四川省遂宁市2021年中考数学试卷试题真题(含答案解析)

四川省遂宁市2021年中考数学试卷

一、单选题(共10题；共20分)

1.-2021的绝对值是()

A.—2021B.2021C.一嘉D.嘉

【答案】B

【考点】绝对值及有理数的绝对值

【解析】【解答】-2021的绝对值是2021；

故答案为：B.

【分析】根据负数的绝对值为其相反数解答即可.

2.下列计算中，正确的是()

A.(a+3)2=a?+9B.a8-i-a4=a2C.2(a—b)=2a—bD.a2+a2=2a2

【答案】D

【考点】同底数累的除法，单项式乘多项式，完全平方公式及运用，合并同类项法则及应用

【解析】【解答】解：A.(a+3)2=a2+6a+9,故答案为：错误；

B.a8a4=a4,故答案为：错误；

C.2(a—b)=2a—2b,故答案为；错误；

D.a2+a2=2a2,故答案为：正确；

故答案为：D.

【分析】利用完全平方公式，可对A作出判断；利用同底数幕相除的法则，可对B作出判断；利用去括号

法则，可对C作出判断；利用合并同类项的法则，可对D作出判断.

3.如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成，其主视图是()

BP

A•由□-0iC库-R1

【答案】D

【考点】简单组合体的三视图

【解析】【解答】解：如图所示的几何体的主视图是

【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形，观察几何体可得答案.

4.国家统计局2021年5月11日公布了第七次全国人口普查结果，全国总人口约14.1亿人，将14.1亿用科

学记数法表示为（）

A.14.1x10sB.1.41x10sC.1.41X109D.O.141X1O10

【答案】C

【考点】科学记数法一表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解：14.1亿=1410000000=1.41X109,

故答案为：C.

【分析】根据科学记数法的表示形式为：axicr,其中k|a|<10,此题是绝对值较大的数，因此时整

数数位

5.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2,则四边形BDEC的面

积为（）

【答案】B

【考点】相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：•.・点D,E分别是边AB,AC的中点,

DE=-BC,DEIIBC,

2

△ADE-△ABC,

.S「ADE_（DE\2_1

-SAABC_W_4，

•SAADE=3,

••SAABC=12,

「•四边形BDEC的面积=12-3=9（cm2）,

故答案为：B.

【分析】利用三角形的中位线定理可证得DE=1BC,DEIIBC,可推出△ADE-&ABC,利用相似三角形的

面积比等于相似比的平方，可求出△ABC的面积.

6.下列说法正确的是（）

A.角平分线上的点到角两边的距离相等

B.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C.在代数式-,2x,—,985,-+2b,=+y中，-,~>-+2b是分式

a7Ta3aita

D.若一组数据2、3、X、1、5的平均数是3,则这组数据的中位数是4

【答案】A

【考点】分式的定义，角平分线的性质，平行四边形的性质，平均数及其计算，中位数

【解析】【解答】解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故答案为：正确；

B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故答案为：错误;

C.在代数式i,2x,985,-+2b,；+y中，-,±+2b是分式，故答案为：错误;

71a3aa

D.若一组数据2^3、X、1、5的平均数是3,则这组数据的中位数是3,故答案为：错误;

故答案为：A.

【分析】利用角平分线的性质，可对A作出判断；利用轴对称图形和中心对称图形的定义，可对B作出判

断；利用分式的定义，可对C作出判断；利用平均数和中位数的求法，可对D作出判断.

2—%>0

.不等式组卜-的解集在数轴上表示正确的是（

7、1三>一J1.

2-

A.

【答案】c

【考点】在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组

2-X>0①

【解析】【解答】解:与2-1②

解不等式①得，x<2

解不等式②得，%>-1

不等式组的解集为一1Wx<2,

在数轴上表示为______。。

故答案为：C.

【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，根据其解集，可得答案.

8.如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3,点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边

【答案】D

【考点】勾股定理，翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：设CE=x,则BE=3-x,

由折叠性质可知，

EF=CE=x,DF=CD=AB=5

在RtADAF中,AD=3,DF=5,

•••AF=V52-32=4，

BF=AB-AF=5-4=1,

在RtZiBEF中，BE2+BF2=EF2

即（3-x产+#=x2,

解得x=|,

故答案为：D.

