三角函数基本性质说明书

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三角函数基本性质

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特殊是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanxcotx=tan45等。

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=

2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入帮助角。asinθ+bcosθ=22ba+sin(?+θ)，这里帮助角?所在象限由a、b的符号确定，?角的值由tan?=

a

b确定。2.证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，转变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发觉差异：观看角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）查找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

图象变换：函数sin0,0yAxAω?ω=

+的图象可由sinyx=的图象做如下变换

得到

1、先相位变换周期变换振幅变换sinyx=sinyx?=+：把sinyx=图象上全部的点向左（0?）或向

右（0?）平移?个单位。

sinyxω?=+：把sinyx?=+图象上各点的横坐标伸长

（01ω）或缩短（1ω）到原来的1

ω倍,

纵坐标不变。

sinyAxω?=+：把sinyx?=+图象上各点的纵坐标伸长

（1A）或缩短（01A）到原来的A倍,

横坐标不变。

2、先周期变换相位变换振幅变换

sinyx=sinyxω=：把sinyx=图象上各点的横坐标伸长

（01ω）或缩短（1ω）到原来的1

ω倍,纵坐标不变。

sinyxω?=+：把sinyxω=图象上全部的点向左（0?）或向右

（0?）平移?ω

个单位.sinyAxω?=：把sinyx?=+图象上各点的纵坐标伸长

（1A）或缩短（01A）到原来的A倍,横坐标不变。

3、留意：（1）要会画sinyAxω?=+在一个周期的图象：（即五点作图法：设

30,,,,2,22txπ

πω?ππ=+=求相应的

x值和对应的y值,描点作图）如2sin26yxπ??=+???,在0,π上的图象的画法。

（2）留意图象变换时①先平移后伸缩和先伸缩后平移时平移单位的区分。

②要先使函数名称相同再变换。

如：为得到函数cos23yxπ??=+???

的图象,只需将函数sin2yx=的图象向平移个单位。

（3）2Tπω=,1fT

=（频率）。留意sinyAxω?=+、cosyAxω?=+相邻两对称轴间的距离为2Tπω

=。

（4）已知图象求解析式时留意：看振幅求A,看周期求ω,看特别点求?（通常是最大值或最小值时的位置）

（5）已知变换求解析式时,留意只能对自变量x进行变换。

三角函数的图象及性质表（1）

三角恒等变化

【基础学问】

一、同角的三大关系：

①倒数关系tanα?cotα=1②商数关系

sincosαα=tanα；cossinαα=cotα③平方关系22sincos1αα+=

温馨提示：

（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。

（2）利用上述公式求三角函数值时，留意开方时要结合角的范围正确取舍“”号。

用诱导公式化简，一般先把角化成,2

kzα+∈的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（假如前面的角是90度的奇数倍，就是“奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把α看作是锐角，推断角

2

kπα+在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是“+”还是“--”，就加在前面）。

用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间00(0,360)的角，再变到区间00(0,180)的角，再变到区间00(0,90)的角计算。

三、和角与差角公式：sinsincoscossinαβαβαβ=;

coscoscossinsinαβαβαβ=;

tantantan1tantanαβαβαβ

=

tanαtanβ=tan(αβ)(1tanαtanβ)

四、二倍角公式：

sin2α=2sincosαα.

2222cos2cossin2cos112sinααααα=-=-=-.

22tantan21tanααα

=-五、留意这些公式的来弄去脉

这些公式都可以由公式coscoscossinsinαβαβ

αβ=推导出来。六、留意公式的顺用、逆用、变用。

如：逆用sincoscossinsinαβαβαβ=

七、合一变形（帮助角公式）

把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的

BxAy++=)sin(??形式。

sincosααα?A+B=+，其中tan?B=A

．八、万能公式

九、用αsin，αcos表示2tanα

十、积化和差与和差化积

积化和差)]sin[sin(cossinβαβαβα-++=；

)]sin[sin(sincosβαβαβα--+=；

)]cos[cos(coscosβαβαβα-++=；

)]cos[cos(sinsinβαβαβα--+=.

和差化积2

cos2sin2sinsin?θ?

θ?θ-+=+2

sin2cos2sinsin?θ?θ?θ-+=-2

cos2cos2coscos?θ?θ?θ-+=+2

sin2sin2coscos?θ?θ?θ-+=-

十一、方法总结

1、三角恒等变换方法

观看（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）

（1）“变角”

,

22

.（2）“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦sincostan,cotcossinαααααα

==），

（3）“变式’形公式绽开和合并等。

2、恒等式的证明方法敏捷多样

①从一边开头直接推证,得到另一边,一般地,假如所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采纳此法,即由繁到简.

②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子.

③比较法,即设法证明:左边－右边=0或左右

=1;④分析法,从被证的等式动身,逐步探求使等式成立的充分条件,始终推到已知条件或明显成立的结论成立为止,则可以推断原等式成立.

例题:

如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动

赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数

y=Asinωx(A0,ω0)x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为

S(3，)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛

运动员的平安，限定∠MNP=120o

（I）求A,ω的值和M，P两点间的距离；

（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础学问，考查运算求解力量以及应用数学学问分析和解决实际问题的力量，考查化归与转化思想、数形结合思想，

解法一

（Ⅰ）依题意，有A=34T=，又2Tπω=，6πω∴=。6yxπ∴=

当4x=是，233yπ∴==(4,3)M∴又(8,3)p

5MP∴=

（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120，MP=5，

设∠PMN=θ，则0θ60由正弦定理得

00sinsin120sin(60)MPNPMNθθ==-

NPθ∴=,0)MNθ∴=-

故01)(sin)2NPMNθθθθ+=

-=

060)θ=+0θ60，∴当θ=30时，折线段赛道MNP最长

亦即，将∠PMN设计为30时，折线段道MNP最长

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120，MP=5，

由余弦定理得222cosMNNPMNNP+-∠MNP=2