小升初-小学奥数复习

找规律法

例I观察数列的前面几项，找出规律，写出该数列的第100项来？

12345,23451,34512,45123,…

解：为了寻找规律，再多写出几项出来，并给以编号：

123456

12345,23451,34512,45123,51234,12345,

789101112

23451,34512,45123,51234,12345,23451,

仔细观察，可发现该数列的第6项同第1项，第7项同第2项，第8项同第3项，…也就是说该数

列各项的出现具有周期性，他们是循环出现的，一个循环节包含5项.

100+5=20.可见第100项与第5项、第10项一样（项数都能被5整除），即第100项是51234.

练一练：有一列数是2、9、8、2、…，从第三个数起，每一个数都是它前面的两个数相乘积的个位

数字（比如第三个数8就是2X9=18的个位数字）.问这一列数的第100个数是几？

考点二反向思维法

例1、在一次考试中共出了10道题，每题完全做对得10分，做错的扣6分，做对一部分得3分,

李聪同学做了全部题目，得77分，问李聪同学做题情况。

分析：从正面考虑，方法很多，可以列出方程来解答:

方法一：用枚举法列表求解，显得要简单一些

全做对全做错做对一部分

总分

数量得分数量扣分数量得分

101000000100

990160084

990001393

8802120068

880161377

880002686

方法二：反向思维。从失分着手来计算：得77分，那么失了多少分。

1、如果10题全对，则得分。

2、如果做对一部分，只得3分，实际是从本题的分值也就是会应得的10分中，扣掉分。

3、如果做全错了，要扣6分，实际上是不仅本题的会应得的10分得不到，反而要再.

相当于从总分中扣分。

4、总失分,它的组成是

练一练:

1、某池中的睡莲所遮盖的面积，每天扩大1倍，20天恰好遮住整个水池，问若只遮住水池的一半

需要多少天？

2、小亮拿着1包糖，遇见好朋友A,分给了他一半；过一会又遇见好朋友B,把剩下的糖的一半分

给了他；后来又遇到了好朋友C,把这时手中所剩下的糖的一半又分给了C,这时他自己手里只有一

块了.问在没有分给A以前，小亮那包糖有几块？

3、农妇卖蛋，第一次卖掉篮中的一半又1个，第二次又卖掉剩下的一半又1个，这时篮中还剩1个.

问原来篮中有蛋几个？

4、现有一堆棋子，把它分成三等份后还剩一颗；取出其中的两份又分成三等份后还剩一颗；再取出

其中的两份再分成三等份后还剩一颗.问原来至少有多少颗棋子？

上楼梯问题

例1、时钟4点钟敲4下，12秒钟敲完，那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？

分析：如果盲目地计算：12+4=3（秒），3X6=18（秒），认为敲6下需要18秒钟就错了.请看下

图：12秒

_入

tttttt

第1下第2下第3下第4下第5下第6下

时钟敲4下，其间有3个间隔，每个间隔是：12+3=4（秒）：时钟敲6下，其间共有5个间隔，所

用时间为：4X5=20（:秒）。

练一练：

1、一列火车共20节，每节长5米，每两节之间相距1米，这列火车以每分钟20米的速度通过81

米长的隧道，需要几分钟？

2、某人到高层建筑的10层去，他从1层走到5层用了100秒，如果用同样的速度走到10层，还需

要多少秒？

3、A、B二人比赛爬楼梯，A跑到4层楼时，B恰好跑到3层楼，照这样计算，A跑到16层楼时，B

跑到几层楼？

4、铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车的速度，测量出从第一根电线杆起到经过

第37根电线杆共用了2分钟，火车的速度是每秒多少米？

植树问题

例1、马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多

少千米？

分析张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽

车速度.

