概率论与数理统计8.1+8.2

第八章假设检验未知参数作出估计。在统计推断中还有另一类重要问题假设检验问题。两个总体的均值相同或方差相同？这类问题称为具有指定的特征。例如已知样本来自正态总体，就是要根据样本的信息来判断总体分布是否

参数估计是通过样本的观察对总体分布中的问是否有理由说它是来自均值为的正态总体，第一节基本概念一、假设检验

在实际工作中，往往能够根据过去的资料，对总体作出某种假设（记为，称为原假设）。对于一种假设是否成立，需要根据样本提供的信息，按照一定的规则和程序来进行检验，决定接受这种假设，还是拒绝这种假设。这一过程称为假设检验。0.7(%),均方差为0.030(%)。现在炼铁厂原料有了改变，从改变原料后的生产记录中随机地抽取n=25的样本，算得平均含硅量均方差没有改变，问生铁含硅量有无显著变化?例1某炼铁石生产的生铁含硅量服从正态分布。由过去大量的数据算得含硅量平均值为二、假设检验的基本原理步骤

下面以例1为代表来说明假设检验的基若把原料改变后生铁的含硅量看作一个总体，把原来的生铁含硅量看作另一总体，那么，例1的问题就化为两个生铁含硅量的总体均值有无差异的问题。为此，我们先作本原理及步骤。（或对立假设），记为，即同时我们把原假设的反面作为备择假设这样，例1的假设检验问题，就是根据样本所提供的信息判断中哪个成立。即是检验假设出假设，即原假设，记为即若为真，则可认为生铁含硅量由抽样分布知，样本均值即故有若不真（即为真，），则否则就接受原假设不是来自原来的总体，从而拒绝原假设

对于给定的，查正态分布表的分位数，使因而，U

的观察值就较集中在零的周围，的观察值大到一定程度，就认为样本使为n

的样本其均值所构成的统计量的观察值落在（-1.96,1.96）之外的取100个容量为n

的样本，大约只有5个的这样表明，当为真时，由总体中抽出容量例如，取，查得概率仅为0.05，这是一个较小的概率。如抽在（-1.96,1.96）之外）几乎是不可能发生例1中，由于实际抽样中，这个小概率事件（即u

值落不真，从而拒绝，否则就接受。落在此区间之外，自然就有理由怀疑的。也即若对样本的一次观察值，算得的u值在这个区间外，因而可以认为在一次设成立，根据一定的规则和程序，依照率原理应用在假设检验上，是指，首先假样中，认为实际上是不会发生的。把小概谓小概率原理。即小概率事件，在一次抽一定的程序进行推断，而推断的依据是所综上所述，我们是要对做出的假设按硅量有显著变化。故拒绝。认为原料改变后，生铁的含拒绝的判断。否则，就接受。这种先假反证法。设成立，后进行反证的方法，成为概率论的事先给定的概率（又称为显著性水平，或检验水平，常取0.05，0.01，0.1等值）构造一个小概率事件。如果一次抽样，小概率事件发生了，那么就认为原来的假设是不真的，从而（1）提出原假设及备择建设；

（3）确定的拒绝域；在给定显著性水平的条件下，查统计量所服从的分布表，求出临界值，从而确定拒绝域W

；

（2）构造检验统计量，在为真的条件下，确定该统计量的分布；

（4）推断：由样本观察值算出统计量的观察值，若落在拒绝域W中，则拒绝，否则接受。

综上所述，我们可以得出进行假设检验的步骤：小概率事件三、假设检验中的两类错误

假设检验，就是对做出的假设，按一定的程序进行检验，最后对所给假设做出接受还是拒绝的推断。这种推断是在一定的概率意义下进行的。因此，所做出的推断，就可能产生错误。那么，会犯什么样的错误呢？

首先我们看到，若为真，小概率事件虽然是发生的可能性很小的事件，但并非绝对不发生。

此外，若不真，而样本观察值未落入拒绝域W，这时就要犯“取伪”错误，称为这个概率是小概率，也称为检验水平。犯第一类错误的概率为P（拒绝为真）=（1）免要犯“弃真”错误，称为“第一类错误”。因此，按上面的原则拒绝，就不第二类错误。犯第二类错误的概率为P（接受为真）=（2）两类错误分析列表如下：判断正确第二类错误

