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圆的基础学习教案一

姓名分数家长评价

在一次上时间管理的课匕教授在桌子上放了一个装水的罐子。然彳爰又从桌子下面拿

出一些正好可以从罐口放进罐子里的鹅卵石。当教授把石块放完后问他的学生道：“你们

说这罐子是不是满的？”

“是。”所有的学生异口同声地回答说。“真的吗？”教授笑着问。然后再从桌底下拿

出一袋碎石子，把碎石子从罐口倒下去，摇一摇，再加一些，再问学生：“你们说，这罐

子现在是不是满的？”这回他的学生不敢回答得太快。最后班上有位学生怯生生地细声回

答道：“也许没满。”

“很好！”教授说完后，又从桌下拿出一袋沙子，慢慢的倒进罐子里。倒完后，于是再

问班上的学生：“现在你们再告诉我，这个罐子是满的呢？还是没满？”

“没有满。”全班同学这下学乖了，大家很有信心地回答说。“好极了！”教授再一次

称赞这些“孺子可教也”的学生们。称赞完了后，教授从桌底下拿出一大瓶水，把水倒在

看起来已经被鹅卵石、小碎石、沙子填满了的罐子。当这些事都做完之后，教授正色问他

班上的同学：“我们从上面这些事情得到什麽重要的功课？”

班上一阵沈默，然彳笈一位自以为聪明的学生回答说：“无论我们的工作多忙，行程排得

多满，如果要逼一下的话，还是可以多做些事的。”这位学生回答完接心中很得意地想：

“这门课到底讲的是时间管理啊！”

教授听到这样的回答接，点了点头，微笑道：“答案不错，但并不是我要告诉你们的重

要信息。”说到这里，这位教授故意顿住，用眼睛向全班同学扫了一遍说：“我想告诉各

位最重要的信息是，如果你不先将大的鹅卵石放进罐子里去，你也许以接永远没机会把它

们再放进去了。”

感悟：____________________________________________________________

第一节圆的概念

1.圆的定义:.

圆心:,半径:.

2.圆的面积公式：。圆的周长公式：

3.圆的记号：以点0为圆心的圆,记作"",读作

4.点与圆的位置关系

1、点在圆内n_____=>点C在圆内；

2、点在圆上=>_____n点8在圆上;

3、点在圆外n____=点A在圆外

5.在平面上，经过给定两点的圆有个。这些圆

的圆心一定在连接这两点的线段的上。

6.定理：的三点确定一个圆。

7.圆的内接多边形概念，多边形的外接圆概念。

同步练习

1.在KfAABC中，/C=90。，AC=3,BC=4,以A为圆心、R为半径画。A,使点C在

0A的内部、点B在。A的外部，那么半径R应满足的条件是。

2.在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,以A为圆心画圆，若B,C,D三点中至少有一一个在

圆内，且至少有一个在圆外，则。A的半径r的取值范围是o

3.经过一点作圆可以作个圆；经过两点作圆可以作个圆，这些圆的圆心在这两

点的±；经过不在同一直线上的三点可以作个圆，并且只能

作个圆。

4.已知AB=7cm,则过点A,B,且半径为3cm的圆有（）

A.0个B.1个C.2个D.无数个

5.下列命题正确的是（）

A.三点确定一个圆B.圆有且只有一个内接三角形

C.三角形的外心是三角形三个角的平分线的交点

D.三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点

6.下列命题中，错误的个数为（）

1平行四边形必有外接圆

2等腰三角形的外心一定在底边上的中线上；

3等边三角形的外心也是三角形的三条中线、高、角平分线的交点；

4直角三角形的外心是斜边的中点。

A.0个B.1个C.2个D.3个

7.在四边形ABCD中，NA=/C=90。，那么四边形ABCD有外接圆（填“一定”或

“不一定”）

8.如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积

为16cm2,则该半圆的半径为。

9.如图，甲顺着大半圆从A地到B地，乙顺着两个小半圆从A地到B

地，设甲乙走过的路径分别为a、b,则（）

A.a=bB.a<bC.a>bD.不能确定

10.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到

与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）

A.第①块B.第②块

C.第③块D.第④块

11.已知：如图，在。0中，A、B是线段CD于圆的两个交点，且,一

AC=BD,f

求证：aocD为等腰三角形。I°

12.已知△ABC,ZC=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心作。C,半径为r,

1）当r取什么值时，点A,B在。C外；

2）当r取什么值时，点A在。C内，点B在。C外；

②《①

第二节圆心角，弧，弦心距之间的关系

1.弦：o如图O

直径是经过的弦，是圆中的弦。如图一

2.弧：,简称弧./'

半圆弧：；优弧：；X.\?

