作业05 图形的平移与旋转-2021年八年级数学暑假作业（北师大版）（解析版）

作业05图形的平移与旋转

注意事项：

本试卷满分120分，完成时间90分钟，试题共25题.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自

己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

基础过关（70分）

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（2020•山东阳谷•初二期末）随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、

国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（）

【答案】B

【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个

图形叫做中心对称图形，据此依次判断即可.

【解析】•••在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这

个图形叫做中心对称图形，.'A、C、D不符合，不是中心对称图形，B选项为中心对称图形.故选：B.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解题关键.

2.（2020・上海市闵行区初一月考）下列说法中正确的是（）

A.如果把一个图形绕着一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称；

B.如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应顶点之间距离相等；

C.如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为120度，那么它不是中心对称图形；

D.如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180。，那么它是中心对称图形。

【答案】C

【分析】根据中心对称图形定义及性质依次判断即可.

【解析】A：只有旋转180°后重合才是中心对称，故此选项错误；

B：对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，故错误；

C：如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为120度，那么它不是中心对称图形，正确；

D：如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°,那么它不一定是中心对称图形，故错误；故选:C.

【点睛】此题考察中心对称图形，掌握中心对称图形的定义及性质即可正确判断.

3.（2020•浙江杭州市•七年级其他模拟）如图所示，由图形3到图形A的平移变换中，下列描述正确的是

()

A.向下平移1个单位，向右平移5个单位B.向上平移1个单位，向左平移5个单位

C.向下平移1个单位，向右平移4个单位D.向上平移1个单位，向左平移4个单位

【答案】D

【分析】根据图形中两个三角形顶点的平移变换即可得.

【详解】由图形中两个三角形顶点的平移变换可知：向上平移1个单位，向左平移4个单位，故选：D.

【点睛】本题考查了图形的平移，熟练掌握平移的概念是解题关键.

4.（2021•上海宝山区•七年级期末）如图，AMC经过平移后得到△。所，下列说法：

①AB//DE②AD=BE③ZACB=ZDFE④AABC和△。匠户的面积相等

⑤四边形ACFD和四边形BCFE的面枳相等，其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【分析】根据平移的性质逐一判断即可.

【详解】解：△ABC经过平移后得到△/）£/，故①正确；

AD=BE，故②正确；ZACB=ZDFE,故③正确；△MC和△£）昉的面积相等，故④正确；

四边形ACED和四边形5CFE都是平行四边形，且AD=CF=BE,即两个平行四边形的底相等，但高

不一定相等，，四边形ACFD和四边形BCEE的面枳不一定相等，故⑤不正确；综上：正确的有4个

故选A.

【点睛】此题考查的是图形的平移，掌握平移的性质是解题关键.

5.（2020•江苏扬州市•九年级二模）如图，在AABC中，ZCAB=65°,在同一平面内，将^ABC绕点A逆时

针旋转到"Be的位置，使得CC〃AB,则NBAC等于（)

A.30°B.20°C.10°D.15°

【答案】D

【分析】先根据平行线的性质由CC〃AB得到/CCA=NCAB=65。,再根据旋转的性质得AC=AC,NCAB，=

NCAB=65。，然后根据等腰三角形的性质得/ACC=/CCA=65。，接着利用三角形内角和定理计算出N

CAC=50。，最后利用/BAC=NCABJ/UAC进行计算.

【详解】解：'：CC//AB,：.ZCCA=Z045=65°.

•.•△ABC绕点4逆时针旋转到△A8C的位置，；.AC=AC,ZCAB'=ZCAB=65°.

在AACC中，/ACC=NCCA=65。，,NCAC=180°-65°x2=50°,

AZB'AC=ZCAB,-ZCAC=65°-50°=15°.故选：D.

【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中

心的连线段的夹角等于旋转角.

6.（2020•甘肃兰州•初三月考）如图，将AABC绕点C（0,1）旋转180。得到△OEC.若点A的坐标为（3,

-1）,则点。的坐标为（）

A.（-3,1）B.（-2,2）C.（-3,3）D.（-3,2）

【答案】C

【分析】利用图形旋转的特性进行求解即可

【解析】点A、。关于C点中心对称，把8c向下平移1个单位，

则点C平移到原点，A点平移后的对应点的坐标为（3,-2）,

则点（3,-2）关于原点对称的点的坐标为（-3,2）,

把（-3,2）向上平移I个单位的对应点的坐标为（-3,3）,

所以点。的坐标为（-3,3）.故选：C.

