小学数学-推理教学设计学情分析教材分析课后反思

课题：推理

教学内容：

义务教育教科书人教版六年级下册第六单元整理和复习第四部分数学思考第102页的例题4。

教学目标：

1.经历观察、猜想、证明等过程，在比较中体会推理过程的严谨性。

2.经历根据已知信息利用性质、定理等证明结论的过程，在交流讨论中学会有理有据地表达，从而发

展学生的推理能力。

3.尝试利用已经获得的信息，推理出新的结论，体验方法多样性。

教学重点：

根据已知信息利用性质、定理等证明结论，在交流讨论中学会有理有据地表达，从而发展学生的

推理能力。

教学难点：

1.经历根据已知信息利用性质、定理等证明结论的过程，在交流讨论中学会有理有据地表达，

从而发展学生的推理能力。

2.尝试利用已经获得的信息，推理出新的结论，体验方法多样性。

教学准备：

多媒体课件、练习纸、三角尺等。

教学过程：

教师：学生：

一、拼图游戏导入

1.同学们，喜欢看动画吗？张老师请大家看一个拼图动画，

请你仔细观察，思考：

（课件出示图一剪拼动画到图二）

（1）图一剪拼后得到图二，面积一样吗？生2：不一样

（2）我们一起来验证。学生进行验证。

图1是边长8厘米的正方形，面积就是64平方厘米。图2是

长13厘米，宽5厘米的长方形，面积是65平方厘米。图1剪拼后

得到图2,面积不一样。

我们分别计算甲图的面积是3X8+2=12平方厘米，乙图的面

积是3X8+2=12平方厘米，丙图的面积是（3+5）*5+2=20平方

厘米，丁图的面积是（3+5）X54-2=20平方厘米的面积然后再加

起来12+12+20+20=64（平方厘米）用计算的方法验证了图1简拼

后得到图2,面积一样。

2.大家分析的都很好，图1的面积是64平方厘米，剪拼后得

到图2,面积增加1平方厘米。用操作法进行验证出现了1平方厘

米的误差，我们通过计算的方法验证面积是不变的。这种用计算验

证的过程就是推理的过程。今天我们研究推理。（板书：推理）

二、探究三角形内角和是180°。

1.（课件出示小组合作学习要求）谁愿意读一读：①你能不

操作而借助长方形图用推理的方法证明直角三角形内角和是180°

吗？②以“直角三角形内角和是180°M为依据，推出-一般三角形生：读要求

的内角和是180°。

谁愿意读一读小组学习要求？

2.同学们，你们还记得吗，四年级的时候我们学过三角形内角

和是多少度？

（1）还记得你是怎样得到三角形内角和是180°的？生1：量量三个角的度数，加起来。

其实，测量求和、剪拼、折拼这些方法都是操作法，操作法或生2：把三个角撕下来拼在一起，

多或少存在误差。这节课我们研究用推理的方法验证三角形的内角看看是不是平角。

和是180度。生3：将三角形的三个内角拼起

来，看是不是内角。

(2)哪个小组愿意说一说你们怎样验证的直角三角形的内角小组合作。

和是180°。指名2个小组汇报证明方法。生1：画长方形的一条对角线，发

(3)直角三角形的内角和是180°,谁愿意依据这个结论推出现“任意长方形都能分成两个完

一般三角形的内角和也是180°?指名2个小组代表汇报证明方法。全相同的直角三角形”，因为长方

形形的四个角都是直角，所以长

方形形的内角和等于360°。又因

为“分成的直角三角形的内角和

正好是长方形形内角和的一半”，

3.我们一起来回顾一下刚才推理的过程。推理直角三角形内角所以“直角三角形内角和为

和是180。。因为长方形的四个角都是直角，所以长方形的内角和180°”

等于90°X4=360°«画长方形的一条对角线，将长方形分成了2生2：做三角形BC边上的高，将

个完全相同的直角三角形，又因为“分成的直角三角形的内角和正这个三角形分成了2个直角三角

好是长方形形内角和的一半”，所以“直角三角形内角和为360。+形。一个直角三角形的内角和是

2=180°二180度，2个直角三角形的内角和

对于一般三角形的内角和也是180°的验证。做BC边上的高，一共是180+180,再去掉这两个直

将这个三角形ABC分成了2个直角三角形。一个直角三角形的内角角，就是三角形ABC的内角和为

和是180度，2个直角三角形的内角和一共是180+180,再去掉这180度。

两个直角，就是三角形ABC的内角和为180度。生讲一讲。

我们都是先从大图形中画了一条辅助线，将大图形分成了2个

小图形，依据已知信息推理出结论。(板书)