劣弧：;圆心角：。、一艾

如图：优弧A8C记作,半圆弧BC记作半圆BC,劣弧AC记作。

3.弦心距：：______________。...

4.同心圆：圆心相同，半径_______的两圆。（（r

5.等圆：能够重合的两个圆。等圆的半径_______=（）

6.等弧：。'—/

7.旋转对称图形：。

8.扇形的面积公式：。弧长的计算公式：

9.四等定理：一一一。

同步练习

1.下列说法正确的是___________________

①直径不是弦，弦不是直径②半径是弦③过圆心的线段是直径

④长度相等的两条弧是等弧⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆

⑥周长相等的圆是等圆⑦经过点P的半径为3cm的圆只有一个

2.下列说法错误的有。

（1）半径相等的两个半圆是等弧（2）面积相等的圆是等圆（3）经过P点的圆有无数

个（4）优弧一定比劣弧长（5）圆的任意一条弦将圆分成优弧和劣弧两部分

（6）过圆心的直线是直径（7）半圆是最长的弧（8）弧AB的长度大于弦AB的长

度

3.下列说法中，正确的是（）

（A）如果圆心角相等，那么圆心角所对的弧和弦也相等

（B）如果两条弧的长度相等，那么这两条弧是等弧

（C）如果两条弧所对的圆心角相等，那么这两条弧是等弧

（D）在同圆或等圆中，弦相等所对的弧也相等

4.在两个圆中，如果有两条弦相等，那么这两条弦的弦心距的关系是（）

（A）一定相等（B）一定不相等（C）不一定相等（D）一定互相平行

5.在。0,如果@=2a,那么弦A8与弦C0之间的长度关系是（）

（A）弦A8等于弦CO的2倍（B）弦A8大于弦CD的2倍

（C）弦A8小于弦CO的2倍（D）弦AB和弦的关系不定

6.过。0内一点M最长的弦为10cm,最短的弦长为8cm,则0M=。

7.已知点P到。O最大距离是8,最小距离是2,那么。O的半径长为。

8.在。O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm,最短的弦长为4cm,则OP=

9.在。O中，弦AB、CD相交于点P,OM1CD,ON1AB,M、N是垂足，联结MN.如

果AD弧等于BCM,

求证：APNIN是等腰三角形A，

10.如图，。01和。。2是等圆，P是01。2的中点，过点P作直线AD交。01于A、B,交

于C、D,

求证：AB=CD

11.如图，AB是。。的直径，弦CDLAB与点E,点P在。O上，Z1=ZC,

（1）求证：CB〃PD；

3

（2）若BC=3,sinZP=-,求。O的直径.

第三节垂径定理

1、圆的对称性（1圆是轴对称图形，直径所在的直线\\

是圆的对称轴；2圆既是是旋转对称图形又是中心图形）

注：对称轴是直线

2、垂径定理（垂直于弦的直径平行这条弦，并且平分弦所对的弧）

总结：垂径定理及其推论是指一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”③“平分另

一条弦”④“平分另一条弦所对的劣弧”⑤“平分这另一条弦所对的优弧”的五个条

件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论

注：当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制

同步练习

1.下列判断中，正确的是（）

（A）垂直于弦的直线必平分这条弦（B）平分弦的直径必垂直于这条弦

（C）一个圆的圆心必在一条弦的垂直平分线上（D）垂直平分一条弦的线段必是直

径

2.下列说法中，错误的是（）

（A）圆的半径垂直于弦，必平分这条弦所对的弧

（B）。。的半径OA,CD是过OA的中点的弦，则CD_LOA

（C）（30的半径OC平分圆心角NAOB,贝IJOCLAB

（D）的直径AB平分弦CD所对的弧⑸，则AB,CD

3.如图，©0的直径ABf2,CD是。0的弦，CD±AB,垂足为P,且BP：AP=1:5,则

CD的长为().