【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握旋转的特性是关键

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

7.（2020•江阴高新区实验中学八年级月考）如图，AABC中，ZACB=90°,AB=8cm,D是AB的中点.现

将ABCD沿BA方向平移1cm,得到AEFG,FG交AC于H,则AG的长等于cm.

【答案】3

【分析】由已知可得AD=4cm,再根据平移的性质得GD=lcm,进而可求得AG的长.

【详解】解:D为AB的中点,AB=8cm,；.AD=BD=4cm,

•.•将ABCD沿BA方向平移1cm,得到AEFG,；.DG=lcm,AG=AD-GD=3cm,故答案为：3.

【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质，能得到GD就是平移的距离是解答的关键.

8.（2021•江苏九年级专题练习）点。是正五边形A3COE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作

半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）.这个图案绕点。至少旋转。后能与原来的图案互相重合.

【答案】72

【分析】直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角.

【详解】解：连接OE,则这个图形至少旋转NAOE才能与原图象重合，—=72°.

5

【点睛】本题主要考查了旋转图形.正确掌握旋转图形的性质是解题的关键.

9.（2020•常州市金坛区水北中学八年级月考）如图，AAOB中，ZB=30°,将^AOB绕点O顺时针旋转

得到△AOB1若/A，=40。，ZAOB=°.

【答案】110

【分析】由旋转的性质可得NA=NA，=40。，再根据三角形内角和可求解.

【详解】•.•将AAOB绕点。顺时针旋转得到△A，OB，，.•.NAn/A'ndO。,

/.ZAOB=180°-ZA-ZB=110°,故填：110

【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键.

10.（2020•江苏淮安市•八年级期中）如图，AABC和关于点C成中心对称，若AC=1,AB=2,Z

BAC=90°,则AE的长是.

【分析】利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题.

【解答】解：；△£>£：（：与△A8C关于点C成中心对称，.•.△48C丝△£>£：€：,

：.AB=DE=2,AC=DC=1,ZD=ZBAC=W°,：.AD=2,

VZ£>=90°,：.AE=^AD2+DE2=272.故答案为2V2.

【点评】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握性质定理是解题的关键.

三、解答题（本大题共5小题，共40分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤）

11.（2020•江苏泰州市•八年级期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，RJABC的

三个顶点A（-2,2）,8（0,5）,C（0,2）.（1）将AABC以点C为旋转中心顺时针旋转90。，得到小C,

请画出A4BiC的图形.（2）平移山C,使点4的对应点4坐标为（2,0）,请画出平移后对应的282c2

的图形.（3）若将AA8C绕某一点旋转可得到44282c2,请直接写出旋转中心的坐标.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）（-1,-1）.

【分析】（1）按照题目要求分别画出旋转后各点的对应点，连接即可得到△48C；

（2）将（1）中得到的图形按照题目要求分别画出平移后各点的对应点，连接即可得到AAZB2c2；

（3）由（2）中得到的△△282c2,观察其与AABC的位置关系，即可得到旋转中心.

【详解】（1）如图△4&C即为所求.（2）如图△A2&C2即为所求.⑶如图点（-1,-I）即为所求.

【点睛】本题主要考查图形的旋转和平移，能够按题目要求确定图形位置变化后各点对应坐标是解题关键.

12.（2020•重庆梁平•初一期末）在网格中画对称图形.

图1是五个小正方形拼成的图形，请你移动其中一个小正方形，重新拼成一个图形，使得所拼成的图形满

足下列条件，并分别画在图2、图3、图4中（只需各画一个，内部涂上阴影）；

①是轴对称图形，但不是中心对称图形；②是中心对称图形，但不是轴对称图形；

【答案】①见解析；②见解析；③见解析

【分析】利用轴对称图形和中心对称图形的定义按要求画出图形.

【解析】①如图2,是轴对称图形，但不是中心对称图形；

③如图4,既是轴对称图形，又是中心对称图形.

