人教版平行四边形单元 易错题强化试卷检测试卷

一、选择题

1.在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平

分该平行四边形的面积.如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小

正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它

剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）

A.272B.75C.D.V10

2

2.如图，aABC中，ZBAC=60°,N8=45。，AB=2,点。是8c上的一个动点，点。关于

AB,AC的对称点分别是点E,F,四边形AEGF是平行四边形，则四边形A£GF面积的最小

值是（）

A.1B.—C.V2D.6

2

3.如图，菱形A8CD的边长为4,NDAB=60。，£为8c的中点，在对角线AC上存在一点

P,使APSE的周长最小，则APBE的周长的最小值为（）

A.273B.4C.273+2D.4+273

4.如图，将一个矩形纸片A6C0折叠，使点B与点。重合，若AB=3,8C=9,则折痕

E尸的长度为（）

AED

BJC

3M

A.73B.2Gc.Vio

2

5.如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC、BD相交于。，BD=2AD，E、

F、G分别是OC、OD.AB的中点，下列结论：

@BEVAC-,②EG=GF；③比FG9NGBE,④E4平分NGEE；⑤四边形

8EFG是菱形.

其中正确的是（）

A._________-.D

GYO,

A.①②③B.①③④C.①②⑤D.②③⑤

6.如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（8,0）,点尸从点。出发以1个单位长度/秒

的速度沿y轴正半轴方向运动，同时，点。从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿％轴

负半轴方向运动，设点P、。运动的时间为«0＜，＜8）秒.以PQ为斜边，向第一象限内作

等腰RtAPBQ,连接。8.下列四个说法：

①OP+OQ=8；②8点坐标为（4,4）；③四边形PBQO的面积为16；④PQ〉O8.其中

正确的说法个数有（）

QAx

7.如图，在等腰Rt^ABC中，NC=90°,AC=8,F是AB边上的中点，点D、E分别

在AC、BC边上运动，且保持AO=CE.连接。E、DF、EF.在此运动变化的过程中，下

列结论：

①△”、后是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，

③DE长度的最小值为4：④四边形CDFE的面积保持不变；

⑤△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是（）

D

'B

F

A.①②③B.①④⑤C.①③④D.③④⑤

8.如图，在ABC。中，AB=2A£＞,E是C£＞的中点，作3E_LA£＞于点E，连接

EF、BF,下列结论：①NCBF=NABE；②FE=FB；③25.阳=S四边形DEBC；

④NBFE=3/DEF；其中正确的个数是（）

9.如图，正方形A8CD的边长为4,E为8c上一点，且8E=1,F为AB边上的一个动点,

连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为（）

A.0.5B.2.5C.72D.1

10.已知菱形ABCD的面积为86，对角线AC的长为4JJ,ZBCD=60°,M为BC的中

点，若P为对角线AC上一动点，则PB+PM的最小值为（）

A.73B.2C.273D.4

二、填空题

11.如图，R3ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=5,点D是BC边上一点且CD=1,点P是线段

DB上一动点，连接AP,以AP为斜边在AP的下方作等腰RtAAOP.当P从点D出发运动

12.如图，正方形ABCD中，NDAC的平分线交DC于点E,若P,Q分别是AD和AE上

的动点，则DQ+PQ能取得最小值4时，此正方形的边长为

APD

E

B**C

13.如图，动点E、尸分别在正方形ABC。的边A。、BCh,AE=CF,过点。作

CGLEF,垂足为G,连接8G,若A5=4,则线段8G长的最小值为.

14.如图，在正方形A8CO中，点瓦/将对角线AC三等分，且AC=6.点尸在正方

形的边上，则满足P石+尸尸=5的点P的个数是个.

15.在ABC中，AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC边上的高.将A8C按如图所示的方

式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF,则DEE的周长为.