A.4V2B.8>/2C.2V5D.4V5

4.如图，已知半径0D与弦AB互相垂直,垂足为点C,若

AB=8cm,CD=3cm,则圆0的半径为()

A.25cmB.5cmC.4cm

6

5.已知圆内接4ABC中，AB=AC,圆心O至BC的距离为3cm,半径r=7cm,则腰长

AB为o

6.00的半径OA=1,弦AB、AC的长分别是五，后，则NBAC的度数为。

7.在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm,另一条弦长为6cm,

则这两条弦之间的距离为。

8.在中，CD是直径，AB是弦，AB_LCD于点M,CD=15cm,OM：0C=3：5,

11.一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求：

⑴桥拱半径⑵若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米，求水面涨高了多少?

12.如图，。。的直径AB与弦CD垂直，且NBAC=40。，贝Ij/BOD=

第四节直线与圆的位置关系

知识梳理

1、直线和圆的位置关系有、、。

2、圆心0到直线1的距离d与半径r的大小和直线1与圆0的位置关系：

（1）直线和圆____________________________

（2）直线和圆____________________________

（3）直线和圆___________________________

3、直线和圆有（即直线和圆）时。这条直线叫

做圆的切线。这个叫做切点。圆的切线过切点的直径

4、圆的切线常用判定方法

（1）圆心到直线的距离等于，这条直线是圆的切线。

（2）经过直径的,并且的直线是圆的切线。

（3）和三角形各边的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的

心，它是三角形的交点，它到三边的距离。

同步练习

1.已知。。的半径为10cm,如果一条直线和圆心0的距离为10cm,那么这条直

线和这个圆的位置关系为（）

A.相离B.相切C.相交D.相交或相离

2.如右图，A、B是。0上的两点，AC是。。的切线，

ZB=70°,则NBAC等于（）

A.70°B.35°C.20°D.10°

3.如图，PA切。。于A,PB切。0于B,0P交。0于C,

下列结论中，错误的是（）

H

A.Z1=Z2B.PA=PBC.AB±OPD.PA2=PC•PO

4.如图，已知。0的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC

与AB的延长线交于P,PC=5,则。0的半径为()

573

B.C.10D.5

A・孚6

5.A、B、C是。0上三点,的度数是50°,N0BC=40°，则N0AC等于

()

A.15°B.25°C.30°I).40°

C

O

6.圆0的半径为1,点P到圆心0的距离为2,过点P引圆0的切线,

那么切线长是.

11.在南部沿海某气象站A测得•热带风暴从A的南偏东30°的方向迎着气象站袭来,

已知该风暴速度为每小时20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，若该风暴不

改变速度与方向，问气象站正南方60千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响？

若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间.

第五节圆与圆的位置关系

d>+r

外国（图1）=>无交点=>

d+r

外切（图2）n有一个交点=>-

R-<dr<+r

相交（图3）n有两个交点n-

d=r

内切（图4）n有一，个交点n-

d<r

内含（图5）=>无交点=>

如果两圆外切，连心

线，如果两圆相交，连心线

同步练习

1.三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘米，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两

两外切，则此三个圆的半径分别为.

2.以平面直角坐标系中的两点0,（0,3）和02（4,0）为圆心，以8和3为半径的两圆

的位置关系是（）

A.内切B.外切C.相离D.相交

3.已知。0“的半径分别为6和3,0-02的坐标分别是（5,0）和（0,6）,则两

圆的位置关系是（）

A.相交B.外切C.内切D.外离

4.R、r是两圆的半径（R>r）,d是两圆的圆心距,若方程X2—2Rx+r2=d(2r—d)有等

根，则以R、r为半径的两圆的位置关系是（）

A.外切B.内切C.外离D.相交

5.已知半径分别为r和2r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是（）

A.0<d<3rB.r<d<3rC.r<d<2rD.rWdW3r

6.半径分别为1cm和2cm的两圆外切，那么与这两个圆都相切且半径为3cm的圆的个数

是（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

7.已知圆O|、圆O2的半径不相等，圆的半径长为3,若圆。2上的点A满足AO1=3,

则

圆01与圆。2的位置关系是()

A.相交或相切B.相切或相离C.相交或内含D.相切或内含

8.如果两个圆的一条外公切线长等于5,另一条外公切线长等于2。+3,那么。=.

