微13 导数解答题之双变量问题（解析版）-2023年新高考数学二轮复习微提分

微专题13导数解答题之双变量问题

【秒杀总结】

1、破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含

单参数的不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果；

四是主元法.

【典型例题】

例1.(2023•上海•高三专题练习)已知函数〃x)=J+x2-2x-l(x>0),g(x)=(lnr)2,其中

e为自然对数的底数，约为2.71828.

⑴求函数“X)的极小值；

⑵若实数加，，满足机且/(〃2)=g(〃)Ne-2,证明：mn>1.

f(尤)=---—+2x-2=(x-l)—+2

【解析】(1)由题意可知，*N<

令制x)=O,则解得x=l,

当x>l时，

当0<x<l时，照x)<0,

所以f(x)在(0,1)上递减，在。,口)上递增.

所以当x=l时，函数/(x)取得极小值为〃1)=2+12_2xl-l=e-2.

(2)若则显然成立；

若0cm<1,令工=”,€(0,1),因为g(〃)=g(〃').

n

当x>l时，g(x)单调递增；当Ovxvl时，g(x)单调递减；

g(x)=不

A

令/z(x)=f=-e---vx1-2x-l-(lnx)2(O<x<1),

,、_i7_i7

则"(x)=—r—ex+2x-2——lnx<—r—(x+l)+2x-2——\nx

——-+2x2-2x-21nxj.

r2_］

令刈不卜2----+2x2-2x-2\nx,

.1.,/x.i124x3—x2—2x4-1

则m=4x-l+-y--=-------2-------

令机(x)=4d—x2-2x4-1,则rrl(x)=12x2—2x-2=2(2x—l)(3x+l),

所以,77(X)2〃(；)=；_；=；>(),即^(x)>0,

所以z(x)在0<xVl时递增，从而Mx)4⑴=°，即〃(x)40,

所以Mx)在0<xWl时递减，所以Mx)N〃(l)=e-2>0,

从而〃x)>g(x)，

所以y(m)=g(")</(〃),

所以，">1,即"7〃>1.

n

例2.(2023•上海♦高三专题练习)已知函数“到二以2-x-lnx(aeH).

⑴当4=2时，求函数“X)在点。，/⑴)处的切线方程；

⑵当xe［l,2］,求函数/(X)的最大值；

(3)若函数/(x)在定义域内有两个不相等的零点占,2，证明：〃%+%)>2-皿办+七).

【解析】⑴当。=2时/(%)=2/*1叫“3一41一［

.■.r(l)=2,=•・.切线方程为：y^2x-1.

r,(\112or2-x-1

.f(x)=2oax-\——=---------(x>0)

(2)xx,

①当aWO时，r(%)<0,\/(x)在［1,2］单调递减,

•,"(%x=aT

②当“21时-，f2/XT=(X1)(2X+1)4()

XX

\/(x)在［1,2］单调递增，.•J(x)3=〃-2-ln2

③当0<a<l时，〃x)=0nx=l+2+8a,

(i)当上互电<2即:<"1时，

4a8

1+>j\+

\/（X）在1，单调递减,上递增

4a

l+ln2)

（8

l+ln2’.

4a-2-ln2-----<a<\

3

（ii）当1+J1+8a22即0<“<3时,

^a8

\/（》）在［1，2］单调递减，二〃同皿=。一1,

A1+1吟

综上：/（Hmax

c(14-ln2

4〃-2-ln2a>-----

I3

(3)证明：要证/(A+N)>2-皿与+赴)，

只需证〃(百+”2/一(百+w)_ln(F4-x2)>2-ln(x,+x2),

2

只需证4(X+x2)-(Xj+x2)>2,

因为ax^-x,-\nx}=0,ax\-x2-\nx2=0,

两式相减得:。(才一,)-(5-工2)-(1nAi-瓜幻=。.

/、，Inx.-lnx

整理得。(司+W)=1+—!-----9-.