BDCBDC4）C

16.如图，在矩形ABCD中，ZACB=30°,BC=2石，点E是边BC上一动点（点E不与B,

C重合），连接AE,AE的中垂线FG分别交AE于点F,交AC于点G,连接DG,GE.设

AG=a,则点G到BC边的距离为（用含a的代数式表示），ADG的面积的最小值为

BE

17.如图，正方形ABCD的边长为4,点E为AD的延长线上一点，且DE=DC,点P为边

AD上一动点，且PC_LPG,PG=PC,点F为EG的中点.当点P从D点运动到A点时，则

18.如图，正方形ABCD面积为1，延长D4至点G,使得AG=AD,以。G为边在正

方形另一侧作菱形。GEE,其中NEFG=45°，依次延长AB,BC,CD类似以上操作再

作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点£H,M,N,则四边形

FHMN的面积为.

19.如图，矩形纸片ABCD,AB=5,BC=3,点P在BC边上，将4CDP沿DP折叠，点C落

在点E处，PE,DE分别交AB于点0,F,且0P=0F,则AF的值为.

20.如图所示，已知A8=6,点C,。在线段A8上，AC=DB=1,P是线段CD上的动

点，分别以AP,P8为边在线段A8的同侧作等边△AEP和等边△PFB,连接EF,设EF的中

点为G,当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是.

21.如图，在矩形A8CD中，AD^nAB,E,F分别在AB，BC±.

(1)若zz=l,

①如图，AF1DE，求证：AE=BF；

DC

AEB

②如图，点G为点尸关于AB的对称点，连结AG，OE的延长线交AG于”，若

AH=AD,猜想AE、BF、AG之间的数量关系，并证明你的猜想.

A

EM

(2)如图，若M、N分别为QC、AO上的点，则工的最大值为(结果用含〃

的式子表示)；

DMC

AEB

CF

(3)如图，若E为A8的中点，ZADE=/EDF.则大的值为_______(结果用含〃

BF

的式子表示).

AEB

22.在四边形ABCD中，/A=/5=/C=/D=90，AB=CD=\O,

BC=AD=8.

备用图B

(l)P为边BCtl一点，将A6Q沿直线AP翻折至女尸的位置(点B落在点E处)

①如图1,当点E落在CD边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写

作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑).并直接写出此时。E=；

②如图2,若点P为BC边的中点，连接CE,则CE与AP有何位置关系？请说明理由；

(2)点Q为射线DC上的一个动点，将AOQ沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点

。处，则;

23.如图，矩形。8CD中，0B=5,。。=3,以。为原点建立平面直角坐标系，点8,点。

分别在x轴，y轴上，点C在第一象限内，若平面内有一动点P,且满足S“°B=gs矩形

OBCD，问：

(1)当点P在矩形的对角线。C上，求点P的坐标；

(2)当点P到。，8两点的距离之和P0+P8取最小值时，求点P的坐标.

24.在ABCO中，以为边在ABC。内作等边AADE,连接3E.

(1)如图1,若点E在对角线3。上，过点A作A"_L8D于点”，且NZM8=75。,

AB=&，求AH的长度；

(2)如图2,若点F是砥的中点，且过点E作MNCF,分别交AB，

CD于点、M,N,在0c上取£>G=CN,连接CE,EG.求证：

①△CEN会ADEG；

②AENG是等边三角形.

25.已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行

线交于BE的延长线于点F,且AF=DC,连接CF.

rE

BDC

（1）求证：D是BC的中点；

（2）如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.

26.探究：如图①，△ABC是等边三角形，在边AB、8c的延长线上截取BM=C/V,连结

MC、AN,延长MC交AN于点P.

（1）求证：△ACN丝△CBM；

（2）ZCPN=°；（给出求解过程）

（3）应用：将图①的△ABC分别改为正方形A8CD和正五边形ABCDE,如图②、③，在边

AB.8c的延长线上截取BM=CM连结MC、DN,延长MC交DN于点P,则图②中

NCPN=°；（直接写出答案）

（4）图③中NCPN=。；（直接写出答案）

（5）拓展：若将图①的△ABC改为正"边形，其它条件不变，则NCPN=。（用含n

的代数式表示，直接写出答案）.

图①图②图③

27.问题背景

若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶

针点；若再满足两个顶角的和是180。，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点.

如图1,四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB=AC,DB=DC，则点A与点。

关于BC互为顶针点；若再满足“A+ND=180。，则点A与点。关于BC互为勾股顶针

图1图2图

p

初步思考

⑴如图2,在ABC中，AB=AC,ZABC=30°,D、E为ABC外两点，

EB=EC,ZEBC=45。,△O3C为等边三角形.