【点睛】本题主要考查了利用图形的基本变换作图，由一个基本图案通过平移、旋转和轴对称以及中心对

称等方法可以变换出一些新图案，关键是要熟悉轴对称、平移以及旋转等图形变换的性质.

13.（2020•浙江金华市•八年级期末）在如图所示的方格纸中，

-I-

（1）作出AABC关于MN对称的△A4G；

（2）2c2是由△Age经过怎样的平移得到的？并求出△A4G在平移过程中所扫过的面积.

【答案】（1）图见解析：（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，面积是16

【分析】（1）作点A、B、C关于MN的对称点4、用、G，即可得到△AgG;

（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位可以得到AA282c2,画出平移的图象，求出扫过的面积.

【详解】解：（1）如图所示，

MN

B2'

（2）如图所示,

△AgG先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，得到282G）

△A4G在平移过程中所扫过的面积是图中阴影部分，

S=6x2+4x4x2=12+4=16.

2

【点睛】本题考查轴对称和平移，解题的关键是掌握轴对称图形的画法和图形平移的方法.

14.（2020•泰兴市济川初级中学八年级期中）如图所示的正方形网格中，AABC的顶点均在格点上，请在

所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点4顺时针旋转90。

得△AB©,画出（2）作出AABC关于坐标原点O成中心对称的△&4G.（3）在y轴上

找一点P，使得APAC；的周长最小，则P点的坐标为.（提醒：每个小正方形边长为1个单位长度）

%

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）（0,1）.

【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点与，则可得到△AB|G；

（2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点4,用，G的坐标，然后描点即可得到△482G；

（3）由A,关于y轴对称，连接A2G交y轴于P，则C.PAC、=AG+PA+PG=AG+AC,,此时APAG

的周长最短，从而可得答案.

【详解】解：（1）如图，分别找到民C绕A顺时针旋转90。的对应点与，G，

再顺次连接A4,C,得△为所作；

（2）如图，2,—2）,。（＜一1）,由中心对称的性质可得:

A（0,l）,B2（2,2）,G（4,1）,顺次连接人,员,。2得为所作；

（3）如图，由AA?关于y轴对称，连接4G交y轴于「，.•.PA=PA2,

则C"=AG+PA+PC[=AC,+A2G，此时APAG的周长最短，所以点p为所作，此时P（o,1）.

故答案为：P（o,l）.

【点睛】本题考查了利用旋转的性质与中心对称的性质作图，同时考查了利用轴对称的性质确定使三角形

周长最短的点，掌握以上知识是解题的关键.

15.（2020•扬州市梅岭中学八年级月考）如图所示的正方形网格中，AABC的顶点均在格点上，请在所给

直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）以A点为旋转中心，将aABC绕点A顺时针旋转90。得

△ABiG,画出△相©.（2）作出AABC关于坐标原点O成中心对称的282c2.（3）作出点C关于x

轴的对称点P.若点P向右平移X（X取整数）个单位长度后落在△A2&C2的内部，请直接写出X的值.

【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）x的值为6或7.

【分析】（1）分别作出8、C的对应点3”G即可解决问题；⑵分别作出A、B、C的对应点A?、生、

C2即可解决问题；（3）观察图形即可解决问题.

【详解】（1）作图如下：△/!当©即为所求；

（2）作图如下：282c2即为所求;

(3)P点如图，x的值为6或7.

【点睛】本题考查旋转、中心对称图形，格点作图，熟练掌握对称、旋转及网格作图的特征是解题关键.

能力培优(50分)

一、选择题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.(2020•山东宁津•初三一模)在平面直角坐标系中，点P(〃力)绕点。顺时针旋转45。为一次变换，第

2020次变换后得点P',则点尸'的坐标为()

A.(a,b)B.(-a,-6)C.D.(b,-a)

【答案】B

【分析】由图形列出部分点的坐标，根据坐标发现规律“P2(b,-a),P4(-a,-b),P6(-b,a),P8(a,b),P10

(b,-a)…”，根据该规律即可求出点P2(w的坐标.