【分析】设CE=x,可表示出BE,利用折叠的性质，可表示出EF的长及DF的长，利用勾股定理求出AF的

长，可求出BF的长；在Rt^BEF中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.

9.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的O。分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF_LAC,垂足

为点F,若OO的半径为4V3,NCDF=15。，则阴影部分的面积为（）

F

BD'Cv

A.1671-12V3B.167T-24V3C.20兀-128D.207r—24百

【答案】A

【考点】圆周角定理，扇形面积的计算，解直角三角形

【解析】【解答】解：连接AD,连接OE,

B'------DC

AB是直径，

ZADB=9O°,

AD±BC,

ZADB=NADC=90°,

DF±AC,

ZDFC=ZDFA=90°,

ZDAC=ZCDF=15°,

­,•AB=AC,D是BC中点，

ZBAC=2NDAC=2xl5°=30°,

OA=OE,

ZAOE=120°,

过O作OHJLAE于H,

AO=4V3，

OH=AO=2V3,

・•・AH=V30H=6,

・•.AE=2AH=12,

•­s阴影二S扇形AOE-SaAOE=12°”"4折—-x12x2A/3

3602

—167r—12V3.

故答案为：A.

【分析】连接AD,连接OE,利用直径所对的圆周角是直角，可得到NADB=90。，利用等腰三角形的性质

可求出NBAC的度数及NAOE的度数；过。作OHJLAE于H,利用解直角三角形求出。H,AH的长，然后

根据5.=$胤修AOE-SAAOE，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式，可求出阴影部分的面积.

10.已知二次函数y=a/+bx+c（a#0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②/<

4ac；③2c<3b；④a+2b>m（am+b）（m#：1）；⑤若方程\ax2+bx+c\—1有四个根，

则这四个根的和为2,其中正确的结论有（）

【答案】A

【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数与不等式（组）的综

合应用

【解析】【解答】解：①；抛物线开口方向向下，

，a<0,

•••抛物线与y轴交于正半轴，

c>0,

对称轴在y轴右侧，

/.b>0,

abc<0,①错误；

②：抛物线与x轴有两个交点

二b2-4ac>0

b2>4ac,故②错误；

③：抛物线的对称轴为直线x=l,

bv

..--2a-=1,

1.

..a=­b

2

由图象得，当%=-1时，y=a-b+c<0,

-b+c<0

—-2h

••・2c<3b,故③正确；

④当％=1时，y=a+b+c的值最大，

・•・当x=m(mHl)时，a+b+c>am2+bm4-c,

a+b>m(am+b)(mH1),

•・,b>0,

a+2b>m(am+&)(m1),故④正确；

⑤;方程|ax2+bx+c|=l有四个根,

「・方程ax2+bx+c=l有2个根,方程ax2+bx+c=-l有2个根，

・•.所有根之和为2x(-T)=2x千=4,所以⑤错误.

正确的结论是③④，

故答案为：A

【分析】利用抛物线的开口方向，可得到a的取值范围，利用抛物线与y轴交于正半轴，可得到c的取值

范围，利用左同右异，可得到b的取值范围，由此可得到abc的符号，可对①作出判断；利用抛物线与x

轴的交点个数，可得到b2-4ac的符号，可对②作出判断；利用抛物线的对称轴可得到a与b的数量关系，

由图象可知当x=-l时y<0,由此可对③作出判断；利用当x=l时，函数有最大值，可对④作出判断；由

方程|ax2+bx+c|二l有四个根，可知方程ax?+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-l有2个根，利用一元二次方

程根与系数的关系及a=-：b,可对⑤作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.

二、填空题(共5题；共5分)

1L若|Q—2|+VaTT=0,贝ijd=.

【答案】;

【考点】非负数之和为0

【解析】【解答】解：根据题意得，a-2=0,a+b=O,

解得a=2,b=-2,

ab=2-2=-.

4

故答案为：:.

4

【分析】利用几个非负数之和为0,则每一个数都为0,建立关于a,b的方程组，解方程组求出a,b的

值；然后将其代入代数式求值.

12.如图，在△ABC中，AB=5,AC=7,直线DE垂直平分BC,垂足为E,交AC于点D,则△ABD的周长

【考点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】解：1.直线DE垂直平分BC,

DB-DC,

・•.△ABD的周长=+4D+8D=4B+4。+DC=AB+AC=5+7=12,

故答案为：12.

【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得DB=DC,由此可证得AABD的周长就是AB+AC的值.