①点A与点关于互为顶针点；

②点。与点关于互为勾股顶针点，并说明理由.

实践操作

(2)在长方形A8C。中，AB=8,AD=1().

①如图3,点E在AS边上，点/在AO边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E、F，

使得点E与点。关于8尸互为勾股顶针点.(不写作法，保留作图痕迹)

思维探究

②如图4,点£是直线A6上的动点，点尸是平面内一点，点E与点C关于互为勾股

顶针点，直线CP与直线AO交于点F.在点E运动过程中，线段BE与线段AE的长度

是否会相等？若相等，请直接写出AE的长；若不相等，请说明理由.

28.如图，在平行四边形ABCD中，AD=30,CD=10,F是BC的中点，P以每秒1个单位长

度的速度从A向D运动，到D点后停止运动；Q沿着C->£>路径以每秒3个

单位长度的速度运动，到D点后停止运动.已知动点P,Q同时出发，当其中一点停止

后，另一点也停止运动.设运动时间为t秒，问：

(1)经过几秒，以A,Q,F,P为顶点的四边形是平行四边形

(2)经过几秒，以A,Q,F,P为顶点的四边形的面积是平行四边形ABCD面积的一

半？

BFC

29.如图，在长方形ABC。中，AB=CD=6cm,BC=10cm,点P从点8出发，以2cm/秒的

速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：

(1)PC=cm.(用t的代数式表示)

(2)当t为何值时，AABP咨Z\DCP?

(3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点。运

动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出V的值；若不存

在，请说明理由.

(1)若n=l,AF±DE.

①如图1,求证：AE=BF；

②如图2,点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H,若AH=AD,求证：AE+BG

=AG；

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.D

解析：D

【解析】

【分析】

根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得EM=DN,利用勾股定

理即可求得.

【详解】

如图，EF为剪痕,过点F作FG_L£M于G.

v将该图形分成了面积相等的两部分,

/.经过正方形ABC。对角线的交点，

...AF=CN,BF=DN.

易证APME也APON,

EM=DN,

而AF=MG,

EG=EM+MG=DN+AF=DN+CN=DC=1.

在用AFGE中，EF={FG?+EG?=M+12=回.

故选：D.

【点睛】

本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是

解题的关键.

2.D

解析：D

【解析】

【分析】

由对称的性质和菱形的定义证出四边形AEGF是菱形，得出NEAF=2/BAC=120。，当

AD_LBC最小时，AD的值最小，即AE的值最小，即菱形AEGF面积最小，求出AD=0,

即可得出四边形AEGF的面积的最小值.

【详解】

由对称的性质得：AE=AD=AF,

•・•四边形AEGF是平行四边形，

四边形AEGF是菱形，

.•./EAF=2/BAC=120°,

当AD_LBC最小时，AD的值最小，即AE的值最小，即菱形AEGF面积最小，

VZABC=45°,AB=2,

.,.AD=72>

四边形AEGF的面积的最小值=gx(V2)2x73=73.

故选：D

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、对称的性质；熟练掌握平行四边形的

性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键.

3.C

解析：c

【分析】

如下图，4BEP的周长=BE+BP+EP,其中BE是定值，只需要BP+PE为最小值即可，过点E

作AC的对称点F,连接FB,则FB就是BP+PE的最小值.

【详解】

如下图，过点E作AC的对称点F,连接FB,FE,过点B作FE的垂线，交FE的延长线于点

G

D

•菱形ABCD的边长为4,点E是BC的中点

BE=2

ZDAB=60°,ZFCE=60°

•.•点F是点E关于AC的对称点

根据菱形的对称性可知，点F在DC的中点上

则CF=CE=2

.♦.△CFE是等边三角形，，NFEC=60°,EF=2

/BEG=60°

.•.在Rt/XBEG中，EG=1,BG=6

FG=l+2=3

.♦.在R3BFG中，BF=J32+(V3)2=273

根据分析可知，BF=PB+PE

/.△PBE的周长=2百+2

故选：C

【点睛】

本题考查菱形的性质和利用对称性求最值问题，解题关键是利用对称性，将BP+PE的长转

化为FB的长.

