角的平分线的性质-市赛一等奖

113角的平分线的性质（2）1、会用尺规作角的角平分线角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、角的平分线的性质:OCB1A2PDEPD⊥OA，PE⊥OB∵OC是∠AOB的角平分线∴PD＝PE角平分线的性质）用数学语言表述：复习已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的角平分线上．思考问题：1若把角平分线性质的题设、结论交换，所得命题是什么？（如何叙述？）证明:∵QD⊥OA，QE⊥OB（已知），∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）

在Rt△QDO和Rt△QEO中

QO＝QO（公共边）

QD=QE

∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠QOD＝∠QOE∴点Q在∠AOB的角平分线上已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的角平分线上．到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的角平分线上（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的角平分线上∴QD＝QE（角平分线性质）例1、要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000）？例1、要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000）？解：设图上集贸市场为P

O作公路与铁路的夹角平分线OA，在射线OA上截取OP=，则点P为集贸市场位置例2、如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等∵BM是△ABC的角平分线,点上,PD⊥AB,PE⊥BCABCPMNDEF∴PD=PE

角平分线上的点到这个角的两边距离相等同理,PE=PF∴PD＝PE=PF即点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F练习、P22如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F求证：点F在∠DAE的角平分线上．证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的角平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC∴FG＝FM又∵点F在∠CBD的角平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴点F在∠DAE的角平分线上利用结论，解决问题练一练

1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建想一想

在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗你是怎样思考的你是如何证明的拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:

A一处B两处

C三处D四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的角平分线上．用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的角平分线上∴QD＝QE课堂小结拓展与延伸3、已