七一々

所以只需证『号詈）

(%+x2)-(xj+x2)>2,

<

lrixI-lnx2、

即证（内+々）>2,

五+1

即土---In—>2,不妨设0<为<占，令，=%(0</<1),

A__JX2x2

x2

只需证—~•In/>2,

t-\

只需证(r+l)lnf_2(f_l)<0,

设〃⑺=(r+l)lnr_2(I),

只需证当0<f<l时，〃(/)<0即可.

"⑺=Inf+；-1,/(r)=；-7=*<0(0<r<1),

⑺在(0,1)单调递减，

.・.当0<1<1时，〃'⑺>〃'⑴=0,

二”⑺在(0,1)单调递增，当0<.<1时⑴=0,

.•.原不等式得证.

例3.(2023・吉林长春・高三长春市第二中学校考期末)已知函数_/(0=(丁+1)10・《/-1).

(1)当。=1时，求〃x)在x=l处的切线方程；

(2)当时，〃x)20恒成立，求。的取值范围；

(3)证明：当机>〃>0时，++.

【解析】⑴当a=l时，/(x)=(x2+l)liu-(x2-l),(x>0),

/,(x)=2xlnx+--x,x>0,®/,(l)=21nl+l-l=0,/(l)=0,

所以f(x)在x=l处的切线方程为y—0=0(x—l),即y=0.

(2)由题意得/(%)=2N2+工+,-2奴,》2:1,

由当时，/(x)±0恒成立，而"1)=0,即x=l时函数取得最小值，

由于,>1,

XX

故/(x)=2xlnx+x+——2ax>2x\nx+2-2cix=2x(lnx+1-a),

当1—时，/(%)>0,等号仅会在x=l时取得，贝iJaKl,

此时当％31时，递增，K/(x)>/(l)=0；

卜.面证明只有时，当时，/(x)NO恒成立.

因为％31,所以(d+l)lar——1)2(f+])山_12_jj,

只需证明(/+1)12一(%2一1"0恒成立；

设g(x)=(f+l)]nx--1),=2xlnx+--x,

令ni(x)=2x\nx+--x,mr(x)=21nx+1--V20,仅在x=1时取得等号，

xx~

故g\x)=2x\nx+/一x,(xN1)单调递增,则g'(x)2g'⑴=0,

X

故g(x)=(x2+l》iu-(x2-l),(x*l)单调递增，

所以g(x)Ng⑴=0,即此时当X21时，/(X)加恒成立.

当a>1时，f(x)=(f+l)]nx-a^x2-1),

则f'(T)=2xinx+x+——2ax,令/i(x)=2xlnx+x+——2ax,

XX

则〃(x)=3+21nxy-2a,在□,+<»)上为增函数，

厂

且〃'(l)=2-2a<0,h'(ea)=3+2a--\--2a=3--^>0,

e~"e~"

故存在x0€(l,e")使得/?'(%)=0,

则人€。，式0)时，hr(x)<0,则/'(x)=2xlnx+x4----2dx递减，

x

_arw<r(i)=2(i-a)<o,

即/(x)=(x2+l)lnx-a■2-1)在(1,%)上递减,

而/⑴=0，则当xe(l,x。)时，/(x)</(l)=o,与题设矛盾，

故当时，不合题意，

综合上述可知：a<\.

(3)当/”>〃>0时，令/=生1>1,则⑵〃+〃)In>6〃,即皿上工〉一^―

nVm-n)r-12r+l

故要证明当机>〃>0时，(2m+")ln["+2”)>6〃,

Im-n)

只需证明…罟

.f+2„.f+23

令〃=---,则〃=-----=1H----->1t,

r-1t-\t-\

故需证明…”誓匕"小

丫2_]

令〃=x\x>i,则需证：]nx>F—,(x>l)恒成立，

由(2)知(f+l)lnx-任一1)之0恒成立,即lnx>W1,a>l)恒成立,

故当/%>〃>0时，(27W4-72)In["+2”]>6〃.