4.C

解析：C

【分析】

设=根据勾股定理得到AE，进而得出虚的长，再证明8尸=班=5,根据

EG=AB,求出G/7的长，最后在运用勾股定理即可得到EF.

【详解】

解：过E作EGL8C于G，

AE.........D

B"C

设=则OE=BE=9-x,

在心△ABE中，AB2+AE2=BE2，

/.x2+32=(9-江

解得x=4,

：.AE=4,

.•.3石=。石=9-4=5,

/DEF=/BFE,ZDEF=ZBEF,

：.ZBFE=ABEF，

：.BF=BE=5,

：.GF=1,

・•.RtEFG中,EF=[EG2+GF2=后+F=河,

即EF的长为JiG,

故选：c.

【点睛】

本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属

于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.解题时注

意方程思想的运用.

5.B

解析：B

【分析】

由平行四边形的性质可得OB=BC,由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性

质和三角形中位线定理可判断②错误，通过证四边形BGFE是平行四边形，可判断③正

确，由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确，由ZBACX30。可判断⑤错误.

【详解】

解：...四边形ABCD是平行四边形

I

.\BO=DO=—BD,AD=BC,AB=CD,AB〃BC,

2

又；BD=2AD,

.*.OB=BC=OD=DA,且点E是。C中点，

ABEXAC,故①正确，

：E、F分别是OC、OD的中点，

1

；.EF〃CD,EF=-CD,

2

:点G是RtAABE斜边AB上的中点，

1

.,.GE=-AB=AG=BG

2

；.EG=EF=AG=BG,无法证明GE=GF,故②错误，

VBG=EF,AB〃CD〃EF

，四边形BGFE是平行四边形，

，GF=BE,且BG=EF,GE=GE,

.,.△BGE^AFEG(SSS)故③正确

：EF〃CD〃AB,

/BAC=NACD=ZAEF,

VAG=GE,

AZGAE=ZAEG,

AZAEG=ZAEF,

...AE平分NGEF,故④正确,

若四边形BEFG是菱形

1

；.BE=BG=—AB,

2

AZBAC=30°

与题意不符合，故⑤错误

故选：B.

【点睛】

本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定

理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.

6.B

解析：B

【分析】

根据题意，有OP=AQ,即可得到OP+OQ=Q4=8,①正确；当，=4时，0P=0Q=4,

此时四边形PBQO是正方形，则PB=QB=0P=0Q=4,即点B坐标为(4,4),②正确；

四边形PBQO的面积为：4x4=16,在P、Q运动过程面积没有发生变化，故③正确；由

正方形PBQO的性质，则此时对角线PQ=OB,故④错误；即可得到答案.

【详解】

解：根据题意，点P与点Q同时以1个单位长度/秒的速度运动，

.".OP=AQ,

：0Q+AQ=0A=8,

.1.0Q+0P=8,①正确;

由题意，点P与点Q运动时，点B的位置没有变化，四边形PBQO的面积没有变化，

当r=4时，如图：

则AQ=0P=4,

，0Q=8—4=4,

...点B的坐标为：（4,4）,②正确；

此时四边形PBQO是正方形，贝ijPB=QB=0P=0Q=4,

四边形PBQO的面积为：4x4=16,③正确；

•.•四边形PBQO是正方形，

；.PQ=OB,

即当f=4时，PQ=OB,故④错误；

,正确的有：①②③，共三个；

故选择：B.

【点睛】

本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及坐标与图形，解题的关键

是根据点P、Q的运动情况，进行讨论分析来解题.

7.B

解析：B

【分析】

①连接CF,证明4ADF丝Z\CEF,得到aEDF是等腰直角三角形；

②根据中点的性质和直角三角形的性质得到四边形CDFE是菱形，利用正方形的判定定理

进行判断；

③当DE最小时，DF也最小，利用垂线段的性质求出DF的最小值，进行计算即可；

④根据4ADF丝ACEF,得到Sna®CEFD=SAAFC;

⑤由③的结论进行计算即可.