【解析】解：通过观察，可以发现规律：P2(b,-a),P4(-a,-b),P6(­b,a),P8(a,b)

,Pio(b,-a)….故每8次是一个循环,2020+8=252……4,故与P“坐标一样，为＜-a,-b).

【点睛】本题是对点的坐标变化规律的考查，找到变化规律是解题的关键.

2.(2021•呼和浩特)已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、。按逆时针依次排列，若A点

的坐标为(2,6),则5点与。点的坐标分别为()

A.(-2,73),(2,-6)B.(-6，2),(73,-2)

C.(-73,2),(2,-我D.(一日,争咚，一等)

【分析】连。4、久>,过点A作人尸,》轴于点尸，过点。作£)EJ_x轴于点E,易证AA尸O=AOE£>(A4S),

则OE=4F=G，DE=OF=2,D(x/3,-2),因3、。关于原点对称，所以8(-石，2).

【答案】解：如图，连接。4、OD,过点A作■Lx轴于点F,过点。作DE_Lx轴于点E,

易证AAFO=AOE£>(A4S),:.OE=AF=6,DE=OF=2,；.D(6，-2),

•.•8、。关于原点对称，2),故选：B.

【点睛】本题考查正方形，熟练运用正方形的性质、全等三角形的性质以及中心对称的性质是解题的关键.

3.(2019•宜城市期末)如图，在平面直角坐标系中，Q4BC的顶点A在x轴上，定点3的坐标为(8,4),若

直线经过点52,0),且将平行四边形Q4BC分割成面积相等的两部分，则直线的表达式是()

B.y=2x-4C.y=x-lD.y=3x-6

【分析】过平行四边形的对称中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四边形对称中

心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可.

【答案】解：•.•点8的坐标为(8,4),.•.平行四边形的对称中心坐标为(4,2),

设直线小的函数解析式为y=fcr+8,则\；4；k；4-.h=：?，解得\k;[=]二，

直线Z史的解析式为y=x-2.故选：A.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握过平行四边形的中心的

直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键.

4.(2020•江苏南京市•八年级期中)在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系.如图，在

平面上取定一点。称为极点；从点。出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径.点尸的极

坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即P

(6,50°)或P(6,-310°)或P(6,410°)等，则点P关于点。成中心对称的点。的极坐标表示不

正确的是()

A.Q(6,-490°)B.Q(6,590°)C.Q(6,-110°)D.Q(6,230°)

【分析】根据中心对称的性质解答即可.

【解答】解：：尸(6,50°)或2(6,-310°)或P(6,410°),...由点尸关于点。成中心对称的点

。可得：点。的极坐标为(6,230°),(6,-490°),(6,590°),故选：C.

【点评】此题考查中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答.

二、填空题(本大题共3小题，每小题4分，共12分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上)

5.(2020•江阴初级中学八年级期中)如图，在RSABC中，/C=90。，把AABC绕AC边的中点M旋转后

得ADEF,若直角顶点F恰好落在AB边上，且。E边交AB边于点G,若AC=4,BC=3,则AG的长为

【分析】连接CF,先证明AACF为直角三角形，再由z^ABC中等面积法求出CF,进而求出AF；再证明aDEF

为直角三角形，且G为DE的中点，最后AG=AF-GF即可求解.

【详解】解：连接CF,如下图所示：

：M是AC的中点，.,.MC=MA：M是旋转中心，C绕M点旋转后的落点为F

MC=MF；.NMCF=NMFC,MA=MC=MFZMFA=ZA

在AACF中，由内角和定理知：/A+/MFA+/ACF+/CFM=180°故2NAFM+2NCFM=180。

/.ZAFC=90°.•.△ACF为直角三角形，CF1AB

111?

由AABC等面积法知：一xACx8C=—xA3xCE,且AB=5代入数据解得CF=—

225

AAF^\IAC2-CF2=J42-(y)2=yVZA+ZB=90o,ZA+ZACF=90°/.ZACF=ZB.-

又DF_LEF,AZAFD+ZAFE=90°：/AFD+NMFC=90°；.NAFE=NMFC=/ACF…②

由①、②知：/B=/AFE又由旋转知：ZB=ZE.\ZAFE=ZE,即GF=GE

由旋转知：ZA=ZD又NA=/AFM；.ZD=ZAFM,；.GF=GD故GF=GE=GD

AG为RIADEF斜边DE上的中点GF=-DE=-AB=-：.AG=AF-GF=.