解：5分钟汽车共走了：9X（501-1）=4500（米），

汽车每分钟走：45004-5=900（米），

汽车每小时走：900X60=54000（米）=54（千米）

列综合式：9X（501-1）4-5X601000=54（千米）

练一练：

1、一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵

月季花.问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？

2、在一条路上按相等的距离植树.甲乙二人同时从路的一端的某一棵树出发.当甲走到从自己这边数

的第22棵树时，乙刚走到从乙那边数的第10棵树.已知乙每分钟走36米.问：甲每分钟走多少米？

3、在一根长100厘米的木棍上，从左向右每隔6厘米点一个红点.从右向左每隔5厘米点一个红点,

在两个红点之间长为4厘米的间距有几段？

方阵的基本特点是：

①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2。

②每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：

四周人（或物）数=[每边人（或物）数T]X4；

每边人（或物）数=四周人（或物）数+4+1。

③中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数X每边人（或物）数。

例1某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵

共有五年级学生多少人？

分析根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数+4+1,可以求出方阵最外层每边

人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

解：方阵最外层每边人数：604-4+1=16（人）

整个方阵共有学生人数：16X16=256（人）

例2晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋

子多少个？

分析方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及

第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。

解：最外边一层棋子个数：（14-1）X4=52（个）

第二层棋子个数：（14-2-1）X4=44（个）

第三层棋子个数：（14-2X2-1）X4=36（个）.

摆这个方阵共用棋子：52+44+36=132（个）

一、牛吃草问题之基本题

例1牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10

天。问：可供25头牛吃几天？

分析与解：牧场上原有的草是不变的，草地每天新长出的草的数量相同。

设1头牛一天吃的草为1份。10头牛20天吃：200份，15头牛10天吃：150份，

200-150=50（份），20—10=10（天），说明牧场10天长草50份，1天长草5份。

原有草：（10—5）X20=100（份）或（15—5）X10=100（份）。

当有25头牛时，每天吃了25份，又新长出来5份，所以每天减少20份

所以，这片草地可供25头牛吃：100+20=5（天）。

二、牛吃草问题之检票问题

例2某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的

队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，

那么需多少分钟？

分析与解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以

用牛吃草问题的解法求解。

旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来

的旅客。

设1个检票1分钟检票的人数为1份。

4个检票30分钟通过：（4X30）份，

5个检票20分钟通过：（5X20）份,

说明在（30-20）分钟内新来旅客（4X30-5X20）份，所以每分钟新来旅客

（4X30-5X20）4-（30-20）=2（份

可以求出原有旅客为（4-2）X30=60（份）或（5-2）X20=60（份）。

同时打开7个检票时，每分钟减少7份，增加2份，就是每分钟减少原有的5份，或者理解为，让

2个检票专门通过新来的旅客，其余的检票通过原来的旅客，需要60+（7-2）=12（分）。

三、牛吃草问题之抽水问题

例3、一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开

出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟

后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？

分析与解：先进的水相当于原有的草，后放的水相当于后长的草，出水管排水相当于牛吃草。

设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的水是2X8=16（份），3个出水管

5分钟所排的水是3X5=15（份），两者相差1份，相差3分，所以每分钟的进水量是;，可以求出

19121

先放过水的水量为16—X8=13-因为每分进可，的以用的时间是13鼻+可=40分

答：出水管比进水管晚开40分钟。

四、牛吃草问题之天牛吃草

例4由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上

的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？

分析与解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以

利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。

设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，

相差：100-90=10（份），相差1天，所以牧场1天减少青草10份，或者说寒冷相当于10头牛吃草。

所以牧场原有草：20X5+10X5=150（份）。150+10—10=5头。

五、牛吃草问题之上楼梯问题

例5自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20

级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：

该扶梯共有多少级？

分析与解：“扶梯的梯级总数”相当于“总的草量”，“梯级上升”相当于“牛吃掉”，也可以看

成牛吃草问题。

男孩5分钟走了20X5=100（级），

女孩6分钟走了15X6=90（级），

女孩比男孩多走一分钟，电梯也就多转一分钟，多了10（级），说明电梯1分钟上升10级。

由男孩5分钟到达楼上，他走了20X5=100级

扶梯5分钟本身上升10X5=50级，

所以：100+50=150（级）。

练习：

1、有三块草地，面积分别为5,6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可

供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？

2、经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成

的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？

3、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不

同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同

的。结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底。那么，井深多

少米？

鸡兔同笼：

例1、鸡兔同笼，头共46,足共128,鸡兔各几只？

解：先假设它们全是鸡。于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚

数与题中给出的脚数相比较，看多多少。每多2只脚就说明有一只兔；将所多的脚数除以2,就可

以算出共有多少只兔子.

