新教材2020-2021学年高二数学上学期期末复习模拟测试题三

高二期末复习测试题三

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（5分）为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格，现从500件产品中抽出10件

进行检验.先将500件产品编号为000,001,002,499,在随机数表中任选一个数开

始，例如选出第6行第8列的数4开始向右读（为了便于说明，下面摘取了随机数表，附表

1的第6行至第8行），即第一个号码为439,则选出的第5个号码是（）

162277943949544354821737932378

844217533157245506887704744767

630163785916955567199810507175

A.:548B.443C.379D.217

2.（5分）若复数z?在复平面内对应的点关于y轴对称，且4=-l+2i,则复数五的

Z2

共较复数为（）

3434

A.-1B.1C.D.---/

5555

3.（5分）已知向量“,b满足|阖=4,b=（-,—）,向量a,b的夹角为二，则|。+2〃

223

）

A.272B.2瓜C.273D.5

4.（5分）周长为9的三角形三边长a,b,c长度依次相差1,最大内角和最小内角分别

记为a,夕，则cos（a+0=（）

A.AB.在C.-HD.U

16161616

5.（5分）已知一个圆柱的表面积等于侧面积的2,且其轴截面的周长为16,则该圆柱的

2

体积为（）

A.8万B.167rC.27万D.36乃

6.（5分）设[x]表示不大于x的最大整数，若|A8|=1,|AC|=2,[ABAC]=1,则N8AC

的取值范围为（）

A.[-,-）B.[0,-]C.（0,-JD.[-,兀）

32333

7.（5分）我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知半球内有一个方锥,

方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18,则半球

的表面积为（）

A.9兀B.18乃C.27万D.36万

8.（5分）重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门

长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中

粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合.已知拱桥部分长552,〃，两端引桥

各有190机，主桁最高处距离桥面89.5机，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的

是（）

2233

A.y=0.45cos—xB.y=4.5cos—xC.y=0.9cos—xD.y=9cos—x

3322

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得（）分，部分选对的得3分.

9.（5分）下列关于说法中正确的是（）

A.过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行

B.过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直

C.两条异面直线不能垂直于同一个平面

D.空间中与两条异面直线同时平行的平面有无数个

10.(5分)下列关于说法中正确的是()

A.正弦函数在第一象限内是增函数

B.函数y=sin2x的图象纵坐标不变，横坐标沿着x轴向右平移3个单位得到

y=sin2(x-0)的图象

C.已知。=(422),〃=(342),如果。与人的夹角为锐角，则力的取值范围是;或

3

2>0

D.函数y=tan(2x-t)的图象的对称中心的坐标是(幺+工，0)(A:eZ)

448

11.(5分)某同学通过研究函数f(x)=sin1*x+cos'x,得到以下结论，你认为正确的是(

)

A.函数/(x)的最小正周期是工

2

B.函数的最大值是1

C.函数在区间［0,刍上是减函数

2

D.函数的图象关于直线x=工对称

4

12.(5分)空气质量指数AQ/是反映空气质量状况的指数，AQ/指数越小，表明空气质量

越好，如表是空气质量指数与空气质量的对应关系，如图是经整理后的某市2019年2月与

2020年2月的空气质量指数频率分布直方图，下列叙述正确的是()

空气质量指数(4Q/)

优(AQ/,,50)

良(50<@,,100)

轻度污染(100<AQ/,,150)

中度污染(150<AQ/„200)

重度污染(200<AQ/,,300)

严重污染(AQ/>300)

A.该市2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为0.032

B.该市2020年2月份的空气质量整体上优于2019年2月份的空气质量

C.该市2020年2月份空气质量指数的中位数大于2019年2月份空气质量指数的中位数

D.该市2020年2月份空气质量指数的方差小于2019年2月份空气质量指数的方差

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上).

13.(5分)已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调

查，则抽取的高中生人数为

小学

4500人

14.(5分)已知向量。=(4,5),处=(-2,11),则向量。在向量b方向上的投影为.