Im—n)

例4.(2023•广西柳州・统考模拟预测)已知〃x)=x2+2ax—2(ar+l)lnx,记/(x)的导函

数为g(x).

⑴讨论g(x)的单调性;

⑵若g(x)有三个零点%，%，%，且办<尤2<*3，证明：&+W+%>3(aT).

2

【解析】⑴由题意知：“X)定义域为(O,+8),r(x)=2x-2«lnx-p

,+1

即g(x)=2x-2alnx-Z(x>0),.­.g(x)=2--+^=~^)；

x''xX?X*

令9(x)=f-狈+1,则△=/一4；

①当A40,即一24a42时，*(x)*0恒成立,即g'(x)20恒成立,

.•.g(x)在(0,+8)上单调递增;

②当△>(),即a<—2或。>2时，令0(x)=0,解得：x=a±4；-4；

当"一2时，"Ja2-4〈”号~4<0,,(x)>o在(0,+助上恒成立，即g，(x)>0恒成

立，

；.g(X)在(0,+8)上单调递增；

当〃>2时，0<竺近三a〈生五三a

22

.,.当xe0,&-｛凸,+a>时，9(切>0,即g'(x)>0；当

k)\?

a+\Ja2-4|1

——Z——时，Q(X)VO,即g[x)<0；

递减；

综上所述:当a«F,2］时，g(x)在(0,+8)上单调递增；当/(2,+00)时,g(x)在

(a-yla2-4(〃+Ja=-4।L品、田、*(a-d。2-4a+\la2-41.品、田*、件

0,---,—--,内上单调递增，，在——-——,——-——上单倜递减.

(2)若g(x)有三个零点，则由(1)知:a>2t

又g(l)=0,

22

/八a—yja-4a+yja—4

〉o,g<u,0<%<---------<x2=1<---------<x3;

21

=-+2a\nx-2x=-g(x),「.g—=-^(^)=0=^(^),

又〜

要证司+W+&>3(a-l),只需证玉+“3>3〃-4,即证，+刍>3。­4；

,、11八七---

由g(玉)=0得：七-----6/Inx3=0,即—x3

XiCl=

Inw

3

即证1人、独一五又In*?>。，；.只需证ln[>3(…-)；

:

—+x3>-...--4七+4%+1

X3lnx333

令〃3="-^£^(工>1)‘则〃'")=2'+\+/<(,：4?+1)2

；.〃(x)在(1,+00)上单调递增，.1/z(x)>"⑴=0,

即当x>l时，lnx>:卜--1)-恒成立,

x-+4x+l

.X,>1,■•.lnx3>则原不等式得证.

例5.(2023•浙江•高三校联考期末)已知函数/(x)=eT-orlnr(a>；

(1)若〃x)43-2x,求a的值;

⑵证明:/(m)+/W+/W<3.

【解析】(1)设g(x)=/(x)+2x-3=ei-axlnX+2%—3,则g(l)=。,

g'("=-e——a(lnx+l)+2,令g<l)=]_Q=0,可得々=],

其中x>0,则/«加击｛=13

令〃(x)=2-e”"—q(lnx+l)