成立第一类错误判断正确

成立

拒绝

接受判断真实情况增大样本容量n，才能使都变小。

我们希望犯这两类错误的概率都很小，第二节U检验法

U

检验法也称为正态检验法，是使用服从正态分布的U

统计量来进行检验。一、对正态总体中的检验

设是从正态总体中抽取出的一个样本，其中方差为已知常数，现检验假设

当假设为真时，样本均值，因此统计量（1）服从标准标准正态分布N（0，1）。

对于给定的显著性水平，查正态分布表得，使（2）

如图7—1所示，由（2）式得检验的拒绝域为（3）（4）或

将样本观察值代入（1）式，算出U的观察值u

。若，则拒绝，o图7—1即认为总体的均值与之间的显著差异；若，则接受，即认为观察结果与假设给定的无显著差异。

例1假定某厂生产的一种钢索的断裂强度，单位：。从一批该产品中任选一个容量为9的样本，经计算得，能否据此样本，认为这批钢索的断裂强度为？

解由题中所给条件，可知这是一个正态总体，且方差已知，对均值是否等于800进行检验的问题。即检验假设对于显著性水平，查正态分布表得为真时，统计量，因此检验的拒绝域为计算统计量U的观察值因为，故接受原假设。即认为这批钢索的平均断裂强度为是可以接受的。

实际应用中，有时只关心总体均值是否增大（或减小）。比如，经过工艺改革后，材料的强度是否比以前提高，这时，考虑的问题

上述检验中的拒绝域是双侧的即或，也即统计量U落入和的概率之和为因此检验称为双侧检验。是在新工艺下，总体均值是否比原来总体在同一显著性水平下的检验法是一样的。可以证明，它和假设检验问题均值大，即要检验假设量U

，对于检验水平，查正态分布表得（5）（6）该检验称之为右方单侧检验。如图7—2所示，由（5）式得检验的拒绝域为使类似于前面的讨论，用（1）式中的统计类似地，检验假设使（1）式中的统计量对于检验水平，查正态分布表得，o图7—2如图7—3所示，由（7）式得检验的拒绝域为（8）（7）U

满足o图7—3该检验称之为左方单侧检验。

例2某种电子元件，要求使用寿命不得低于1000h

。现从一批这种元件中随机抽取25件，测其寿命，算得其平均寿命950h

，设该元件的寿命在的检验水平下，确定这批元件是否合格？本例是单侧检验问题。即在下，检验假设解计算统计量U的观察值对于，查正态分布表得从而该检验的拒绝域由于故拒绝原假设认为此批元件的平均寿命偏低，即不合格。二、对方差已知的两正态总体均值的检验设有两正态总体及，和时分别从总体X

总体Y

中抽取的两个独立样本，分别为两样本的均值，并且两总体方差已知。要检验假设由于并且故（9）当为真时，统计量对于给定的显著性水平，查正态分布表得因此，检验的拒绝域为（10）使（11）

例3某公司从甲、乙两灯泡厂购买灯泡，已知甲厂灯泡寿命，乙厂灯泡寿命现从甲厂中抽取40个灯泡测得平均寿命；从乙厂中抽取50个灯泡测得平均寿命。能否判断甲、乙两厂的灯泡平均寿命存在差异？

解本例是对两正态总体，方差已知时，两总体均值有无差异的检验。即检验假设对于，查正态分布表得当为真时，（9）式中统计量代入（9）式求得U的观察值u又而检验的拒绝域

即认为甲、乙两厂的灯泡平均寿命存在显著差异。从灯泡质量上看，甲厂优于乙厂。由于因此，拒绝原假设三、对一般总体均值的检验1.一般总体X

，当方差已知时，对数学期望是否等于已知值设是从总体X

中抽取的一个样本，总体X

的方差已知，要检验假设进行检验。

由中心极限定理可知，不论总体X服从什么样的分布，在大样本下，当对于显著性水平，由正态分布表查，为真时，近似地有从而该检验的拒绝域为使得

例4某县早稻收割面积为100万亩，随机抽取一个容量为169亩的样本，统计其亩产量，计算得平均亩产量。问亩产是否成立？

解这是一个一般总体，大样本，方差类似地可进行左、右单侧检验。已知，对总体均值是否等于310kg

的假设问题。即检验假设由于近似地有，故该检验的拒绝域为对于显著性水平，查正态分布表得计算U

的观察值得由于，表明小概率事件在一次抽样中就发生了，所以拒绝原假设