13.已知关于x,y的二元一次方程组满足％—y>。，则a的取值范围是

【答案】a>l

【考点】解二元一次方程组，解一元一次不等式

2%+3y=5a①

【解析】【解答】解:

x+4y=2a+3②

①-②，得x—y=3a-3

x-y>0

3a—3>0,

解得a>1,

故答案为：a>1.

【分析】利用方程组的特点：两个方程中x,y的系数都相差1,因此由①-②，可求出x-y的值；再根据

x-y>0,建立关于a的不等式，求出不等式的解集.

14.如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第个图形共有210个

小球.

©◎

@@@

@@@@@©@@@©

（第1个图）（第2个图）（第3个图）（第4个图）

【答案】20

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：...第1个图形中黑色三角形的个数1,

第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2,

第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3,

第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4,

・・・第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5+…+n=空产

当共有210个小球时，

竺罗=210,

解得：n=20或一21（不合题意，舍去）,

,第20个图形共有210个小球.

故答案为：20.

【分析】根据图形的排列规律，可知第1个图形中黑色三角形的个数0+L第2个图形中黑色三角形的个

数1+2；第3个图形中黑色三角形的个数1+2+3…由此规律可得到第n个图形中黑色三角形的个数，根据此

规律建立关于n的方程，解方程求出符合题意的n的值.

15.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE,以BE为对角线作正方形BGEF,边EF与正方形

ABCD的对角线BD相交于点H,连结AF,有以下五个结论：①NABF=/DBE;②&ABF八

DBE；（3）AF1BD；④2BG2=BH-BD；⑤若CE-.DE=1:3,贝!]BH-.DH=17:16,你认为其

中正确是（填写序号）

【考点】勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：①I.四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD,BE是对角线,

ZABD=ZFBE=45°,

又ZABF=45°-ZDBF,ZDBE=45。-/DBF,

•1./ABF=/DBE，

选项①正确；

②r四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，

AD=AB,BF=BE,

BD=V2AB,BE=y/2BF,

又「ZABF=NDBE,

△ABFDBE,

选项②正确；

④,•・四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD,BE是对角线,

ZBEH=ZBDE=45°,

又ZEBH=ZDBE,

△EBH-△DBE,

,即

BEBHBE2=BH・BD,

又rBE=V2BG,

2BG2=BHBD,

选项④确；

③由②知：AABFfDBE,

又,•・四边形ABCD为正方形，BD为对角线，

ZBAF=NBDE=45°,

•••AF在正方形另外一条对角线上，

AF_LBD,

③正确，

⑤•：CE-.DE=1:3,

设CE=x,DE=3x,则BC=CD=4x,

BE=y/CE2+BC2=y/x2+(4x)2=V17x,BD=4缶

BE2=BH・BD,

.BE217x217戊

・・BH=——==----X,

BD4缶8

•1.DH=BD-BH=4V2x--x=—x,

88

・•.BH:DH=17:15,

故⑤错误，

综上所述：①②③④正确，

故答案是：①②③④.

【分析】利用正方形的性质可证得NABD=NFBE=45。，由此可知的NABF=NDBE,可对①作出判断；再

证明BD,AB,BE,BF对应成比例，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可证得

△ABF-ADBE,可对②作出判断；利用正方形的性质可对AFLBD,可对③作出判断；利用正方形的性

质可证得NBEH=NBDE=45。，可推出△EBH-△DBE,利用相似三角形的对应边成比例，可对④作出判

断；设CE=x,DE=3x,则BC=CD=4x,利用勾股定理表示出BE,BD的长；再求出BH,DH的长，然后可求

出BH,DH的比值，可对⑤作出判断，综上所述可得到正确结论的序号.

三、解答题(共10题；共110分)

16.计算：(一g)T+tan60"-I2-^3)+(7T—3)°-V12

【答案】解：(-g)T+tan60°—I2-V3I+(TT-3)0-VT2

=_2+8~(2-V3)+1-2V3

=-2+V3-2+V3+l-2V3

=-3

【考点】实数的运算，0指数基的运算性质，负整数指数暴的运算性质，特殊角的三角函数值

【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时突然特殊角的三角函数值和化简绝对值，再去括号，然后合

并同类二次根式即可.

17.先化简，再求值：+^+3)，其中m是己知两边分别为2和3的三角形的第三边长，

m2-4m+4vm-3/

且m是整数.