令夕(》)=击一。，其中X>。，则"(x)=^7^，

当0<x<l时，p(x)>0,此时函数p(x)单调递增，

当x>l时，p'(x)<0,此时函数p(x)单调递减,

所以，，(旦皿=#1)=1-内

①当a=l时，p(x)<p(l)=0,则/(x)=1p(x)W0且"(X)不恒为零,

所以，函数g'(x)在(。,+8)上单调递减，

所以，当0<x<l时，g'(x)>g，⑴=0,则g(x)单调递增，

当x>l时，g'(x)<g'⑴=0,则g(x)单调递减，

所以，g(x)4g⑴=0,Bp/(x)<3-2x；

②当”>1时，p(x)<p(l)=l-a<0,则/i'(x)=，p(x)<0,

所以，函数g'(x)在(。,+8)上单调递减，

因为g'(l)=l_a<0，g'(1)=2_e'°>0,

此时，存在为(，,1),使得g'a)=0,且当g'(x)<0,g(x)单调递减，

所以，g(xJ>g(l)=0,不合乎题意；

③当;<4<1时，=。⑴=1-4>0,

因为=-a=-alntz>0,

由于函数p(x)在0，”)上单调递减，故存在工2=1一皿。，使得当时，〃(%)>0,

此时，/7'(X)=Jp(X)>0,则函数g'(X)在(1,电)上单调递增，

故当。£(1,%)时,/(x)>gr(l)=l-a>0,g(x)单调递增,

所以，g(w)>g(i)=o,不合乎题意.

综上所述，若〃%)K3—2x,a=l.

(2)证明：设9(x)=/(x)_>llnjv=ei_arlnx_41nx,则夕(1)=],

^/(x)=-e,~'v-tz(lnx+l)--,令夕'(1)=一1一〃-4=0,可得九=_々_1.

当几=—4—1时，设〃(x)="(X)=-C1'—tz(lnX+1)H----,

则/(x)=-----'——』—,

v(^)=x2e,-A—1,则vz(x)=(2x-x2)e,-x,

当0cx<2时，v(x)>0,此时函数y(x)单调递增;

当x>2时，vz(x)<0,此时函数u(x)单调递减.

4

所以,当％>0时,v(x)<v(2)=一一1,

e

因为当0<x<l时，v(x)<v(l)=0Ji«>7-此时+

4r

当xzi时，但<0=2__L<_L<“，此时也有“(x)<o,

x+l2e24

所以，当x>0时，*'(%)=〃(力单调递减，

当Ovxvl时,^(x)=«(x)>M(l)=0,多工)单调递增,

当太>1时，°'(x)=〃(x)v〃⑴=0,°(x)单调递减，

所以，当a>；时，(p{x)<(p(\)=\,所以，/(x)<l-(a+l)lnx,

所以，/(/»)+/^+/^<3-(a+l)ln^.l.^=3,故原不等式得证.

例6.(2023・湖北・宜昌市一中校联考模拟预测)已知直线/与曲线>=1/犬相切于点

2

(x0,lnx0)(x0>e).证明：

(1)/与曲线y=li?x恰存在两个公共点(知1112%),(%,1112%)(兀<%)；

(2)2x0+x0>3e.

【解析】(1)y=—,所以在(xslYx。)处的切线方程为y=2aS(x-x°)+ln2x”,

X“0

令/(x)=ln2x-网*(》-%)-111飞，则原问题转化为/(X)存在2个零点：X。/。，并且

xo

x'o<xo,

a,、2\nx21nx°一(、、21nx21nx,，/、2(1-Inx}

fM=----------令/?(x)=/(x)=-------------01,则万(司=卫伫1，

x玉)]玉)X

显然以X)在(O，e)递增，(e,”)递减，,/>e，,/z(e)>//(xo)=O,ft(D=——^<0,

“0

故存在唯一的玉e(l,e),

使得/G)=Mx)=O/(x)在(o,xj递减，使,土)递增,(%<),+<»)递减，

121nx[1.等(4-1)>。

并且f-=ln2------0----玉)Tnx20=

22

/(x,)=lnxl-^^-(xl-x0)-lnx0,

X。

/(%)=---=0,，皿=屿当=心ln^

%x0Xi/In%

\A、

“xj=It?%_而X。nx

%•-----%0=In-In-XQ_2InX1+2In

玉)In/J

=(lnx,一ln%))(lnx+In/一2),

,X|VXo，「.lnX|—lnXoVO,下面证明In%+ln%>2：

令匹，则fVl,则,由于”=竺，即氐=兴,

4=lnr0=lnx0,%>1

考察函数2。)=二，贝iJp'(r)=7，当Al时单调递减，0«1时单调递增，p(l)」，

eee

并且当t>o时，p(f)>o,的图像大致如下图:

