6.4 探索三角形相似的条件 苏科版数学九年级下册导学课件

6.4探索三角形相似的条件第6章图形的相似逐点学练本节小结作业提升本节要点1学习流程2平行线分线段成比例利用角的关系判定两个三角形相似利用边角关系判定两个三角形相似利用三边关系判定两个三角形相似三角形的重心知识点平行线分线段成比例11.平行线分线段成比例的基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.符号语言如图6.4-1所示，∵l3∥l4∥l5，要点解读：①一组平行线(如图6.4-1l3，l4，l5)两两平行，被截直线(如图6.4-1l1，l2)不一定平行；②所有的成比例线段是指被截直线上的线段,与这组平行线上的线段无关；③利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时，一定要注意对应线段写在对应的位置上.2.平行线法判定两个三角形相似：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.符号语言如图6.4-2所示，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.例1如图6.4-3，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m，n

所截，交点分别为A，B，C

和D，E，F，且AB

＝3，BC

＝4，EF

＝4.8，则DE的长为__________．3.6解题秘方：利用平行线分线段成比例的基本事实解决问题即可．解法提醒:在题目中，如遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面获取信息：一是角之间的关系（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）；二是线段之间的关系，即平行线分线段成比例.解：∵a∥b∥c，∴(两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例)．∵AB

＝3，BC

＝4，EF

＝4.8，∴．解得DE

＝3.6．知识点利用角的关系判定两个三角形相似21.相似三角形的判定定理两角分别相等的两个三角形相似.2.符号语言如图6.4-4所示，在△ABC

和△DEF

中，∵∠A=∠D，且∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF.3.常见的相似三角形的类型(1)平行线型：如图6.4-5①，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.(2)相交线型：如图6.4-5②，若∠AED=∠B，则△AED∽△ABC.(3)“子母”型：如图6.4-5③，若∠ACD=∠B，则△ACD∽△ABC.(4)“K”型：如图6.4-5④，若∠A=∠D=∠BCE=90°，则△ACB∽△DEC，整体像一个横放的字母K，所以称为“K”型相似.特别提醒：由两组角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角.一般地，相等的角是对应角．如：公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、同弧所对的圆周角等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.如图6.4-6，在矩形ABCD

中，E

为AD

上一点，EF⊥EC

交AB

于F，连接FC．求证：△AEF∽△DCE．例2解题秘方：紧扣“两角分别相等的两个三角形相似”，由于一对直角相等，因此只需利用图形的性质说明∠DEC＝∠AFE(或∠DCE

＝∠AEF)即可证明．思路点拨：当两个三角形已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再找夹等角的两边对应成比例.找角相等时,应注意挖掘公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)等隐含条件.证明：∵EF⊥EC，∴∠FEC

＝90°．∴∠AEF+∠DEC

＝180°－90°＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠

A＝∠D

＝90°．∴∠AFE+∠AEF＝90°．∴∠DEC＝∠AFE．在△AEF

和△DCE

中，∵∠A

＝∠D，∠DEC

＝∠AFE．∴△AEF∽△DCE(两角分别相等的两个三角形相似)．知识点利用边角关系判定两个三角形相似31.相似三角形的判定定理两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2.符号语言如图6.4-7所示，在△ABC和△DEF

中，∵，且∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF.特别提醒：运用该定理判定两三角形相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角.类似于判定三角形全等的SAS的方法.如图6.4-8，在正方形ABCD

中，P

是BC

上的一点，且BP=3PC，Q

是CD的中点.求证：△ADQ∽△QCP.例3解题秘方：紧扣“利用边角关系判定两个三角形相似的定理”证明即可.技巧点拨:利用两边成比例且夹角相等证两三角形相似的方法：先找出两个三角形中相等的那个角；再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列找出对应边；最后看这两组对应边是否成比例，若成比例,则两个三角形相似，否则不相似.证明：设正方形ABCD

的边长为4a，则AD=CD=BC=4a.∵Q

是CD的中点，BP=3PC，∴

DQ=CQ=2a，PC=a.∴=2在△ADQ和△QCP中，，∠D=∠C=90°，∴△ADQ∽△QCP.(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).知识点利用三边关系判定两个三角形相似41.相似三角形的判定定理三边成比例的两个三角形相似.2.符号语言如图6.4-9所示，在△ABC和△DEF

中，，∴△ABC∽△DEF.特别提醒:应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要注意边的对应情况，用大边对大边，小边对小边的思路找对应边.图6.4-10、图6.4-11中小正方形的边长均为1，则图6.4-11中的哪一个三角形(阴影部分)与图6.4-10中的△ABC相似？例4解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求三角形各边的长，紧扣“三边成比例的两个三角形相似”，用计算比较法判断.解：易知AC=，BC=2，AB=.图6.4-11①中，三角形的三边长分别为1，，2；图6.4-11②中，三角形的三边长分别为1，，；图6.4-11③中，三角形的三边长分别为，，3；图6.4-11④中，三角形的三边长分别为2，，.∵，∴图6.4-11②中的三角形与△ABC相似.解法提醒:利用三边成比例判定两三角形相似的方法：先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大三组对应边的比;最后看三组比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似.知识点利用三边关系判定两个三角形相似51.定义三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心；2.符号语言如图6.4-12，在△ABC中，AD，BE，CF分别是△ABC

的三条中线，且它们相交于点G，则点G

是△ABC的重心．反之，也成立．3.特别解读(1)根据三角形相似的性质能得出：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1：2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍.(2)重心是一个物理学概念，在重力场中，物体处于任何方位时所有各组成支点的重力的合力都通过的那一点.形状规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心.不规则物体的重心，可以用悬挂法来确定.物体的重心，不一定在物体上.特别提醒：一般情况下，如果题目告诉我们两条中线的交点，则应认识到可以运用重心的性质解决问题，同时要注意是哪两条线段的比等于1：2.填空、选择题直接运用，解答题可以通过相似得到.如图6.4-13，已知点M

是△ABC

的重心，AB＝18，MN∥AB，则MN＝___________．例56解题秘方：紧扣三角形重心的性质，结合相似三角形的知识列式计算求解．解：∵点M

是△ABC

的重心，∴AD

＝DB

＝

AB

＝9，