15.(5分)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的

最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,8两点

间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得8=45机，NADB=135。，

ZBDC=ZDCA=15°,ZACB=120°,则两点的距离为m,A£>两点的距离为

16.(5分)已知tanatan尸=，"，cos(a-p)=n,则cos(a+£)=.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(10分)在①z<0,②z为虚数，③z为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面

问题中.

已知复数：z=(/n2-2m-8)+(m2-4)z.

(1)若,求实数〃z的值；

(2)若复数z-机2(l+i)+8的模为2若，求相的值.

18.(12分)如图，在平行四边形ABC。中，E是BC的中点，且尸在直线0c上，且。尸=rFC,

、21

1己AB=。，AD=b,DE+BF=—a+—b.

32

(1)求■的值；

(2)若|AB|=3,ZDAB=~,且|BF|=百，求|Z)E|.

3

19.(12分)已知三棱柱A8C-A4G(如图所示)，底面ABC为边长为2的正三角形，侧

棱CG，底面ABC,CC,=4,E为4G的中点.

(1)求证：AC"/平面8AE；

(2)若G为A耳的中点，求证：GG，平面AgBA；

(3)求三棱锥A-EBA的体积•

20.(12分)已知向量a=(sinx,cosx-l),b=(g,-1),设/(x)=ab.

(1)求函数f{x}的最小正周期和对称轴方程；

(2)已知a为锐角，0e(0,1),f(a+—)=—,sin(a+0=——>求sin/7的值.

6513

21.(12分)已知AA3C的内角A,8,C的对边分别为Q,方，c,若QQ如CgB

且cpinAsinB=3.

（1）求角C的值;

（2）求的最小值・

22.（12分）某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每

周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：

周跑量[10,15)[15,[20,[25,[30,[35,[40,[45,[50,

20)25)30)35)40)45)50)55)

（kml

周）

人数100120130180220150603010

（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图;

（2）根据以上图表数据，试求样本的中位数（保留一位小数）

（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备

的价格不一样，如表：

周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里

类别休闲跑者核心跑者精英跑者

装备价格（单位：元）250040004500

根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（5分）为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格，现从500件产品中抽出10件

进行检验.先将500件产品编号为000,001,002,499,在随机数表中任选一个数开

始，例如选出第6行第8列的数4开始向右读（为了便于说明，下面摘取了随机数表，附表

1的第6行至第8行），即第一个号码为439,则选出的第5个号码是（）

162277943949544354821737932378

844217533157245506887704744767

630163785916955567199810507175

A.548B.443C.379D.217

【解答】解：选出第6行第8列的数4开始向右读（为了便于说明，下面摘取了随机数表,

附表1的第6行至第8行），

即第一个号码为439,则选出的前4个号码是：439,495,443,217,379,

.•.选出的第5个号码是379.

故选：C.

2.（5分）若复数4，Z2在复平面内对应的点关于），轴对称，且z=-l+2i,则复数五的

共舸复数为（）

3434

A.-1B.1C.D.-一一i

5555

【解答】解：Z1=-l+2i,又复数z，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，

/.z2=14-2/,

z,-l+2z(l-2i)(-l+2z)3+4i34.

则mil—=------=-------------=-----=—I—I，

z21+2，(1+2/)(1-2/)555

则复数2的共帆复数为3一&,

2255

故选：D.

3.(5分)已知向量。，b满足|。|=4,b=(-,—),向量。，b的夹角为红，则|”+2。g

223

)

A.2收B.276C.26D.5

2乃

【解答】解:|止4,闻=l,va,b>=学,

。•力=-2,

|a+2b|=yj（a+2b丫=+4夕6+4〃=716-8+4=2上.

故选：C.

4.（5分）周长为9的三角形三边长。，bfc长度依次相差1,最大内角和最小内角分别

记为B,则cos（a+夕）=（）

A.ABC.-11D.H

16161616

【解答】解：因为周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，

故三边长分别为2,3,4,

设中间边对应的角为A,

4?+2?-3211

则cosA=

2x4x216

故cos(a+尸)=cos(〃-A)=-cosA=

故选：C.