下面证明极值点偏移问题：令Mf)=p(2T)-p(r)=|^-，(f>l),

(e'-e2T、

F(f)=(l-f)——,f>l,.」>2-f,e-e2T>0,K(r)<0,

%(f)是减函数，左")<%(1)=0,，％+%>2,即ln±+lnx°>2,

山于/(%)=0，/(x)的大致图像如下图:

故存在,并且只有当。时，当时；

—,x0,/(xo)=OxVx/(x)>0,x>//(x)40

\x0/

3

,3e

(2)先证明XQXG>e,即不>—,

XQ

伫33

由(1)的结论知，只需证明f1二221nxfe)

即XQ0

>0,ln~---In———-x0>0,

lxo.%与(莅J

,3,3\33(3y

,整理,只

H|]IIn―-+Inx()—In~x()-2Inx0——1=ln~―-+2Inx()・ln---21nx01—--1>0

X。

需1-4>-Nl吸(3一'),

xG21nxo

令f=lnx0>l,即证3«二1世-3)*_3，_],即°")=暧-3

2t

.⑴=箜铲>0.)在(*)递增以…⑴=1,得证.

由均值不等式：2x()+Xo=X0+/+%>3也京7>3€>故2与+x。'>3e.

A

例7.(2023•浙江丽水•高三浙江省丽水中学校联考期末)已知函数f(x)=耳.

⑴求函数/(x)在点处的切线方程;

(2)若小电为方程/(x)=&的两个不相等的实根，证明:

(i)/(x)>-x+-；

V722

..fe42|9

(ii)归一引4-+-k--.

<2e74

厂e‘1-

【解析】(1),.")=e.一而二二.二)e',.../，(；)=^!_=-21，又/]£|=2«,

x2/4

二所求切线方程为：y-2«=-2e|x-£|,即y=_2«x+|e；

⑵⑴令8(加/5对则g")定义域为(。，+孙，(上(震(：：『

.,.当xe(O,l)时，g,(x)<0；当xw(l,+co)时，g[x)>0；

；.g(x)在(0,1)上单调递减，在(I,”)上单调递增；，g(x)*=g6=],

即••卡亨+会即/⑴号+1

x15-,.f-11->1-

(ii)令/z(x)=—e^=+2e。——e4,贝!J〃(x)=x2——x2eA+2e4,

Jx2I2J

i_5

令夕(x)=//(x),则°1力=^^2(4x2-4x+3)eA>0,

〃'(x)在(0,+8)上单调递增，又"(；)=0,

,

.,.当xe(o,；)时，/(x)<0：当xe(；,+8)时，/J(x)>0；

.•/(x)在(0,；)上单调递减，在(；,+℃)上单调递增；

e*151

即-^=>-2e4x+-e4

五2

不妨设不<%，

sP42k

由图象可知：>-----k,x><------1；

142-e

•布-止艾-1芈-

11e42

例8.（2023•河北邯郸•高三统考期末）已知函数f（x）=elx-2x（其中e为自然对数的底数）.

⑴求曲线y=〃x)在x=l处的切线方程；

(2)已知%是g(x)=f(x)-*2的极大值点,若g(xj=g(xj,且W<0.证明:

In(内+x2+2)>2x0+In2.

