新教材2023版高中数学第三章排列组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.3组合与组合数第1课时组合与组合数及组合数性质学生用书新人教B版选择性必修第二册

第1课时组合与组合数及组合数性质[课标解读]1.通过实例，理解组合的概念；能利用计数原理、排列定义推导组合数公式.2.能够结合具体实例，理解排列、组合与两个计数原理的关系，能够运用两个计数原理推导排列、组合的相关公式，并能够运用它们解决简单的实际问题．【教材要点】知识点一组合的概念一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成________，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合．知识点二组合数的概念从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的________的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))表示．知识点三组合数公式及其性质(1)公式：Cnm＝________＝(2)性质：Cnm＝________，Cnm＋(3)规定：Cn0＝【基础自测】1.下列判断不正确的是()A.两个组合相同的充要条件是组成组合的对象完全相同B．从a1，a2，a3三个不同对象中任取两个对象组成一个组合，所有组合的个数为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))C．从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题D．从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法2．从2，3，5，7，11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________．3．C62＝________，C184．从3，5，7，11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________．题型1组合的概念例1判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？状元随笔要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的对象是否与顺序有关．方法归纳1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．2．区分有无顺序的方法把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个对象的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．跟踪训练1判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来．(1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？(2)8人相互发一个电子邮件，共发了多少个邮件？(3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？(4)从集合{1，2，3，4}中任取两个不同对象相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？(5)从集合{1，2，3，4}中任取两个不同对象相除，有多少个不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？题型2组合的列举问题(逻辑推理)例2已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．方法归纳1．此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借助本例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直观地写出组合，做到不重复不遗漏．2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交换位置为ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．跟踪训练2从5个不同的对象a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．题型3组合数公式的应用例3(1)计算C104－C7(2)求证：Cnm＝eq\f(m＋1,n＋1)Cn+1m+1(3)从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为()A．C52C62C．C52A2状元随笔根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．方法归纳关于组合数计算公式的选取1．涉及具体数字的可以直接用公式Cnm＝An2．涉及字母的可以用阶乘式Cnm＝3．计算时应注意利用组合数的性质Cnm＝跟踪训练3(1)10×9×8A．A106 BC．C106 D(2)算式mm+1m+2A．Am+2020 C．21Cm+2020 D(3)新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生，则不同的选派方案共有________种．(用数字作答)题型4组合的性质【思考探究】1．试用两种方法求：从a，b，c，d，e5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？[提示]方法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C53＝5×4×3方法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C52＝5×42经求解发现C53＝C52.推广到一般结论有2．从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？[提示]共有C106＝10×9×3．在2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由2，3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？[提示]若队长必须参加，共C95＝126(种)选法．若队长不能参加，共C96＝由2，3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：C106＝C9一般地：Cn+1m＝Cn例4(1)计算C43＋C53＋C63＋…A．C20194 BC．C20194－1 D．C(2)解方程C14x＝C14方法归纳1．性质“Cnm＝C2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由Cnm中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m确定m，跟踪训练4(1)化简：Cm9－Cm+19＋(2)计算C9996＋C99(3)若C202n-3＝C20n+2(n∈N＋)A．5 B．7C．5或7 D．5或6(4)若3An3－6An2＝4Cn+1nA．8B．7C．6D．5教材反思3．1.3组合与组合数第1课时组合与组合数及组合数性质新知初探·自主学习[教材要点]知识点一一组知识点二所有组合知识点三1An[基础自测]1．解析：A正确．因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．B正确．由组合数的定义可知正确．C错误．因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．D正确．因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．答案：C2．解析：产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种方法，共有5×4＝20个分数，且各不相同．产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真分数，同理，当分子分别是3，5，7时，真分数的个数分别是3，2，1，共有4＋3＋2＋1＝10个真分数．答案：20103．解析：C62＝6×C1817＝C答案：15184．解析：从四个数中任取两个数的取法为C42答案：6课堂探究·素养提升例1解析：(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．跟踪训练1解析：(1)已知集合的对象具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有C7(2)发邮件与顺序有关，是排列问题，共发了A8(3)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有A42种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有(4)共有C42＝4×32完成的“这件事”是指：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同对象并相乘．(5)共有A42－2＝10(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指：从集合{1，2，3，例2解析：四步内容理解题意条件：①A，B，C，D，E五个元素；②每次取出3个元素；结论：所有组合．思路探求列举法解答，注意按顺序列举．书写表达方法一：可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.方法二：画出树形图，如图所示．由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.注意书写的规范性：①注意是否与顺序有关；②注意按顺序列举，不重不漏．题后反思列举法适合总数比较少的情形．跟踪训练2解析：要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.例3解析：(1)原式＝C104-A73＝10×9×8×7(2)证明：∵右边＝m+1n+1Cn+1m+1＝m+1n+1·n+1左边＝Cnm，(3)分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C5第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A62种．故有C答案：(1)见解析(2)见解析(3)B跟踪训练3解析：(1)10×9×8×…×41(2)mm+1m+2＝m+20！m-1！(3)根据题意，从6名男医生、4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生，共有C63·C42＝答案：(1)D