4.同学们和大数学家帕斯卡一样棒。(课件出示)法国著名的

数学家帕斯卡，在12岁时利用长方形证明“任意直角三角形的内

角和是180°”接着帕斯卡又发现“任何三角形都可以分成两个

直角三角形”，这两个直角三角形去掉两个直角，剩下的就得到原

三角形的内角和为180°。

同学们和帕斯卡一样了不起。

三、练习：

1.刚才我们用推理的方法验证了三角形的内角和是180°,你能

用推理的方法完成练习纸上的第2题吗？(课件出示课本第102页

的例题4)如图：两条直线相交于。点。你能推出/1=/3,

Z2=Z4吗?

生独立思考

小组内交流。

生1：N1和/2合起来正好是一

条直线。

(1)请你先独立思考，再在小组内交流，尽量让小组内的同

生2：/I和N2合起来正好是平

学听明白你的想法。教师巡视。

角，平角是180"

(2)同学们，你们想到办法了吗？谁愿意到前面来指着图说

生3：这两个角在一条直线上，这

一说Nl=/3?

两个角组成的角是180°

(3)再请一名同学到前面来指着图说一说。

生4：Zl+Z2=180°

是啊，因为这些依据，让推理的过程更加严谨，让N1=N3的

N2+/3=180°,同时去掉/2,

得出更具有说服力，那现在N2=N4,请你和同位有理有据的说一

Z1和N3是相等的。

说吧。

生5：等式的性质，等式的两边同

时减去N2,Z1=Z3«

生6：边指图边说，

Zl+Z2=180°

Z2+Z3=180°,都有N2,

去掉N2,/I和N3是相等的。

(4)小结：我们一起来看大屏幕，在图中，/I和/2合起来正好

生7：Zl+Z2=180°Z2+Z3=180

是平角，平角是180°,所以Nl+N2=180°。相同的道理，Z2+Z

Zl=180°-Z2,Z3=180°-Z2

3=180°,Z3+Z4=180°Zl+Z4=180°；N1+N2=N2+N3两边都有

Z1=Z3

Z2,利用等式的性质同时减去/2,所以/1=/3。还有一种方法,

Zl=180°-Z2,Z3=180°-Z2,Z1=Z3«这两种方法都能推出

Z1=Z3,你喜欢哪一种就用哪一种。

2.三角形外角等于和它不相邻两个内角的和。

张老师还给同学们带来了一个△ABC,课件出示,延长BC到D

点，请同学们仔细观察一下这个图中，你能不能用推理的方法有理

有据的说一说/1+/2=N4?