假设全是鸡，则足有：2X46=92（只）

比总足数少的：128-92=36（只）

这些是因为兔子只算了2足，每只兔子还有2足没算，

所以：兔子有36+2=18（只）鸡有46—18=28（只）

例2、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

分析这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又

如何解答呢？

假设100只全是鸡，那么脚的总数是2X100=200（只）这时兔的脚数为0,鸡脚比兔脚多200只，

而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因

为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚

与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120+6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。

例3、刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人,

问大船、小船各租几条？

分析我们分步来考虑：

①假设租的10条船都是大船，那么船上应该坐6X10=60（人）。

②假设后的总人数比实际人数多了60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐

6人。

③一条小船当成大船多出2人,多出的18人是把184-2=9（条）小船当成大船.

解：［6X10-（41+1）4-（6-4）=184-2=9（条）

10-9=1（条）

答：有9条小船，1条大船。

练习：

1、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两

对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？

2、松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采了112个松子，平均

每天采14个.问这几天当中有几天有雨？

逻辑推理

例1、李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双打比赛.

事先规定.兄妹二人不许搭伴。

第一盘，李明和小华对张虎和小红；

第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹。

请你判断，小华、小红和小林各是谁的妹妹。

解：因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹二人不许搭伴，所以张虎的妹妹不是

小红和小林，那么只能是小华，剩下就只有两种可能了。

第一种可能是：李明的妹妹是小红，王宁的妹妹是小林；

第二种可能是：李明的妹妹是小林，王宁的妹妹是小红。

对于第一种可能，第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹.王宁的妹妹是小林，这样就是张虎、

李明和小林三人打混合双打，不符合实际，所以第一种可能是不成立的，只有第二种可能是合理的。

所以判断结果是：张虎的妹妹是小华；李明的妹妹是小林；王宁的妹妹是小红。

练习：

1、甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。

赵说：“甲是2号，乙是3号.”

钱说：“丙是4号，乙是2号.”

孙说：“丁是2号，丙是3号.”

李说：“丁是4号、甲是1号.”

又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几?

数的奇偶性：

例1、某班同学参加学校的数学竞赛，试题共50道，评分标准是：答对一题给3分，不答给1分,

答错倒扣1分。请你说明，该班同学得分总和一定是偶数。

【分析与解答】

解法一：先来考虑每一名参赛同学的得分情况，对于每个同学来说，50道都答对可得150分，是个

偶数。如答错一题，就要从150分中减去（3+1）=4分，不管答错几题，4的倍数都是偶数，150减

去偶数还是偶数。同样，如不答一题，就要从150分中减去（3-1）=2分，不管不答几题，2的倍

数都是偶数，150减去偶数也还是偶数，因此，无论怎样，每个同学的得分都是偶数。任意多个偶

数的和仍为偶数，因此全班同学的得分总和也是偶数。

解法二：设某个同学有m道题答对，则得31n分；有n道题答错，则减去n分；那么这个同学未答的

题是50—m—n道，即得50—m—n分。于是该生实际得分为：

3m-n+(50-m-n)

=2m—2n+50

=2(m—n)+50

=2[(m-n)+25]为偶数

即每个同学的得分都是偶数。

因此，全班同学的得分总和一定是偶数。

练习：任意取出1994个连续的自然数，他们的总和是奇数还是偶数？

等量代换：

已知：(见下图)求：最大的球的重量是多少克？

・••••[OO。••OO。。。

I篇I____II____I

解：由图(1)得：3・=2・+48,所以・=48(克).

由图(2)得：3O=2・，即：30=2X48,

所以0=2X48+3=32(克).

由图(3)得：0=40=4X32=128(克).

练习：

1、小红去文具店买了6支铅笔和5个笔记本，共花了1元3角5分钱.已知3支铅笔的价钱与2个

笔记本的价钱相等.求1支铅笔和1个笔记本各要多少钱？

定义新运算

典例L定义一种运算△如下：aAb=3Xa-2Xb,

(1)求342,2A3；

(2)求这个运算有交换律吗？

(3)求(17Z\6)A2,17A(6A2)；

(4)如果已知4Z\b=2,求b。

解析：解这类题的关键是抓住新运算的本质，本题的本质是：用运算符合前面数的3倍减去运算符

合后面数的2倍。

解：(1)342=3X3—2X2=97=52A3=3X2-2X3=6-6=0

(2)由(1)的运算结果可知“△”没有交换律。

(3)要计算(17Z\6)A2,先计算括号内的数，17Z\6=3X17—2X6=39,再计算第二步394

2=3X39-2X2=113,所以(17Z\6)Z\2=113.对于(6Z\2)可同样计算6Z\2=3X6—2X2=14,

17A14=3X17-2X14=23,所以(6A2)=23.