9.两圆的半径分别是方程X2-12X+27=0的两个根，圆心距为9,则两圆的位置关系一定

是.

10.已知两圆半径的比为3：5,当两圆内切时，圆心距为4cm,那么当此两圆外切时，圆

心距应为.

11.平面上两圆的位置关系可以归纳为三类，即、和.

12.已知两圆直径为3+r,3-r,若它们圆心距为r,则两圆的位置关系是.

13.矩形ABCD中，AB=5,BC=12。如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C

内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是。

14.已知和。相内切，且。Ch的半径6,两圆的圆心距为3,则。的半径

为.

15.两圆的半径之比是5：3,外切时圆心距是32,那么当这两个圆内切时，圆心距

为.

16.在直角坐标系中，分别以点A(0,3)与点B(4,0)为圆心，以8与3为半径作。A

和。B,则这两个圆的位置关系为.

17.已知图中各圆两两相切，。0的半径为2R,。0卜的半径为R,求。的半径.

18.在aABC中，ZBAC=90°,AB=AC=2日圆A的半径为1,如图所示，若点0

在BC边上运动(与点B、C不重合)，设BO=x,4AOC的面积为y。

(1)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

(2)以点0为圆心，B0长为半径作圆0,求当圆0与圆A相切时，△AOC的面积。

BO

以练代讲

姓名分数

■,选择题：（本题共24分，每小题4分，每道题只有一个正确答案）

1.已知AB是。。的直径，半径EOLAB于0,弦CDLE0于F点，若NCDB=120°,则

CD的度数为()

A.10°B.15°C.30°D.60°

2.如图，已知。0中，M是弦CD的中点，N为弦AB的中点，并且AC、BD的度数为

130°、90°,则NM0N的度数为（）

A.70°B.90°C.130°D.160°

3.已知AABC中,a、b、c是/A、ZB,/C的对边，若r是内切圆半径,则aABC的面

积可以表示为（）

；(a+b+c)r

—(a+b+c)r

B.2、)

C(a+b+c)rD2(a+b+c)r

4.已知两圆的半径分别为R、r,且圆心距为d,若区,+矛-产=2Rd,则这两圆的

位置关系为（）

A.外离或外切B.相交或内切

C.外切或内切D.内切或内含

1<—<V2

5.己知正多边形的边长为a与外接圆半径R之间满足R,则这个多边形是

（）

A.正三边形B.正四边形C.正五边形D.正六边形

6.已知正方形ABCD边长为5,剪去四个角后成正八边形，则正八边形的边长为

（）

A.会

|(行-1)5(V2-1)