3

5.（5分）已知一个圆柱的表面积等于侧面积的士，且其轴截面的周长为16,则该圆柱的

2

体积为（）

A.8万B.16万C.27万D.36万

【解答】解：设圆柱的底面半径为r,母线长为/,

3,

2冗户+iTtrl=—27VH.[/=4

则nil《2解n得zn1

4r+2/=16〔'=

.,.该圆柱的体积为V=^x22x4=16^-.

故选：B.

6.（5分）设㈤表示不大于x的最大整数，若|A例=1,|AC|=2,[A8AC]=1,则NBAC

的取值范围为（）

A.[-,-）B.[0,-]C.（0,-1D.[-,万）

32333

【解答】解：由题意可知：1„ABAC<2,即L,2COSN8AC<2,

/.—„cosZBACv1,

2

.-.0<ZBAC„y.

故选：C.

7.（5分）我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知半球内有一个方锥,

方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18,则半球

的表面积为（）

A.9万B.187C.27万D.36万

【解答】解：由题意可得方锥的高为球的半径R,且方锥的底面正方形的对角线为球的直

2R

径2R,所以正方形的边长=0R,

所以方锥的体积V=g（夜A）?R=18,解得R=3,

所以半球的表面积为S=-4万店+兀R2=3万R2=27万，

2

故选：c.

8.（5分）重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门

长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中

粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合.已知拱桥部分长552根，两端引桥

各有190〃?，主桁最高处距离桥面895%则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的

是（）

2233

A.y=0.45cos—xB.y=4.5cos—xC.y=0.9cos—xD.y=9cos-x

3322

如图所示；

贝!j/(x)=Acoscox；

甘士,89.5

其中A=------h45，

2

T=552+190+190=932^900,

若按100:1的比例缩小,

贝|JA'=0.45,T'=9,a）=-^——=-,

r93

,2

所以函数y=0.45cos-x.

3

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.（5分）下列关于说法中正确的是（）

A.过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行

B.过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直

C.两条异面直线不能垂直于同一个平面

D.空间中与两条异面直线同时平行的平面有无数个

【解答】解：对应A,假设过平面外一点有不止一个平面和已知平面平行，那么那些平面

都互相平行（平行的传递性），

则这些平面不可能过同一点（平行平面无交点），这违反了条件“过平面外一点”这个条件,

所以假设不成立，故A正确；

对于8,过平面外一点有无数平面与已知平面垂直，故8错误；

对于C,若两条异面直线垂直于同一个平面，则该两条直线平行，与异面矛盾，故C正确；

对于。，过空间任一点，分别作两条异面直线的平行线，这两条相交直线确定一个平面，

这个平面和两条异面直线平行，又空间中的点有无数个，故作出的平面也有无数个，故。正

确.

故选：ACD.

10.（5分）下列关于说法中正确的是（）

A.正弦函数在第一象限内是增函数

B.函数y=sin2x的图象纵坐标不变，横坐标沿着x轴向右平移生个单位得到

3

y=sin2(x-y)的图象

A

C.已知”(九2田，。=(342),如果。与人的夹角为锐角，则2的取值范围是％或

3

2＞0

D.函数y=tan(2x—?)的图象的对称中心的坐标是?,0)(ZcZ)

【解答】解：对于A：由于王和区都为第一象限角，但是sin工〉sin史，故正弦函数在

3636

第一象限上为增函数显然错误，故A错误.

对于8：函数y=sin2x的图象纵坐标不变，横坐标沿着x轴向右平移？个单位得到

y=sin2(x_y)=sin(2x-^-)的图象，故8正确.

对于C：己知”(422),/?=(32,2),如果。与b的夹角为锐角，所以3万+4丸＞0,解得

A1

或义＞0且4#上，故C错误.

33

对于。：令2x-2=3，解得x=a+X/eZ),故图象的对称中心的坐标是(包+工，

424848

0)(/wZ),故。正确.

故选：BD.