【解析】(1)/(x)=e2x-2x,

则/'(x)=2e”-2,

则曲线丁=/(x)在x=1处的切线的斜率为k="1)=2e?-2,

/(D=e2-2,则切点坐标为(he?-2),

则曲线y=〃x)在x=l处的切线方程为y—卜2-2)=(2/-2)(了一1),

整理得:y=(2e2-2)x-e2；

(2)g(x)=f(x)-x2=e2x-2x-x2,

贝iJg〈x)=2e2x-2x-2,

设=g'(x)=2e2v-2x-2,

则”⑺=4e2-2,

则当x>—竽时，〃'(x)>0,当x<—竽时，〃'(x)<0,

In2

h,+8上单调递增，在-00,―--上单调递减,

则MM.=ln2-l,

则g'(")min=g'=ln2-l,

In2

^(-l)=2e-2>0,g'=ln2-1<0,

2x

，使得g'(%)=。,BPe0=x()+1,

^(0)=2e°-0-2=0,则当x«%0)时，

则g(©在(与,。)上单调递减，

in(xj++2)>2x0+In2,则In(%十二十？]〉2%,

2

则要证明ln&+々+2)>2/+In2,即证明受士产>e^=毛+1,

即苔>2%-三,

.g(x)在(玉,0)上单调递减,且&(内)=8(W)，且刍<百<°，

x2<x0<x,<0,

0),6(X,O),

二为€(%,2XQ-X2O

则要证明内>2%-%,即证明5(^)<g(2x0-x2),

g(xJ=g(W)，

；・证明g(刍)<g(2七一%)即可，

令F(x)=g(x)-g(2x()-x),xey，M),

2t2(2

贝ljF'(x)=g，(x)—g，(2x。-x)=(2e-2A-2)+[2e^-2(2x0-x)-2],

=2(-53,-2)=2卜-丁)2+2☆，-2犷斗

2Ab

.e=x0+\,

F\x)=2(ex-e2^-x)i>0,

则网x)在xe(T>,x。)单调递增，

则尸(x)4尸(x0)=g(x)-g(2x°—毛)=0,

则名㈤"①-七)，

即证得In。]+x?+2)>2%+In2.

例9.(2023•江苏无锡•高三统考期末)已知函数/(司=6'-衣.

⑴若有两个零点，求〃的取值范围；

(2)若方程xe'=ox+“lnx有两个实数根芭，三，且犬产々，证明：%+々+111(%毛)<21na.

【解析】(1),f(x)=ev-4z.

当aW0时，制*)>0,“X)在R上单调递增，“X)不可能有两个零点；

当a>0时，令/''(x)=0nx=lna且/(X)在(-oo,lna)上单调递减，在(Ina,”)上单调递增,

要使f(x)有两个零点，首先必有/(力,厮=/(lna)=a-alna<O=a>e,

当〃>e时，注意到/(0)=1>0,/(lna)<0,/(a)=e"_/>0,

，在(O,lna)和(ln4,a)上各有•个零点与，匕符合条件.

综上：实数〃的取值范围为(e,+8).

(2)由xe*=ca+alnx=>e**s*=a(x+lnx)有两个实根演,三，不妨设西〉巧,

.,.令x+lnx=r,

有两个实根:=再故“明

，e'=af+lnX1,t2=x2+ln%2,

要证：

x,+x2+ln(x1x2)<21n«,

只需证：

tt+t2<2\na,

,[e6=at“人「一、》上।=lna+lnf1,①

由<„t,结合①知a>en।J

2

[e=at2&=Ina+1%,②

①+②得：4+q=21na+ln(不2)，

要证：21na+ln(4f2)<21na,即证：<1,

而由=芍-1114可得：I

、in/1—inr),

下证：>麻，乙>’2，

In4—Int2

令矶m)=m-------2In">1,

m

夕，(加)=1+口—2=至二学里="・>0在加>1上恒成立,

nrmnrm

故9(，〃)=〃7-■^-21n〃?在加>1上单调递增，

故⑴=0,

所以1=」'一，，>屈，解得：°〈巾2<1,证毕・

Inf]—In弓

【过关测试】

1.(2023•浙江绍兴•高三期末)已知函数/。)=皿"-111思4>0.

,2

(1)右。=1,记/(X)的最小值为用，求证：m>—+ln2.

⑵方程/(幻="+。/eR有两个不同的实根冷电，且％+为=2,求证：

a~e

【解析】(1)若。=1，f(x)=xex-\nx,(x>0),f\x)=(x+l)ev--,

x

设—x)=(x4-l)ev--(x>0),k'(x)=(x+2)e'+4>0,

在(0,+oo)上单调递增，即/(x)在(0,”)上单调递增，又/(g)=ge3-3<0,

xe(O,x0)时，f'(x)<0,/(x)单调递减，工式内用)时,f'(x)>0,Ax)单调递增.