(4)因为4Ab=3X4-2Xb=12-2b=2,解得b=5。

训练1:

1、规定aZ\b=2a+b,如7Z\5=2X7+5=19,计算：（1）9A8（2）15A12

2、规定a/\b=aXa—bX2,如745=7X7-5X2=49-10=39,

计算：（1）15A14（2）8A4

典例2.x、y表示两个数，规定新运算"X"及如下：xXy=mx+ny,xay=kxy,其中m、n、k

均为自然数，已知1X2=5,(2X3)△4=64,求(1A2)派3的值。

解析：我们采用分析法，从要求入手，题目要求(1A2)派3的值，首先我们计算142的值，根

据“△”的规定：142=kXlX2=2k,由于k的值不知道，所以首先要求出k的值，我们设142=a,(1

△2)X3=aX3,根据“X”的规定aX3=ma+3n,只有求出m、n,我们才能计算aX3的值，因此要

计算(1A2)派3的值，我们就要先求出k、m、n的值。根据已知条件1X2=5可以求出m、n的值,

再根据已知条件(2X3)44=64可以求出k的值。

解：因为lX2=mXl+nX2=m+2n=5,且m、n均为非零自然数，所以解得：

m=l「m=2rm=31m=4「

n=2Ln=|2（舍L去）n=lLn=i1（舍L去）

①当m=l,n=2时，（2X3）Z\4=（1X2+2X3）/\4=844=1<*8乂4=321<=64解得k=2

7_

②当m=3,n=l时，（2X3）△4=（3X2+1X3）△4=9Z\4=kX9X4=36k=64解得k=l9

7

这与k是自然数矛盾，因此m=3,n=l,k=1,9这组解应舍去。所以当m=l,n=2,k=2时，（1A2）

派3=（2X1X2）X3=4X3=1X4+2X3=1O

训练2：

12AB

1、对于任意整数A,B,定义新运算“△"：A4B=MA+2B（其中M是一确定的整数），如果

2=2,求249的值。

2、对于任意自然数x、y,定义新运算“X”如下：若x、y同奇或同偶，则xXy=(x+y)+2；若

x、y的奇偶性不同，则xXy=(x+y+1)+2。求4X5X6X8X11的值。

数的整除性

数的整除具有如下性质：

性质1如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。

性质2如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘

积整除。

我们把学过的一些整除的数字特征列出来：

(1)一个数的个位数字如果是0,2,4,6,8中的一个，那么这个数就能被2整除。

(2)一个数的个位数字如果是。或5,那么这个数就能被5整除。

(3)一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

(4)一个数的末两位数如果能被4(或25)整除，那么这个数就能被4(或25)整除。

(5)一个数的末三位数如果能被8(或125)整除，那么这个数就能被8(或125)整除。

(6)一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除

例1在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？

234,789,7756,8865,3728,8064,

解：能被4整除的数有7756,3728,8064；

能被8整除的数有3728,8064；

能被9整除的数有234,8865,8064。

例2在四位数56口2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9,8,4整除？

例3从0,2,5,7四个数字中任选三个，组成能同时被2,5,3整除的数，并将这些数从小到大

进行排列。

解：因为组成的三位数能同时被2,5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征，数

字和2+7+0与5+7+0都能被3整除，因此所求的这些数为270,570,720,750。

例4、五位数A329B能被72整除，问：A与B各代表什么数字？

分析与解：已知A329B能被72整除。因为72=8X9,8和9是互质数，所以A329B既能被&整

除，又能被9整除。根据能被8整除的数的特征，要求29B能被8整除，由此可确定B=6。再根

据能被9整除的数的特征，A329B的各位数字之和为

A+3+2+9+B=A+3-f-2+9+6=A+20,

因为1WAW9,所以21WA+20W29。在这个范围内只有27能被9整除，所以A=7。

练习：

1、六位数5A634B5A634B能被33整除,求A+B。

2、七位数3A8629B3A8629B是88的倍数，求A和B。

递推：

例1平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部

分？

解:

假设用ak表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数.这里k=0,1,2,…•如图可见。

a0=1al=a0+l—2a2=al+2=4a3=a2+3=7a4=a3+4—11

归纳出递推公式an+l=an+n.(1)