【答案】解：与二空+(2+^+3)

m2-4m+4vm-3'

m2(m—2)9m2—9

(m—2)2(711—3+m—3

m2m2

m-2m—3

m2m-3

=------------

m—2m2

_m-3

m-2'

Vm是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，

3-2<m<3+2,即l<m<5,

m为整数，

m=2>3、4,

又「m/O、2、3

「・m=4,

.•・原式=言=2.

【考点】利用分式运算化简求值，三角形三边关系

【解析】【分析】先将括号里的分式通分计算，将除法转化为乘法运算，约分化简；再利用三角形的三边

关系定理，确定出使分式有意义的m的值，将其m的值代入代数式进行计算.

18.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,过点。的直线EF与BA、DC的延长线分

别交于点E、F.

（1）求证：AE=CF；

（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由.

【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形

0A=0C,BEIIDF

ZE=ZF

在4AOE和4COF中

/E=/F

｛々OE=/COF

OA=OC

△AOE-△COF（A4S）

AE=CF

（2）解：当EFJ_BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下:

如图：连结BF,DE

AD

V四边形ABCD是平行四边形

OB=OD

△AOE-ACOF

OE=OF

，四边形BFDE是平行四边形

•JEF±BD,

••・四边形BFDE是菱形

【考点】平行四边形的性质，菱形的判定，三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得OA=OC,BEIIDF,利用平行线的性质可得NE=NF；

再利用AAS证明△AOE2△COF,利用全等三角形的性质，可证得结论.

（2）当EFJLBD时，四边形BFDE是菱形，连接BF,DE,平行四边形的性质及全等三角形的性质，可证得

OB=OD,OF=OE,由此可推出四边形BFDE是平行四边形，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可

得结论.

19.我市于2021年5月22-23日在遂宁观音湖举行了"龙舟赛”，吸引了全国各地选手参加.现对某校初中

1000名学生就"比赛规则"的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结

果绘制出以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：

类别频数频率

不了解10m

了解很少160.32

基本了解b

很了解4n

合计1

（1）根据以上信息可知：a=,b=,m=,n=；

（2）补全条形统计图；

（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有人；

（4）“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加全市举办的“龙舟赛"知识竞赛,

请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同.

【答案】（1）50；20；0.2；0.08

（2）解：补全条形统计图如下图：

lilL

不了■了・■少wru

（3）400

（4）解：记4名学生中3名男生分仆人小，一名女生为B,

AiB

A2A3

Ai(AI,A2)(AI,A3)(Ai,B)

A2(A2,Ai)(A2,A3)(A2,B)

(A3,B)

A3(A3,Ai)(A3,A?)

B(B,Ai)(B,A2)(B,A3)

从4人中任取两人的所有机会均等结果共有12种

抽到两名学生均为男生包含：AiAz,A1A3,A2A1,A2A3,A3A1,A3A2,共6种等可能结

果，

・•.P（抽到两名学生均为男生）=4=3

抽到一男一女包含：AIB,A2B,A3B,BAi,BA2,BA3共六种等可能结果

AP（抽到一男一女）=白3

故抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同.

【考点】用样本估计总体，频数(率)分布表，条形统计图，列表法与树状图法

【解析】【解答】解：(1)...16+0.32=50(人)

a=50,

b=50-(10-16-4)=20,

m=104-50=0.2,

n=44-50=0.08,

故答案为：50,20,0.2,0.08；

(3)该校1000名初中学生中“基本了解"的人数约有1000400人，

故答案为：400；

【分析】(1)用了解很少的人数+其频率，可求出a的值；可求出b的值；然后根据频数+总数=频率，可

求出n的值.

(2)利用(1)的计算系吉果补全条形统计图.

(3)用该校学生的人数乘以“基本了解"的频率，列式制•算.

(4)利用己知可知此事件是抽取不放回，列表，可得到所有的可能的结果数及抽到两名学生均为男生和

抽到一男一女的情况数，然后利用概率公式可求解.

20.已知平面直角坐标系中，点P(x0ly0)和直线Ax+By+C=0(其中A,B不全为0),则点P到直线

Ax+By+C=0的距离d可用公式d=来计算.

