直径得到4D为圆。的

直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形力DE为直角三角形，又4。是△ABC的角平分线,

可得一对角相等，而这对角都为圆。的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等

可得CO=ED,利用HL可证明直角三角形4CD与全等，根据全等三角形的对应边相等即可得

证；

（2）由三角形ABC为直角三角形，根据4C及CB的长，利用勾股定理求出4B的长，由第一问的结论

AE=AC,用AB-4E可求出EB的长，再由（1）乙4ED=90。，得到DE与AB垂直，可得三角形BDE

为直角三角形，设DE=CO=x,用CB-CD表示出BD=12—x,利用勾股定理列出关于x的方

程，求出方程的解得到x的值，即为CD的长，在直角三角形4CD中，由AC及的长，利用勾股定

理即可求出的长.

此题考查了圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，利用了转化的思想，本题的

思路为：根据圆周角定理得出直角，利用勾股定理构造方程来求解，从而得到解决问题的目的.灵

活运用圆周角定理及勾股定理是解本题的关键.

24.【答案】解：(1):。。是△ABC的内切圆，

OFVAC,OE1BC,

•••4OEC=乙OFC=90°,

•.•在△ABC中，ZC=90°,

••・四边形OECF为矩形，

vOE=OF,

，矩形OECF为正方形；

(2)设。。的半径为r,

丁四边形OECF为正方形，

・•・CF=CE=r,

•・・。。是2\48。的内切圆，

:.AF=AD=6,BE=BD=4,

:.AB=AD+BD=10,AC=6+7,BC=4+r,

222

在中，AC=BC+ACf

・•・100=(64-r)2+(4+r)2,

解得：q=2,厂2=-12(舍去)，

:.AC=2+6=8,

AAC=8,。。的半径为2；

(3)・.・设。。的半径为r,

•・•四边形OECF为正方形，

：•CF=CE=r,

・・・。0是的内切圆,

・•.AF=AD=b—r9BE=BD=a—r9

v4B=AD+BD,

・•・b—r+Q—r=c,

a-Vb-c

•<•r=

【解析】⑴由在△ABC中，4=90°,内切圆。。与三边分别切于点。，E,尸，可得4OEC=乙OFC,

又由OE=OF,即可证得四边形OECF为正方形；

(2)首先设。。的半径为r,由四边形OECF为正方形，可得CF=CE=r,又由。。是△4BC的内

切圆，即可得4F=4D=6,BE=BD=4,然后由勾股定理得：100=(6+r)2+(4+r)2,解

此方程即可求得答案；

(3)由(2)易得：b—r+a—r=cf继而求得答案.

此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理.此题难度

适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.

25.【答案】解：(1)・・,/G是。。的切线，AD是。。的直径，

・•・Z-GAF=90°,

-AG//BC,

・•・AE1BC,

CE=BE,AB=AC,

・•・Z-BAC=2/-EAC,

•••Z-COE=2/-CAEf

・•・乙COD=/.BAC；

(2)•・•(COD=ABAC,