即画第n+1条直线时，最多增加n部分.原因是这样的：第一条直线最多把圆分成两部分，故al=

2.当画第二条直线时要想把圆内部分割的部分尽可能多，就应和第一条直线在圆内相交，交点把第

二条直线在圆内部分分成两条线段，而每条线段又把原来的一个区域划分成两个区域，因而增加的

区域数是2,正好等于第二条直线的序号.同理，当画第三条直线时，要想把圆内部分割的部分数尽

可能多，它就应和前两条直线在圆内各有一个交点.两个交点把第三条线在圆内部分成三条线段.而

每条线段又把原来一个区域划分成两个区域.因而增加的区域部分数是3,正好等于第三条直线的序

号，….这个道理适用于任意多条直线的情形.所以递推公式(1)是正确的.这样就易求得5条直线

最多把圆内分成：a5=a4+5=ll=5=16(部分)。

要想求出100条直线最多能把圆内分成多少区域，不能直接用上面公式了，可把上面的递推公式变

形：

an=an-l+n=nn-2+(n-1)+n=an-3+(n-2)+(n-n)+n

=,"=1+1+2+…+n=l+心：1)(2)

2

100X101…八、

,•aioo=Q=5051(部刀)°

公式(2)也称为数列1,2,4,7,11,16,…的通项公式.

练习：

1：①1,5,9,13,17,()。

②0.625,1.25,2.5,5,()。

③-

10'16'22'28'58'

@198,297,396,495,(),()),

利润问题：

例1一件商品如果以八折出售，可以获得相当于进价20%的毛利，那么如果以原价出售，可以获得

相当于进价百分之几的毛利？()

A.20%B.30%C.40%D.50%

解析：利润问题的核心是求成本，如果商品的原价为1,销售价是八折，那么八折的销售价为1X0.8

销售价

=0.8,以这个价格销售可获得20%的毛利(利润率)，我们可依据公式，成本=1+禾I润率求出商

八折价格0.82利润销售价-成本

品的成本为1+20%==，然后可根据利润率=成本=成本求出以原

价销售时的利润率，即利润率=5=3=50%

例2一种衣服过去每件进价60元，卖掉后每件的毛利润是40元。现在这种衣服的进价降低，为了

促销，商家将衣服八折出售，毛利润却比过去增加了30%,请问现在每件衣服进价是多少元？

()

A.28B.32C.40D.48

解析：这道题有些特殊，命题人避开了“成本不变”这个一般规律，明确提出将“成本”变化了，

然后来考学生。这也并不可怕，抓住利润问题的基本公式解之即可。

衣服过去每件进价60元，卖掉后每件的毛利润是40元，则此时衣服的销售价格是60元+40元=

100元。当以八折销售时，销售价格为100元X0.80=80元，而此时的利润根据题意比过去增加了

30%,即40X(1+30%)=52元，从而可得成本=80元—52元=28元。综上，本题选择A。

例3某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中

一件盈利25%,另一件亏本25%,则他在这次买卖中()

A.不赔不赚B.赚9元C.赔18元D.赚18元

解析：可运用利润问题的核心公式，也可以根据比例问题的基本知识解决。

销售价

根据利润问题的核心公式成本=1+利润率，第一件上衣成本=135/(1+25%)=108,第二件上衣成

本135/(1-25%)=180(亏损即利润率为负)，由此可得总成本为288元，而总销售额为270元。

所以，赔了18元，正确答案为C。

例4一种衣服过去每件进价60元，卖掉后每件的毛利润是40元。现在这种衣服的进价降低，为

了促销，商家将衣服八折出售，毛利润却比过去增加了30%,请问现在每件衣服进价是多少

元？()2003B

A.28B.32C.40D.48

【答案』c

『解析』过去的销售价格=60元+40元=100元，促销八折价格销售也即现在的销售价=80元，此时

的利润=40X(1+30%)=52,则成=80—52=28。

夯实基础：

例1、出售甲种产品的利润是25%,乙种产品利润是20%,如果分别各用2000元购进甲、乙两种产

品，共获利多少元？如果两种产品一起买可以优惠15%,此时的售价是多少？

例2、一件商品按30%的利润定价，然后又按八折出售，结果赚了64元，这件商品的成本是多少元?