例如：求点P(l,2)到直线y=2x+l的距离，因为直线y=2x+l可化为2x—y+l=0,其中A=2,B=

-1，C=l,所以点P(1,2)到直线y=2x+l的距离为：d="卷2桨2自=塔咛=*=当

VA+B02+(-1)2V55

根据以上材料，解答下列问题：

(1)求点M(0,3)到直线y=V5x+9的距离；

(2)在(1)的条件下，0M的半径r=4,判断OM与直线y=巡％+9的位置关系，若相交，设其

弦长为n,求n的值；若不相交，说明理由.

【答案】(1)解：,7=V3x+9可变形为V3x—y+9=0,贝U其中A=V5,B=-1,C=9,

,|^X0-3+9|o

d3

由公式可得=J［(，V〜5)2+,(-l)二2=

.•.点M到直线v=V3x+9的距离为3,

(2)解:

由(1)可知：圆心到直线的距离d=3,圆的半径r=4,

"/d<r

•••直线与圆相交，

则弦长n=2xV42-32=25/7>

【考点】勾股定理，垂径定理，直线与圆的位置关系

【解析】【分析】（1）利用已知条件可知A,B,C的值，将A,B,C的值即点M的坐标代入可求出结果.

（2）利用（1）可知d=3,利用直线与圆的位置关系，可得到直线与圆相交，再利用勾股定理求出弦长.

21.某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据

以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元.

（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应

提高多少元？

（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）解：由题意列方程得：（x+40-30）（300-lOx）=3360

解得：Xi=2,X2=18

V要尽可能减少库存，

，X2=18不合题意，故舍去

.•・T恤的销售单价应提高2元；

（2）解：设利润为M元，由题意可得：

M=（x+40-30）（300-lOx）=-10x2+200x+3000=-10（x-10）2+4000

.,.当x=10时，M最大值=4000元

，销售单价：40+10=50元

二•当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元.

【考点】二次函数的实际应用-销售问题

【解析】【分析】（1）利用每一件的利润x销售量=3360,设未知数，列方程求出符合题意的x的值.

（2）设利润为M元，列出M与x之间的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性

质，可求出结果.

22.小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银

杏树，他在A处测得B在北偏西45。方向，C在北偏东30。方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处

测得C在北偏东60。方向.

（1）求NC的度数；

（2）求两颗银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）.

【答案】（1）解：如图示，作BE//AD交BC于点D,

BE//AD且/BED=60°

ZBDA=/BED=60°

ZBDA=4+NCAD月.ZCAD=30°

NC=ZBDA-NCAD=30°

(2)解：过点B作BG_LAD于G.

•・,BG1AD

・•・ZAGB=ZBGD=90°

在Rt^AGB中，AB=20,ZBAG=45"

AG=BG=20xsin450=1072

在Rt△BGD中，ZBDA=60°

BG20>/6

BD=

sin603

BG10V6

DG=-----------=---

tan6003

NC=ZCAD=30°

CD=AD=AG+DG=10V2+—

3

BC=BD+CD=10V2+10V6

答：两颗银杏树B、C之间的距离为(104+10乃)米.

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

【解析】【分析】(1)作BEUAD交BC于点D,利用平行线的性质可求出NBDA的度数，利用三角形的

外角的性质，可求出NC的度数.

(2)过点B作BG_LAD于G,利用解直角三角形求出BG的长；在RtABGD中，利用解直角三角形求出

BD,DG的长，根据CD=AD=AG=DG,可求出CD的长，然后根据BC=BD+CD,代入计算可求解.

23.如图，一次函数yi=kx+b(k-0)与反比例函数y2=7(mx°)的图象交于点A(1,2)和B

(-2,a),与y轴交于点M.

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)在y轴上取一点N,当AAMN的面积为3时，求点N的坐标；

将直线向下平移个单位后得到直线当函数值%>%>时，求的取值范围.

(3)yx2y3,x

【答案】(1)解：•・・丫2=£过点A(1,2),

m=lx2=2,

即反比例函数：丁2=：，

当x=-2时，a——l,即B(—2,—1)

yi=kx+b过A(1,2)和B(-2,-1)

代入得｛/I：),，解得CM，

•t.一次函数解析式为yi=x+l,

(2)解：当x=0时,代入y=x+l中得,y=l,即M(0,1)

•冈x=1

SAAMN="MNI=3,A

・•・MN=6,

・•・N(0,7)或(0,-5),

(3)解：如图，设yz与丫3的图像交于C,D两点

:yi向下平移两个单位得丫3且yi=x+l

・'・V3=x—1,

y=x-1_Y—?