（1）请你先独立思考，然后在小组内说给同伴听。教师巡视。

①Zl+Z2+Z3=180°

独立思考

Z3+Z4=180°

小组内说一说

Z1+Z2+Z3=Z3+Z4

生1：Zl+Z2+Z3=180°

Z1+Z2=Z4

Z3+Z4=180°

②Z4=180°-Z3

Z1+Z2+Z3=Z3+Z4

Zl+Z2=180°-Z3

Z1+Z2=Z4

Z1+Z2=Z4

生2：Z4=180°-Z3

（2）谁能借助大屏幕上的图来讲一讲。

Zl+Z2=180°-Z3

学生讲完后，师指着板书：这里有两个180°,有什么不一样

Z1+Z2=Z4

的意义？

生3：它们都用了三角形内角和,

Zl+Z2+Z3=180°（三角形内角和），Z3+Z4=180°（平角）,

平角这两个依据。

它们都有相同的N3,Z1+Z2=Z4（等式的性质）

现在，我们利用这些依据，请同学们再回想一下，刚才，我们

是如何推理出Nl+N2=/4的？

课件再次演示。因为/3和N4组成了一个平角180°,又因为

三角形内角和/1+/2+/3=180°,所以/3+/4=/1+/2+/3,都

有相同的N3,根据等式的性质，两边同时减去N3,Z4=Z1+Z2„

我们再来看一下第②种方法，是怎么说明N4=Nl+/2的呢？

②/4=180°-/3（平角）

Zl+Z2=180°-Z3（三角形内角和）

同学们，请你观察一下这两种方法，你有什么想说的？

正是因为有了这些依据，才是我们的推理过程有理有据。才使

得(板书：Z4=Z1+Z2)/4=/1+/2这个结论更有说服力。

3.三角形外角和是多少度？

同学们的表现真棒，还想做推理的题目吗？

(1)Z4是这个三角形的其中一个外角，在这个图中，你还

可以找到三角形的其它外角吗？/4=/1+/2,那么/5会等于什

Z5=Z2+Z3,

Z6=Z1+Z3,

请你和同位有理有据地说一说。

谁愿意有理有据地说一说？

同样的道理：Z5+Zl=180°,Zl+Z2+Z3=180°

所以/5=/2+N3

(2)同学们，刚才我们有理有据地推理出了三角形一个外角

等于和它不相邻的两个内角的和。那么，请你想一想，猜一猜，三

角形的外角/4+/5+N6会是多少度？

360°是我们的猜想，你能不能有理有据地推理出/4+N5+N6

的确是360°,请你和同位互相说一说。写完后，同位互相说一说。

生猜想:360°

教师巡视，

生小组内说一说：

180°X3-180°=360°

生1：在这个图中一共有3个平角

①Z4=Z1+Z2,

180°X3=540°

Z5=Z2+Z3,

540°-180°=360°

N6=N1+N3,

Z4+Z5+Z6=(Z1+Z2+Z3)X2

生2：Z4=Z1+Z2,

=180°X2

Z5=Z2+Z3,

=360°

Z6=Z1+Z3,

(3)首先看第①种方法，一个简单的算式，你能读懂它的意

思吗？请你指着图说一说。180°X3-180°=360°（外角和）Z4+Z5+Z6=(Z1+Z2+Z3)X2

平角三角形内角和=180°X2

我们再看一下第②种方法，谁愿意借着图来说一说。=360°

Z4=Z1+Z2,Z5=Z2+Z3,N6=N1+N3是哪里来的？

前面推理出来的结论，就成了我们推理外角和360。的依据，

N4=N1+N2,Z5=Z2+Z3,N6=N1+N3,ZK

N2和/3的和分别用了几次？生：前面推理出来的。

所以三角形外角和N4+/5+N6就等于180°X2=360°

四、课堂小结生：2次

同学们，今天我们以研究角为例子，让大家经历了这么多次推

理，想一想，这些结论，我们是怎么推理出来的？

（指着板书）你说的这些都是在大图形中画辅助线，得到小图

形，依据已知信息推出新的结论。

五、课后延伸。（探究四边形外角和是多少度）

（出示课件）我们用不同的方法都有理有据地推理出三角形的

外角和为360。。请你想一想，四边形的外角和会是多少度呢？请

有兴趣的同学们课下进行研究。

课题：推理

1.进行课前测

原来，这样的推理、证明只会在初中作为要求，本节课第一次将推理证明放到小学教材,

是人教版新教材增加的内容。小学阶段怎样把握本节课的要求？我在课前对学生进行了前测,

前测的内容是义务教育教科书人教版六年级下册第六单元整理和复习第四部分数学思考的

例题4o

如图：两条直线相交于。点。你能推出/1=N3,N2=N4吗？

2.对前测的分析

我选择了六年级一班36名学生，让学生想办法证明对顶角相等，并且说明理由，结果

显示：通过说理证明的学生有16人占44%；通过量、折等操作证明的学生有14人占39%,

无从下手的学生有6人占17版大多数学生能够发现对顶角相等。经过学情调研，小学生完

全有能力进行推理证明。教材在二年级、四年级增加了推理的内容，同事其他知识的教学中

也十分重视结论的得出过程。比如运算定律、运算性质的得出，面积、体积公式的推导等,

这些知识的学习已经为本节课的推理积累了丰富的活动经验。但是小学阶段，进行完整的推

理，有一定难度，这是初中的要求。小学阶段，让学生经历过程，让学生从已有的现象、命

题出发提出猜想、作出判断、发现规律、试图证明、获得结论的过程。其次，关注表达，课

程标准对第二学段的学生有这样的要求：“能进行有条理的思考，能比较倾斜的表达自己的

思考过程和结果课件，对于推理能力，我们要求的不仅是内在的，隐性的过程，也要求

将内隐的过程内化，转化成外在的现行的推理表达。

3.确定教学难点

(1)基于以上分析，我确定了本节课的教学难点：①经历根据已知信息利用性质、定

理等证明结论的过程，在交流讨论中学会有理有据地表达，从而发展学生的推理能力。②

尝试利用已经获得的信息，推理出新的结论，体验方法多样性。

(2)小组合作学习中，观察、操作、体验，结合多媒体课件和智慧教室软件的使用，

突破本节课的难点。

课题：推理

1.与前测进行比较

(1)课前测：六年级一班36名学生参加课前测，让学生想办法证明对顶角相等，并且

说明理由，结果：通过说理证明的学生有16人占44版通过量、折等操作证明的学生有14

人占39%,无从下手的学生有6人占17%；大多数学生能够发现对顶角相等。

(2)课后测：上完推理这节课，又对36名学生进行了课后测。第一小题，利用三角形

的内角和是180度作为依据，运用演绎推理的三段论，即：“大图形f小图形4结论”