例3、一件商品如果按原价出售可以盈利25%,如果降价30%出售，则要亏本30元，那么这件产品

的进价是多少元？

例4、某商品按定价出售，每个可获得45元的利润。已知按定价打八五折出售8个获得的利润与按

定价每个减少35元出售12个所获得的利润一样多。这种商品每个定价多少元？

例5、某商店从外地购进360个玻璃制品，运输时损坏了40个，剩下的按进价以117%售出，商店可

盈利百分之几？

时钟问题

时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。大家都知道，钟面的一周分为60格，分针每走

60格，时针正好走5格，所以时针的速度是分针速度

的5+60=/。时钟问题经常围绕着两针（指时针与分针，下同）重合、两针

垂直、两针成直线、两针成多少度角提出问题。因为时针与分针的速度不同，并且都沿顺时针方向

转动，所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。

还可以理解，一周是12格，秒针转1分是12格，分针转一分是々，格，时针转1分是。

560

还可以理解一周是360。，秒针转1分是360°分针转一分是1。，时针转1分是0.5°。

例1、现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？

分析：如右图所示，2点分针指向12,时针指向2,分针在时针后面

5X2=10（格）。因为时针速度是分针的5，所以分针走1格，时针走卷格,

分针比时针多走1-《=£（格）。分针要比时针多走10格，需走10+£=

io^（格），即畔分钟。

解：5X2+。-5）=1*（分）°

答：2点10弓分时针与分针第一次重合。

例2在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直?

分析与解：7点时分针指向12,时针指向7（见右图），分针在时针后面5X7=35（格）。时针与

分针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间，有下图所示的两种情况：

（1）顺时针方向看，分针在时针后面15格。从7点开始，分针要比时针多走35-15=20（格），

需

1a.9

20—（1-逐）=21石（分）。此时是7点21yy分。

（2）顺时针方向看，分针在时针前面15格。从7点开始，分针要比时针多走35+15=50（格），

需

50+。-舐呜（分）°此时是7点5哈分。

所求时刻是7点2谓分或7点5哈分。

例3在3点与4点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？

分析与解：3点时分针指向12,时针指向3（见右图），分针在时针后面5X3=15（格）。时针与

分针在一条直线上，可分为时针与分针重合、时针与分针成180。角两种情况（见下图）：

（1）时针与分针重合。从3点开始，分针要比时针多走15格，需15・

（1-卷）=16.（分）o此时是3点16、分。

（2）时针与分针成180°角。从3点开始,分针要比时针多走15+30

=45（格），需45+（14）=49、（分）。此时是3点4哈分。

所求时刻是3点16.分或3点495分。

例4、3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边?

分析与解：假设3点以后，时针以相反的方向行走，时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻。

这就变成了相遇问题，两针所行距离和是15个格。

分针速度为每分钟一格，时针速度为每分钟5格，列成算式是：

15*（1+-^）=15+^|=15x^|=13-^（分）o

，乙，乙JLJ1J

3点13晟分，时针与分针在“3”的两侧，且离“3”的距离相等。

例5、晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好成一条直线，结束时两

针正好重合。这部动画片播出了多长时间？

分析与解：这道题可以利用例3的方法，先求出开始的时刻和结束的时刻，再求出播出时间。但在

这里，我们可以简化一下。因为开始时两针成180°,结束时两针重合，分针比时针多转半圈，即

多走30格，所以播出时间为

30+Q带T0（分）。

例6小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针

的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？

分析与解：从左上图我们可以看出，时针从A走到B,分针从B走到A,两针一共走了一圈。换一个

角度，问题可以化为：

时针、分针同时从B出发，反向而行，它们在A点相遇。

两针所行的时间是：

距离和是60格，分针每分钟走1小格，时针每分钟走小格。那么两针相遇

60+（1+/）=55,分）。小明做作业用了551分钟。

工程问题

经典例题赏析

例1：（难度:★★★）一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由

乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？

例2：（难度：★★）一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其

间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？

例3：（难度：★★★★）甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资.按两队原计划的

工作效率，乙队应获5040元.实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比

原计划多获得960元.那么两队原计划完成修路任务要多少天？

例4：（难度：★★★★）一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把

水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时

间才能把水放空？

例6：（难度：★★★）甲、乙两项工程分别由一、二队来完成.在晴天，一队完成甲工程需要12

天.二队完成乙工程需要15天;在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要下降10%.结

果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天？

例7：（难度：★★★）甲、乙、丙3名搬运工同时分别在3个条件和工作量完全相同的仓库工作，

搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时.第二天3人又到两个较大的仓库搬运货物，这

两个仓库的工作量也相同.甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了16小时后同时搬

运完毕.问丙在A仓库做了多长时间？

2

练习：1、打印一份稿件，甲单独打4小时打了这份稿件的3,乙接着又打了2小时，打了这份稿件

的7,剩余的甲、乙共同打，还需几小时？

2、修一段公路，甲队单独做要40天，乙队单独做要用24天。现在两队同时从两端开工，结果距

中点750米处相遇，这段公路长多少米？

3、一项工程，甲单独做需12小时，乙单独做需18小时，若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小