【详解】

①连接CF,

「△ABC是等腰直角三角形，且F是AB边上的中点,

.,.ZFCB=ZA=ZB=45°,CF=AF=FB,

：AD=CE,

.,.△ADF^ACEF,

；.EF=DF,ZAFD=ZCFE,

；NAFD+NCFD=90°,

ZCFE+ZCFD=ZEFD=90",

•••△EDF是等腰直角三角形，①正确；

②当D、E分别为AC、BC中点，即DF、EF分别为Rt/XAFC和RtZiBFC斜边上的中线，

11

，CD=DF=-AC,FE=EC=-BC,

22

，CD=DF=FE=EC,

四边形CDFE是菱形，又NC=90。，

四边形CDFE是正方形，②错误；

③由于4DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小，

当DF±AC时，DE最小，止匕时EF=DF=LBC=4.

2

DE=y/DF2+EF2=V42+42=4V2，③错误；

©VAADF^ACEF,

SACEF=SAADF,

••S四边形CEFD二SaAFC，

・・・四边形CDFE的面积保持不变，④正确；

⑤由③可知当DE最小时，DF也最小，

DF的最小值是4,则DE的最小值为40，

当4CEF面积最大时，此时4DEF的面积最小.

此时SACEF=Spgji«CEFD-SADEF=SAAFC-SADEF=16-8=8,⑤正确；

综上，正确的是：①④⑤，

故选:B.

【点睛】

本题考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方

形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、理解点到直线的距离的概念是解题的

关键.

8.C

解析：c

【分析】

由平行四边形的性质结合AB=2AD,CD=2CF可得CF=CB,从而可得NCBF=NCFB,再根据

CD〃AB,得NCFB=NABF,继而可得NC8R=NABE,可以判断①正确；延长EF交BC

的延长线与M,证明aDFE与△CFM(AAS),继而得EF=FM=；EM,证明

NCBE=NAEB=90°,然后根据直角三角形斜边中线的性质即可判断②正确；由上可得

SABEF=SABMF,SADFE=SACFM,继而可得SAEB尸SABMF=SAEDF+SAFBC,继而可得

2SAEFB二S四边形DEBC，可判断③正确；过点F作FNJ_BE,垂足为N,则NFNE=90。，则可得

AD//FN,则有NDEF=NEFN,根据等腰三角形的性质可得NBFE=2NEFN,继而得

ZBFE=2ZDEF,判断④错误.

【详解】

•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.AD=BC,AB=CD,AD//BC,

VAB=2AD,CD=2CF,

，CF=CB,

AZCBF=ZCFB,

；CD〃AB,

.\ZCFB=ZABF,

:•NCBF=ZABF,故①正确；

延长EF交BC的延长线与M,

VAD//BC,

/.ZDEF=ZM,

又DFE=NCFM,DF=CF,

ADFE与△CFM(AAS),

.*.EF=FM=—EM,

2

VBF1AD,

，NAEB=90°,

•在平行四边形ABCD中，AD〃BC,

ZCBE=ZAEB=90°,

/.BF=—EM,

2

，BF=EF,故②正确;

VEF=FM,

•*«SABEF=SABMF,

VADFE^ACFM,

••SADFE=SACFM>

SAEBF=SABMF=SAEDF+SAFBC,

*'•2S&EFB=S四边形DEBC，故③正确；

过点F作FN_LBE,垂足为N,则NFNE二90°,

AZAEB=ZFEN,

.,.AD//EF,

AZDEF=ZEFN,

又，EF=FB,

AZBFE=2ZEFN,

/.ZBFE=2ZDEF,故④错误，

所以正确的有3个,

故选C.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判断与性质

等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题

的关键.

9.B

解析：B

【分析】

由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得

到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值.

【详解】

由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹

上运动，

如图，将AEFB绕点E旋转60°,使EF与EG重合，得到AEFBwAEHG,

从而可知AEBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上,

如图，作CM1HN,则CM即为CG的最小值，

作EPJ_CM,可知四边形HEPM为矩形，

135

则CM=MP+CP=〃E+—EC=l+2=/=2.5.

222

故选B.

【点睛】

本题考查了线段极值问题，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型.分清主动点和

从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是解本题的关键.