加=/(%)=x(>e'--In与=%-i\+])一Inx0=([])一山飞,

函数"x)=giy-m”在(a；)上单调递减,|+In2.

av+,nav

(2)设°<玉<々，当公-lnx=ar+〃，We=\nax+ax+b-\na,

%=OX]+In町

设"dx+lnox,则e'=/+b-Ina存在两个不相等的实根％,J，且

Z2=ar2+Inax2

%+t2=a(x+与)+21113+111内工2=2a+2\na+\nx{x2,

要证中,<」V，只要证：lnx多<-21n〃-2a,只要证：/,+/2<0

e"=t+b-\na

]1

=>e'2—e'=z2-f,

e'2=t2+h-\na

要证：。，只要证：西镇=/--用<只要证：2w,w2w

4+%2<1,e-2e+l>Ane

e/n-le^-l

/2\

设g(㈤=e2'"_2e"+l—/e",贝1禽'("2)=2已2〃'—(济+2帆+2,〃'=26'〃,

/%2

设h("i)=e™---------m—1,/?'(，〃)=em-m—\,h"(rri)=em—1,

2

/n>0,;.〃"(,”)>On力'(机)单调递增，h'(m)>h\O)-0,.,.力(㈤在(O,+<»)上单调递增,

h(m)>/?(O)=0,g'(7n)=2e〜(%)>0,，g(m)在(0,+oo)上单调递增

g(%)>g(O)=0=e2ra-2em+1>〃?%"',得证.

2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中

要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问

题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

2.(2023•浙江•高三期末)已知函数/(x)=sinx-(x+2)eT.

(1)证明：函数fM在区间［0,汨上有2个零点；

⑵若函数有两个极值点：且玉<马.求证：

g(x)="+sinx-/(x)(aeR)x,,x2,

0<%+々<上«(其中e=2.71828为自然对数的底数).

a

【解析】(1)记函数［x)=f(x)=cosx+(x+l)eT,由%«0,兀］,

则/«x)=_sinx-xeT«O,所以函数网力在区间［0,可上单调递减，

又/7(］］>0,〃(兀)=一1+誓<0.根据零点存在定理，

存在ae(1,"时，h(a)=f'(a)=0,

即函数在区间(0,a)上单调递增，在区间(a,兀)上单调递减.

,、一一俨+2)

而/(0)=-2<0,〃0>叱)=_{2_2>oj⑺<(p

所以函数/(x)在区间(0,a)上有一个零点一，在区间(a,%)上有一个零点/,

故函数f(x)在区间［0,可上有2个零点.

(2)由函数g(x)=ox+(x+2)e-x有两个极值点,

Y+1X4-1Y

则g'(x)=0时,方程有两个不等实根.记P(X)=裳,则P，(x)=_/

所以函数p(x)在区间(70,0)上单调递增，在区间(0,+o))上单调递减.

因此p(x)有极大值p(0)=l,且X>-1时，p(x)>0,x-»+<»时，p(x)->0,

于是且

先证明%+%>0，只要证了2>-玉，即证P(X1)=P(X2)<P(-X1)，

设q(x)=p(x)-p(-x)(-l<x<0),

则<7’(幻=0’(幻+夕'(70=*卜*-6-*),因为一1cx<0,所以g'(x)>0,

即函数q(x)在区间(-1,0)上单调递增，于是虱x)<鼠0)=0,

所以玉+々>0.

再证明%+%〈出

先证当x>0时，cx>l+x+-x2当xvO时，ev<\+x+-x2.