36人都知道四边形的内角和是360度，能够通过说理证明的有35人占97%,其中有29人(81%)

画出四边形的一条对角线，将四边形分成2个三角形，四边形的内角和等于2个三角形的内

角和，就是180+180=360°,有6人(17%)将四边形分成3个三角形，180X3-180=360°；

只有1人写出了结果，没有说明理由。第二小题，利用平角和四边形内角和作为依据，推理

出四边形外角和是360°的有36人占100%。

2.补救措施

经过分析，我认为课后要采取学生与学生互助的方式，让学生有理有据的说一说四边形

内角和为什么是360。。让学生掌握演绎推理，在比较中体会推理的过程。

课题：推理

回顾本节课，我认为主要体现了以下三个特点：

1.突显核心目标发展推理能力

小学阶段让学生经历推理的过程，让学生从己有的现象，命题出发，提出猜想，作出判

断，发现规律试图验证，获得结论的过程。但是，在小学阶段进行完整的推理，有一定难度，

所以本节课注重让学生“经历观察、猜想、证明等过程，在比较中体会推理过程的严谨性”。

对于推理能力，我们要求的不仅是内在的、隐形的过程，也要求讲美音的思维过程外化，转

化成外在的显性的推理表达，繁琐的证明过程，对小学生而言，要求过高，容易让学生产生

畏惧感，所以我将目标确定为“经历根据已知信息利用性质、定理等证明结论的过程，在交

流讨论中学会有理有据地表达，从而发展学生的推理能力”。不要求学生写出规范的证明过

程。

2.材料组织精致能力逐级递升

以研究“三角形的内角和”为例子，学生将已经证明的结论作为下一个结论的推理依据。

以研究“角”为主线，主题贯穿，承接自然，环环相扣，层层递进，每个材料围绕课时目标,

各自具有不同的功能。

3.任务目标弹性关注学生差异发展

对于数学学思考来说，学生差异更为明显。首先，允许差异的存在。面向全体，关注差

异的矢落，尝试在先，每个推导过程都是让学生先独立思考、尝试，再交流讨论，这样保证

了全体学生的参与率。也允许学生借助至关，口头推理；有的学生会推理，但不严密；有的

学生推理得很精彩，理由充分，逻辑严密，推理方法准确，推理路径流畅，不同的孩子得到

了不同的发展。

由于本节课是人教版新加的内容，并且在苏教版和北师大版教材中都没有这节课内容，

三角形内角和的证明在第三学段（八年级上册）里让学生学会证明。对于小学六年级学生来

说，本节课教学目标的界定以及对于教材的把握等方面存在着很多拿不准的问题，敬请同行

及专家提出宝贵意见。

课题：推理

我对本节课的解读：

1.本节课内容在小徐阶段的地位和作用。

本节课是义务教育教科书人教版六年级下册第六单元整理和复习第四部分数学思考的

例题4。《数学课程标准（2011年版）》指出“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和

生活中经常使用的思维方式。”第二学段的目标：“在参与观察、实验、猜想、验证等活动中，

发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清晰地表达自己的思考过程与结果。”例

题4是一道证明“对顶角相等”的题目，让学生初步感受运用一些“公理”（如等式的性质）

进行一些数学推理。教材呈现一些启发性的问题，引导学生经历并理解推理的过程。

2.本节课的素材分析。

原来，这样的推理、证明只会在初中作为要求，本节课第一次将推理证明放到小学教材，

是人教版新教材增加的内容，苏教版和北师大版教材都没有此内容。我采用验证三角形内角

和是180度为例题例题，练习选取了课本第102的例4、练习中的第10题、验证三角形外

角和。最后拓展四边形外角和课下进行研究。选取素材是为了式教学更具有主题性，环节更

流畅，以研究“角”来贯穿，学生将已经证明的结论作为下一个结论的推理依据。以“角”

的研究为主线，主题贯穿，承接自然，环环相扣，层层递进，每个材料围绕课时目标，各自

具有不同的功能。材料一，用推理的方法验证三角形内角和是180度，渗透演绎推理的三段

论，让学生经历观察、猜想、证明等过程，在比较中体会推理过程的严