联立得｛y=j，解得｛'rj或｛>;

C(-1,-2),D(2,1),

在A、D两点之间或B、C两点之间时，yi>y2>y3,

-2<x<-l或l<x<2.

【考点】一次函数图象与几何变换，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问

题，三角形的面积

【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出m的值，可得到反比例函数解析式；再求出点B的坐标，然

后将点A,B的坐标代入一次函数解析式，建立关于k,b的方程组，求出方程组的解，可得到一次函数解

析式.

(2)利用一次函数解析式求出点M的坐标，利用AAMN的面积=3,可求出MN的长，由此可求出点N

的坐标.

(3)利用一次函数图象平移的规律可得到平移后的函数解析式，将其函数解析式与反比例函数解析式联

立方程组，解方程组求出点C,D的坐标，在A、D两点之间或B、C两点之间时，yi>y2>y3,可得到

x的取值范围.

24.如图，0。的半径为1,点A是。0的直径BD延长线上的一点，C为00上的一点，AD=CD,ZA=30°.

(1)求证：直线AC是00的切线；

(2)求^ABC的面积；

(3)点E在BWD上运动(不与B、D重合)，过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F.

①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；

②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长.

【答案】(1)证明：连结0C,如图所示.

ZACD=ZA=30".

ZCDB=60°.

•JOD=OC,

・•.ZOCD=ZODC=60°.

・•.ZACO=ZACD+ZOCD=30°+60°=90°.

・•.OC±AC.

・・・直线AC是OO的切线.

(2)解：过点C作CH_LAB于点H,如图所示.

OD=OC,ZODC=60°,

・•.△ODC是等边三角形.

.・.CD=OD=AD=1,DH=OH=-.

2

在Rt△OCH中，

AB=AD+BD=3,

•1•S—Bc=,CW=^x3Xy=乎•

(3)解：①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，如图所示.

此时,CEJLAB,设垂足为K.

由(2)可知，CK=立.

2

.「BD为圆的直径，CE±AB,

・•.CE=2CK=V3.

CF±CE,

ZECF=90°.

/.ZE=ZCDB=60°.

在Rt△EFC中，

,/tan/E*=*,

CF=CE•tan600=V3xV3=3.

②如图所示：

A

由（D可知，在Rt△EFC中，

*.*tan/E=—,

CE

CF=CE-tan60°=V3CE.

当点E在Btl-D上运动时，始终有CF=%CE.

当CE最大时，CF取得最大值.

二当CE为直径，即CE=2时，CF最大，最大值为2遍.

【考点】圆的综合题，圆-动点问题

【解析】【分析】（1）连接0C,利用等边对等角可求出NACD的度数，即可求出NCDB的度数；再求出

ZACO=90°,可得到OC_LAC,利用切线的判定定理可证得结论.

（2）过点C作CH_LAB于点H,利用有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形，可证得△OCD是等边三

角形，可求出CD的长；利用勾股定理求出CH的长，即可求出AB的长；然后利用三角形的面积公式求出

△ABC的面积.

（3）①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，如图所示.此时，CE±AB,设垂足为K.,利用垂径定

理求出CE的长；再利用圆周角定理求出NE的度数，利用解直角三角形求出CF的长；②在R5EFC中，

利用解直角三角形表示出CF的长，当点E在防切上运动时，始终有VICE，由此可知当CE最

大时CF取得最大值，由此可求出CF的最大值.

25.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（-3,0）两点，与y轴交于C（0,-3）,对称轴为直

线x=-1,直线y=-2x+m经过点A,且与y轴交于点D,与抛物线交于点E,与对称轴交于点F.

（1）求抛物线的解析式和m的值;

(2)在y轴上是否存在点P,使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；

若不存在，试说明理由：

(3)直线y=l上有M、N两点(M在N的左侧)，且MN=2,若将线段MN在直线y=l上平移，当它

移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值(结果保留根号).

【答案】(1)解：1.二次函数的图象与x轴交于A和B(—3,0)两点，对称轴为直线x=-l,

A(1,0),

设二次函数解析式为：y=a(x-l)(x+3),把C(0,一3)代入得：-3=a(0R(0+3),解得：a=l,

，二次函数解析式为：y=(x-l)(x+3),BP：y=(x+1)2-4,

直线y=-2x+m经过点A,

0=-2xl+m,解得：m=2；