11.(5分)某同学通过研究函数/(x)=sin4x+cos4x,得到以下结论，你认为正确的是(

)

A.函数/(x)的最小正周期是三

2

B.函数的最大值是1

c.函数在区间［0,2］上是减函数

2

D.函数的图象关于直线x=工对称

4

【解答】解：

々、.44/.22、2c「91sir^lx[cos4x-l3+cos4x

j(X)=sinx+cosx=(sin-J;+COS-X)-2sin-xcos-x=l-------=1+-------=--------

，对于A,函数/(x)的最小正周期是7=二=石，故正确；

42

对于8,由于cos4xe[-l,1],可得/(x)=3+：4、wg,”，故正确；

对于C,令2版啜4x2k兀+7i,keZ,解得以领卜―+―,keZ,可得f(x)的单调递减

224

区间为：[红，—+keZ,故错误；

224

对于。，由于应)=三詈=g=/(x)加“，故正确•

故选：ABD.

12.(5分)空气质量指数A。/是反映空气质量状况的指数，4。/指数越小，表明空气质量

越好，如表是空气质量指数与空气质量的对应关系，如图是经整理后的某市2019年2月与

2020年2月的空气质量指数频率分布直方图，下列叙述正确的是()

空气质量指数(AQ)

优（AQ/,,50）

良(50<AQ/,,100)

轻度污染(100<AQ/,,150)

中度污染(150200)

重度污染(200<A。/,,300)

严重污染(A。/>300)

A.该市2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为0.032

B.该市2020年2月份的空气质量整体上优于2019年2月份的空气质量

C.该市2020年2月份空气质量指数的中位数大于2019年2月份空气质量指数的中位数

D.该市2020年2月份空气质量指数的方差小于2019年2月份空气质量指数的方差

【解答】解：2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为(0.013+0.019)x25=0.8,故A

错误；

2020年2月份空气质量平均值为

1x2x512+0卜3

2019年2月份空气质量平均值为

1x2x502+64<3x55+

该市2020年2月份的空气质量整体上优于2019年2月份的空气质量，故B正确：

2020年2月份，空气质量指数的中位数为：25+竺二处必生x25。34.21,

0.019x25

2019年2月份，空气质量指数的中位数为：50+0-5~(0001+0012)x25x25«60.29,

0.017x25

该市2020年2月份空气质量指数的中位数小于2019年2月份空气质量指数的中位数，故

C错误；

对于。，由整理后的某市2019年2月与2020年2月的空气质量指数频率分布直方图，得

到:

该市2020年2月份空气质量指数的方差小于2019年2月份空气质量指数的方差，故。正

确.

故选：BD.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共2（）分.把答案填在题中横线上）.

13.（5分）已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调

查，则抽取的高中生人数为40

【解答】解：某地区中小学生人数如图所示,

用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查,

2000

则抽取的高中生人数为:200x=40.

2500+2000+4500

故答案为：40

14.(5分)已知向量。=(4,5),a—20=(—2,11),则向量。在向量6方向上的投影为

_>/2

2-,

【解答]解：b=—[a—(a—2Z?)]=—(6,-6)=(3,—3)>

22

a8=12-15=-3,闻=3板,

,。在方方向上的投影为：*=?=-变.

\b\3V22

故答案为：■

2

15.（5分）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的

最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,8两点

间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得8=45〃？，乙4。8=135。，

ZBDC=ZDCA=15°,4cB=120。，则BO两点的距离为_45上—机，A£＞两点的距离

为tn.

【解答】解：ABCD中，ZBDC=15°,ZBCD=135°,/.ZDBC=30°,

由正弦定理：一圾一=—9一，

sinZBCDsinNDBC

45x变

所以叨=C/"sin/8C/)=—=45夜,

sinZDBCJ

2

ZDAC=180°-ZADB-4BDC-ZDCA=180°-135°-15°-15°=15°,

Z.DAC=ZDCA,

AD=DC=45,

故答案为：45夜；45.

16.(5分)已知tanatan/?=cos(a-]3)=n,则cos(a+/?)=_—~~—

14-77?

【解答】解：tancrtan/?=/w,

sinasinB

------------=m,即sinasinp=mcosacosp,

cosacos夕

cos(a-/3)=n,

cos(cr-/3)=cosacosj3+sinasinf3=n,得cosacos/7+mcosacosQ=n,

得cos2cos/?=――，sincusin/3-

\-\-m1+m

nmnn(\—in)

则cos(cr+〃)=cosacos/?-sinasin[i=

\+m1+加1+m

故答案是：曲3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（10分）在①z<0,②z为虚数，③z为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面

问题中.