22

1z

设H(x)=e—\—x——t贝ljH(x)—e'-1-x,H"(x)=e'—1,

于是，“'(x)在区间(F,0)上单调递减，在区间(0,”)上单调递增，

因此“'(%)>"'(0)=0,所以函数”(%)在区间(f,y)上单调递增，而"(0)=0,

即当x>0时，ev>1+x+—x2；当x<0时，ev<1+x+—x2,

22

、x+lx+\

p(zx)=——<

于是，当x>0时,e'T7

1+X4-X

2

/\_X+1、X+1

当一l<x<0时，，㈤=h>]…].2,

1+XH-----A

2

x+1

设方程，，,12一"的两个根为内，王(凡<Z),贝|JT<西<毛<0<工2，

1+XH----X

2

即方程+2(。-1)%+2(。-1)=0的两个根为天,工4，

于是X1+X,<工3+Z=-----

-a

,,八2—2a

故0<%+马<-----.

a

3.(2023•河南三门峡•高三统考期末)已知函数〃x)=x-ln(x+l)与函数g(x)=aei-x+匕

有相同的极值点与极值.

⑴求mb；

⑵若方程〃x)="与g(x)=M分别有两个解p,q(P〈q)和r，s(YS).

①分别用p,9表示出「，s；

②求证：er+e¥>2.

1V*

【解析】(1)由“x)=x-ln(x+l)的定义域为(T,y),==

尸(x)=0得x=0,用勾>0得了>0,r(x)<0得—l<x<0,

所以〃力在(TO)单调递减，在(0,+8)单调递增，故〃x)在x=0处取得极小值，且

〃力极小=0,

由g'(x)=ae'T-1,由题意可得,«e-'-l=0.g(0)=ae-'+b=0,解得a=e,b=-\.

(2)①由(1)知，g(x)=er-x-l,且g(x)在(—,0)单调递减，在(0,+8)单调递增，

rJ

所以p-ln(p+l)=m,g-ln(q+l)=/n,e-r-l=/-,e-.v-l=r

且q>0,r<0,5>0,

ln(p+l)

又p-ln(p+l)=，〃可化为p+1—ln(p+l)-l=，"，e-ln(p+l)-l=w,

即ln(p+l)是^一万一1=机的解，同理ln(q+l)也是它的解，所以r=ln(p+l),s=ln(q+l).

②由①知，证明e7e*>2即证。+4>0，

令h(x)=f(x)-f(-x),则h(x)=2x+ln(l-x)-ln(l+x),A(0)=0,

则〃(x)=2--?----!_=二1wo,所以人(x)在(-1,1)上单调递减，

1-x1+x1-x

因为-l<p<o,所以〃(p)>〃(o)=o,即“p)-/(-p)>0,因为/(p)=<(g),

所以/①)>f(-P),由“X)在(0,+8)单调递增，

所以4>一〃，p+q>o,

即e，+e'>2.

4.(2023•河北石家庄•高三统考期末)已知函数〃x)=sinx.

⑴设尸(x)=/(x)-侬，若F(x)40在［。,+8)上恒成立，求实数，”的取值范围；

⑵设G(x)=§/(x)+x—：alnx+2,若存在正实数百,&(百，满足G(N)=G^),证

明：X1+x2>2a.

【解析】(1)F(x)=sinx-/?tr,/.F(0)=0,P(x)=COSX-/TI；

①当〃亚/时，尸(x)40恒成立，；.F(x)在［0,+司上单调递减，

.-.F(x)<F(0)=0,满足题意：

②当加4-1时，尸'(司20恒成立，.•.尸(x)在［0,+8)上单调递增，

.-.F(x)>F(O)=O,不合题意;

③当时，当xe[O,可时，F'(x)单调递减，又F'(O)=l-机>0,尸'(兀)=一1-机<0,

.・F(x)在(0㈤上存在唯一零点%,使得产，(%)=0,

则当xw(O,x。)时，F(x)>0,

.•.尸(x)在(0,%)上单调递增，此时尸(x)>F(0)=0,不合题意;

综上所述：实数加的取值范围为口,口).

,、25

(2)山题意知：G(x)=-sinx+x--t71nx+2,

2525

则§sinX]+X_§olnX]+2=—sinx2+x2--a\nx2+2,

52

整理可得：^(lnx2-ln^)=j(sinx2-sinx()+(x2-x,),

不妨设,

由(1)