2225210

【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的判定方法、直角三角形的性质、勾股定理等知识，本题的

关键是能连接CF并计算出CF的长.

6.(2020•内蒙古海勃湾•初二期末)如图，点。是oABCD的对称中心，AD>AB,E、尸是AB边上的

点，且G、”是边上的点，且CH=g3C,若岳,$2分别表示/XEOE和△（%）”的面积,

则5,与S2之间的等量关系是

S.EF1S,GH1

【分析】根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出］一=,=5,亡一=方==鼻，再由点

A*,、即co"CJ

。是oABCD的对称中心，根据平行四边形的性质可得S4Aos=SM8=；S4B8，从而得出S］与S?之间

的等量关系.

SEF152=GW=111

【解析】解一•日；=茄=5c_W'••S]=7=—s4B0C,

%80cDz3

J

,15.7

.・・点。是0ABe。的对称中心，,不二了

・・・SA408=SMOC=ZSCM8C。，

3

S3

即岳与S2之间的等量关系是，=5.

乙

【点睛】本题考查了中心对称，三角形的面积，平行四边形的性质，根据同高的两个三角形面积之比等

S.EF1S2GH1

于底边之比得出《---=-7^=T不匚=左=4是解题的关键.

»ABOC“°J

7.（2020•江苏无锡市•八年级期中）如图，在AABC中，NBAC=90。，AB=AC=3,D为BC边上一点，且

BD:DC=l:2,以D为一个顶点作正方形DEFG,且DE=BC,连接AE,将正方形DEFG绕点D旋转一

周，在整个旋转过程中，当AE取得最大值时AG的长为

【答案】J23

【分析】当点E在线段AO延长线上时，AE取得最大值，画出图形，过点A作AMJ_3c于点M，求

出8C的长度，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出AD的长，进而可得AG的长.

【详解】解：当点E在线段延长线上时，AE取得最大值.过点A作40_L3c于点M，如图所示:

33

•.•NBAC=90。，AB=AC=3，BC=^+?r=372':.BM=CM=三叵，：.AM=—五,

22

'：BD:DC=1:2,DE=BC，:.BD=4i，DE=EF=DG=FG=3近,

.-.DM=1X/2-A/2=^V2,在RtAADM中，AO=J（|夜）?+（g夜）？=石，

在RtAADG中，AG=ylAD2+DG2="⑸+（3何=723.故答案为：J万.

【点睛】本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形的性质等知识的综合运用，解决此题的关键是明确当

点4、D、E在同一条直线上时，AE有最大值.

三、解答题（本大题共3小题，共26分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤）

8.（2020•江苏南通市•南通田家炳中学九年级月考）如图，点O是等边AABC内一点，NAOB=105。,

ZBOC等于a,将ABOC绕点C按顺时针方向旋转60。得“OC,连接OD（1）求证：&COD是等

边三角形.（2）求/OAD的度数.（3）探究：当a为多少度时，ZAOD是等腰三角形？

D

/\

/\I

【答案】（1）证明见解析；（2）45°；（3）105°,127.5°或150°.

分析：（1）由旋转的性质得到ABC。g△4C3,再由全等三角形对应边相等得到。C=CQ,根据有一个角

为60。的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；（2）由等边三角形的性质、三角形内角和定理以及旋转

的性质即可得出结论.（3）若AAOD是等腰三角形,分三种情况讨论即可.

【解析】（1）:△Boe旋转60。得到4人。。，.\ASCO^AACD,

••.OC=CE）,且/OC£>=60。，则△08是等边三角形；

（2）•.,△ABC为等边三角形，：.ZBAO+ZOAC=f>0°,ZAHO+ZOBC=60°.

；/AO8=105°,；.NBAO+/ABO=75°,，/OAC+/OBC=120°-105°=45°.

■:4BOC旋转60。得到&4£）。，.•.△BCO丝△ACO,

：.ZDAC=ZOBC,：.ZOAD=ZOAC+ZCAD^45°.

（3）若小0。是等腰三角形...•由（1）知AOCO是等边三角形，.•.NCO/）=60。.