已知复数：z=(m2-2/n-8)+(/n2-4)/.

（1）若,求实数机的值;

（2）若复数2-〃?2（1+。+8的模为26,求小的值.

【解答】解：⑴选择①z<0,则卜解得机=2.

团2-4=0

选择②z为虚数，则M-400,解得加工±2.

选择③z为纯虚数，则/-2m-8=0,加二dwo,解得相=4.

(2)z=(M—2m—8)+(病—4*可知复数

z-7722(31+/)+8=(m2-2m-8)+(/??2-4)z-m2(l+z)4-8=-2/n-4z,

依题意&-24)2+16=2石，

解得m=±1,

此时加=±1.

18.(12分)如图,在平行四边形48C。中，E是8c的中点，且E在直线QC上，且£>/=小。，

、21

I己AB=〃，AD=b,DE+BF=—a+-b.

32

(1)求，的值；

(2)若|A8|=3,ZDAB=-f且|8尸|=百，求|。£|.

3

【解答】解：(1)E是8c的中点，

DE=DC+CE=a—b,

2

DE+BF=-a+-b，

32

2111

,BF=(-a+—b)-(a——b)=b——a，

3223

又DF=tFC,

CF=—CD=--—a,

z+1r+1

BF=BC+CF=b--—a,

r+1

解得r=2.

t+\3

(2)|AB|=3,DF=2FC,

"CF\=\,

在ABC尸中，ZDCB=ZDAB=-,|8F|=百，

3

由余弦定理知，|BF『=|CF『+13CT-21CF11BC|cosZDCB,

.­.3=1+|BC|2-2xlx|BC|cosy,BP|BC|2-|BC|-2=0.

解得|BC|=2或—1(舍负)，

DE=DC+CE=a--b,

2

|DE『=DE2=(a-•-b)2=a2-ab+—b2=32-3x2xcos—+—x22=7,

2434

：\DE\=y/7.

19.(12分)已知三棱柱ABC-(如图所示)，底面ABC为边长为2的正三角形，侧

棱CG，底面ABC,CC}=4,E为qG的中点.

(1)求证：AC；//平面A4,E；

(2)若G为的中点，求证：CQ_L平面4片区4；

(3)求三棱锥A-ERA,的体积.

【解答】解：(1)证明：连接AA，做=。

因为直棱柱，则为矩形，则。为4月的中点

ACX//OE

连接。E,在△ABC中，0E为中位线，则ACJ/OEAGu平面48£"=>46//平面48£

。吐平面4的

(2)证明：连接GG,CC；_L底面_L底面4与0

C]Gu底面AB©=>C[GJ-①

G为正△AB©边A4的中点=>C|G_LA4②

由①②及A4BBl=耳=>GG_L平面ABlBA.

(3)解：因为匕_9£=瞑-皿，

S皿=gA8xM=4,

取GB】的中点/，连接£F,则EFI/C\GnEFL平面\BXBA,即斯为高，

口口_小_v_1Q尸4sz百_26

£/一^-匕-43E-^E-ABA,一ISA8A乂石/一§乂4X^--一^―

20.(12分)已知向量a=(sinx,cosx-l),》=(J5,-1),设f(x)=a).

(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；

(2)已知。为锐角，。6(0,4),/(</+—)=—,sin(a+0=—―»求sin/的值.

6513

【解答】解：=(sinx,cosx-l),b=(6,-1),

/(x)=aZ?=V3sinx-cosx+l=2sin(x--)4-1.

6

(1)最小正周期丁=至=2万；

1

x--=—+k7T,keZ,则工=空+攵4，kwZ,

623

故函数f（x）的对称轴方程为X=至+AT,keZ.

(2)由题意知，/(a+^)=2sin(a+--^)+l=y,

3

sincr=—

5

a为锐角即ae(0,工)，；.cosa=，l-sin2a=—

25

3万

又尸£(0,乃)，.\a+y0e(O,—).

534

sin(a+/?)=--,:.a+/3e(^,—),

f