B.D

填空题：（本题共16分，每小题4分）

7.已知△ABC,/C=90°,/B=28°,以C为圆心，以CA为半径的圆交AB于D,则

AD的度数为

8.已知4ABC内接于。0,F、E是AB的三分之一点，若NAFE=130°,则NC=

____________度。

9.已知PA切。0于A,ZAP0=30°,若PA=12ji,0P交于。0于C,则PC=

10.两圆半径之比为2：1,大圆内接正六边形与小圆外切正六边形的面积比为

三.求解下列各题：（本题共18分，每小题6分）

11.已知AB是。0的直径，弦CD1AB于E,若弦CD把。0分为2：1的两部分，且

CD=4V3,求。。的直径及AE长。

12.已知等边△ABC内接于。0,E是BC上一点，AE交BC于1）,若BD：DC=2：1,且

AB=6,求DE长。

13.如图所示，AB是。0的弦，EF切。。于B,ACLEF于C。

求证：AB2=2AC•AO

四.解答题：（本题共24分，每小题8分）

14.如图所示，AB切。。于B,AE过0点交。0于E、C,过C作。0切线交AB于D,若

AD=2BD。

求证：AE=V3AB

A

15.如图所示，ZXABC中，NA=90°,0是BC上一点，以0为圆心的圆切AB、AC于

D、E,若AB=3,AC=4,求阴影部分的面积。

A

E

BF0GC

16.如图所示，OO与©O'交于A、B,过A点任意作两圆的割线CAD,若连结CB、DB,

问因割线CAD的位置不确定，ZCBD的大小是否改变？

五.解答题：（本题共18分，每小题9分）

17.如图所示，PA切。0于A,P0交。0于B、C,若AC=CE,AE交BC于D,且

ZBEA=30°,DB=1,求AP及PB长。

18.已知一块直径为30cm的圆形铁板，已经截去直径分别为20cm,10cm的圆形铁板各

•块。现在剩余的铁板中再截出两块同样大小的圆形，问这两个圆形的最大半径是多少？

［参考答案］

一.选择题。

1.D

2.D

3.B

提示：设aABC的内切圆的圆心为0

连结0A、OB、0C,则aABC可分割成三个三角形：△ABO,ABCO,AAC0

则SAABC=SAAB。+SABCO+SAACO

11,1

=—a-r+—b-r+—c-r

222

=g(a+b+c)r

应选B

4.C

提示：依题意，有：R2-2Rd+d2-r2=0

（R-d）2-r2=0

（R-d+r）（R-d-r）=0

所以，R—d+r=0或R—d—r=0

即R+r=d,或R—r=d

两圆内切或外切

5.C

提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有R<a<JlR

因为a6=R，a4=V2R,所以a6<a<a4

则a6<as<a4，是正五边形，应选C。

6.D

提示：如图所示，所截的四个角是全等的等腰三角形，且GE=EF=FH

AE=DF=—x

设EF=x,则根据勾股定理，2

则有AD=AE+EF+FD

x+2•——x=5

即2

*=高=")

应选D

二.填空题。

7.56°

8.75°或105°

提示：如图所示:

c

,：ZAFE=130°,二ABE的度数为260。

则AE的度数为360°-260°=100°

：F、E是AFB的三分之一点

c

・・.AF=FE=EB

z^\

・•.AF=FE=EB=50°

mc

ZC=AFB=150°或NC=105°

9.12

10.3：1

如图所示，设大圆与小圆的半径为2r和r

2V3

则大圆内接正六边形的边长为2r,小圆外切正六边形的边长为3

因为这两个正六边形相似，所以面积比等于边长比的平方

2r

三.求解下列各题：

11.解：如图，分两种情况：(1)点E在0A上；(2)点E在0B上

C___C

(1)•.•直径AB，弦CD于E,CD=46

.•.根据垂径定理，有：CE=ED=273

A、B分别为CAD和CBD的中点

•••CD把。0分成2：1两部分

，CD的度数为120°,CBD的度数为240。

ZB^-AC=60°x-=30°

连结BC,则22

在RtABCE中，BE=cot30°CE=g-2g=6

VCE2=AE-EB

AB=AE+EB=8

(2)当点E在0B上时，AE=6

直径为8,AE=6或2

12.解法一：如图(1),•.'△ABC是等边三角形，AB=6

图⑴

；.BC=AB=AC=6,ZB=ZACB=60°

VBD：DC=2：1

・・・BD=4,CD=2

/.AD•DE=BD-CD=8

连结CE,VZB=ZE=60°

AZACB=ZE

VZCAD是公共角

AAACD^AAEC

・•.AC2=AD•AE=36=AD（AD+DE）=AD2+ADDE

/.AD2=28,AD=2V7

BDCD8477

AD2777

解法二：如图（2）,过A作AGJ_BC于G

图（2）

「△ABC是等边三角形，BC=6

.\CG=GB=3

由解法一得：CD=2,BD=4

Z.DG=1

在RtAAGB中，AG=A/AB2-BG2=V62-32=373

AD=VAG2+DG2=J（3可+『=2A/7

在RtAADG中,

根据相交弦定理，有:

DE-AD=CD•BD

：DE=里当=写=些

AD2V77

13.证明一：延长AD交。。于D,连结BD,如图（1）

F

B

c

图（1）

TAD是直径，AZABD=90°,2A0=AD

・・・EF切。。于B

/.Z1=ZD

・・・AC_LEF于C

・・・NC=NABD=90°

AAABC^AADB

ACAB

,AB-AD

即AB2=AC•AD=2AC-AO

证明二：延长AC至M,使CM=AC,连结BM、OB

图(2)

VBC±AC,AC=CM

・・・MB=AB

・・・NM=N2

V0A=0B

・・・N3=N4

•・・EF切。0于B

AOBIEF

AACOB

.・.N2=N3

/.Z2=Z3=Z4=ZM

...,/MBA=ZBOA

OBOA

AMBA~ABOA

,,AB--A--M--

.AO-AB

/.AB2=AM-AO=2AC-AO

四.解答题。

14.