时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时共用多少个小时？

5

4、一件工程，甲、乙合作6天能完成5。如果甲单独做，那么完成3与乙完成5所需的时间相等。

若按甲、乙、甲、乙……的顺序每人一天轮流，则需多少天完成任务？

5、老刘和小李合做一件工作，要12天完成，如果让老刘先做8天，剩下的工作由小李单独做，小

李还要14天才能完成。小李单独做这件工作需几天完成？

6、一件工程，甲、乙合作需6天完成，乙、丙合作需9天完成，甲、丙合作需15天完成，再在甲、

乙、丙三人合作需要多少天完成？

5

7、一项工作，甲、乙合作要12天完成。若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成这件工作的12。

如果这件工作由甲、乙单独做，甲需要多少天？乙需要多少天？

行程问题：

1、一列客车从甲城开往乙城要8个小时，一列火车从乙城开往甲城要12个小时。两车同时从两城

开出，相遇时客车行了264千米，求甲乙两个城市之间相距多少千米？

2、某船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下要10个小时，逆水而上需要用15个小时。由

于暴雨后水速增加，该船顺水而行只需9个小时，那么逆水而行需要多少个小时？

3、甲乙两个人骑自行车分别从AB两地同时相向而行，第一次两车在距离B地7千米的地方相遇,

相遇后两车继续往前走，一直到达对方后立即返回，返回时在距离A地4千米处又相遇了。那

么AB两地相距多少千米？

4、甲乙丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走70千米，丙每分钟走80千米，甲乙从东镇，丙冲

西镇，同时相向出发，丙遇到了乙后，再经过了10分钟遇到了甲，请问两镇之间相距多少千米？

5、在10千米赛跑中，当甲到达了终点时，超过乙千米，超过了丙4千米，当乙到达重点时间，丙

离重终点还有多少千米？

6、晚上8点钟刚过，不一会儿小华开始做作业，一看钟，时针和分针正好合成一条直线。做完了

作业再看钟，还不到9点钟，而且分针和时针恰好重合了，小华做作业花了多长的时间？

7、甲乙两汽车同时从同地背向而行，2小时相距250千米，如果同时同向而行，3小时后甲车在乙

车前面45千米，两车速度各是多少千米每小时？

8、甲乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步。如果同时跑，则他们每隔3分20秒就相遇一次。

如果是反向行的话，则每隔40秒就可相遇一次，请问跑得快的人的速度是多少？

9、刘明从甲骑自行车到县城，每小时速度是18千米，回来时因逆风每个小时行12千米，请问他

往返这段路程的平均速度是多少？

10、甲乙两辆汽车从同一个地方点向相反的方向行驶，甲车每个小时行使50千米，比乙车快1/4,

如果甲车先行1.5小时，甲乙两车再同时行使几个小时，两车还相距未60千米的距离？

和倍问题专项练习题

1.一个梯形的面积是390平方厘米，连接梯形的对角线（如图），形成两个三角形，大三角形的面

积比小三角形大30平方厘米，求两个三角形的面积各是多少平方厘米？

2.张刚期中考试，语文、数学两科的平均分是93,语文比数学少4分。问两科的成绩各是多少？

3.图书角里科技书和故事书共有109本，借走15本科技书，13本故事书后，科技书还比故事书

多5本。求原有故事书多少本？

4.甲、乙两个车间共生产机床850台，因工作需要，甲车间把自己的生产拨给乙车间120台，这

时甲车间比乙车间还要多生产50台。两个车间原来的生产任务各是多少台？

年龄问题专项训练题

1、今年，姐姐20岁，哥哥18岁，弟弟12岁，妹妹8岁，问多少年后，姐姐、哥哥的年龄和的2

倍等于弟弟、妹妹年龄和的3倍？

2、爸爸45岁，他有三个儿子，大儿子15岁，二儿子11岁，三