由（2）知/OAO=45。，分三种情况讨论：

①当。1=00时,ZAOD=90°,Za=360°-105°-60°-90°=105°；

②当。4=4。时，乙40。=67.5°,Za=360°-105°-60°-67.5°=127.5°；

③当AD=OD时,NAOD=45。Za=360°-105°-60°-45°=150°.

综上所述：当a=105。，127.5。或150。时，^AOD是等腰三角形.

点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋

转角；旋转前、后的图形全等.也考查了等腰直角三角形的判定与性质.解题的关键是要分类讨论.

9.（2020•江苏淮安市•九年级期末）问题背景：如图1设P是等边AABC内一点，PA=6,PB=8,PC=10,

求/APB的度数.小君研究这个问题的思路是：将4ACP绕点A逆时针旋转60。得到AABP,易证：4APP

是等边三角形，APBP是直角三角形，所以/APB=/APP+/BPP=150。.

简单应用：（1）如图2,在等腰直角AABC中，ZACB=90°.P为AABC内一点，且PA=5,PB=3,PC

=2立,则NBPC=

（2）如图3,在等边AABC中，P为AABC内一点，且PA=5,PB=12,NAPB=150。，则PC=

拓展廷伸：（3）如图4,ZABC=ZADC=90°,AB=BC.求证：应BD=AD+DC.

（4）若图4中的等腰直角AABC与RSADC在同侧如图5,若AD=2,DC=4,请直接写出BD的长.

图1图2图3

图4图5

【答案】（1）135；（2）13；（3）见解析；（4）加

【分析】简单应用：（1）先利用旋转得出BF=AP=5,ZPCP'=90°,CP=CP=20,再根据勾股定理

得出PP'=J^CP=4,最后用勾股定理的逆定理得出ABPP是以BP为斜边的直角三角形，即可得出结论；

（2）同（1）的方法得出NAPP=60。，进而得出NBPP=NAPB-NAPP，=90。，最后用勾股定理即可得出

结论：拓展廷伸：（3）先利用旋转得出BD三BD,CD'=AD,ZBCD'=ZBAD,再判断出点D,在DC的

延长线上，最后用勾股定理即可得出结论；

（4）先利用旋转得出BD'=BD,CD=AD',ZDBD'=90°,NBCD=/BAD,再判断出点D，在AD的延长

线上，最后用勾股定理即可得出结论.

【详解】解：简单应用：（1）如图2,

「△ABC是等腰直角三角形，.•./ACB=90。，AC=BC,将

△ACP绕点C逆时针旋转90。得到ACBP,连接PP,

.\BP'=AP=5,ZPCP'=90°,CP'=CP=2&,AZCPP'=ZCP'P=45°,

根据勾股定理得，PP'=0CP=4,•.•BP'=5,BP=3,...PP'2+BP2=BP,

.♦.△BPP是以BP为斜边的直角三角形，.♦./BPP=90。，

AZBPC=ZBPP'+ZCPP'=135°,故答案为：135；

(2)如图3,「△ABC是等边三角形，...NBAC=60。，AC=AB,

将AACP绕点A逆时针旋转60。得到△ABF,连接PP',

.♦.BP=CP,AP'=AP=5,ZPAP'=60°,△APP，是等边三角形,.".PP,=AP=5,ZAPP'=60°,

VZAPB=150°,.,.ZBPP'=ZAPB-ZAPP'=90°,根据勾股定理得，BP'=^BP2+PP1=13,

/.CP=13,故答案为：13；

拓展廷伸：(3)如图4,

将AABD绕点B顺时针旋转90。得到ABCD,ABD'=BD,CD，=AD,ZBCD'=ZBAD,

VZABC=ZADC=90°,NBAD+/BCD=180。，/.ZBCD+ZBCD'=180°,.•.点D，在DC的延长线上,

...DD'=CD+CD'=CD+AD,在RsDBD'中，DD'=0BD,0BD=CD+AD；

(4)如图5,

在AABC中，ZABC=90°,AB=BC,连接BD,将ACBD绕点B顺时针旋转90。得到△ABD,

，BD'=BD,CD=AD',ZDBD'=90°,