10.C

解析：c

【分析】

作点B关于对角线AC的对称点，该对称点与D重合，连接DM,则PB与PM之和的最小

值为DM的长；由菱形的面积可求出BD=4,由题意可证4BCD是等边三角形，由等边三角

形的性质可得DM_LBC,CM=BM=2,由勾股定理可求DM=2G.

【详解】

解：作点B关于对角线AC的对称点，该对称点与D重合，连接DM,则PB与PM之和的

最小值为DM的长；

:菱形ABCD的面积为8百，对角线AC长为4后，

，BD=4,

VBC=CD,ZBCD=60°,

/.△BCD是等边三角形，

；.BD=BC=4,

VM是BC的中点，

ADMIBC,CM=BM=2,

在RtZXCDM中，CM=2,CD=4,

•••DM=7C£)2-CM2=V16-4=2V3，

故选：c.

【点睛】

本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的性质，直角三角形勾股定

理；掌握利用轴对称求最短距离，将PB与PM之和的最小值转化为线段DM的长是解题的

关键.

二、填空题

11.272

【解析】

分析：过。点作OE_LCA于E,OF_LBC于F,连接CO,如图，易得四边形OECF为矩形，

由AAOP为等腰直角三角形得至!jOA=OP,/AOP=90。，则可证明AOAE丝△OPF,所以

AE=PF,OE=OF,根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分NACP,从而可判断当P

从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径为一条线段，接着证明

CE=g(AC+CP),然后分别计算P点在D点和B点时OC的长，从而计算它们的差即可得

到P从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径长.

详解：过。点作OE_LCA于E,OF1.BC于F,连接CO,如图，

•••△AOP为等腰直角三角形，

AOA=OP,ZAOP=90°,

易得四边形OECF为矩形，

.,.ZEOF=90°,CE=CF,

.,.ZAOE=ZPOF,

.".△OAE^AOPF,

r.AE=PF,OE=OF,

.".CO平分NACP,

.•.当P从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径为一条线段，

VAE=PF,

即AC-CE=CF-CP,

而CE=CF,

1,、

CE=—(AC+CP),

2

5

.，.OC=^CE=—(AC+CP),

2

当AC=2,CP=CD=1时，0C=—x(2+1)=22/1,

22

当AC=2,CP=CB=5时，0C=—x(2+5),

22

...当P从点D出发运动至点B停止时，点0的运动路径长=迪一£1=272.

22

故答案为2近.

点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定

轨迹的几何特征，然后进行几何计算.也考查了全等三角形的判定与性质.

12.40

【分析】

作P点关于线段AE的对称点尸，，根据轴对称将OQ+PQ转换成DP',然后当

OPLAC的时候OP是最小的，得到。P'长，最后求出正方形边长DC.

【详解】

•；AE是ZQ4C的角平分线，

.♦•P点关于线段AE的对称点一定在线段AC上，记为P'

由轴对称可以得到PQ=P'Q,

DQ+PQ=DQ+P'Q=DP',

如图，当。P'_LAC的时候DP'是最小的，也就是。Q+PQ取最小值4,

DP=4,

由正方形的性质尸'是AC的中点，且DP'=PC,

在R/OCP'中，DC=J。产+PC?="2+42=后=4万

故答案是：4夜.

【点睛】

本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出OQ+PQ取最小值的状态，

并将它转换成OP'去求解.

13.V10-V2

【分析】

连结AC,取0C中点M,连结MB,MG,则MB,MG为定长，利用两点之间线段最短解

决问题即可.

【详解】

连接AC,交EF于0,

AZEA0=ZFC0,ZAE0=ZCF0,

VAE=CF,

AAAEO^ACFO(ASA),

・・・OA=OC,

AO是正方形的中心，

；AB=BC=4,

，AC=4后，OC=2Q,

取OC中点M,连结MB,MG,过点M作MH_LBC于H,

VMC=^-OC=V2>

.\MH=CH=1,

ABH=4-1=3,

由勾股定理可得MB=序下=Vio，

在RtAGOC中，M是OC的中点，则MG=；OC=C，

VBG>BM-MG=Vi()-V2，

当B,M,G三点共线时，BG最小=JI6-0,

故答案为：VlO~\[2-

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E,F运动到AD,BC的中点时，

MG最小是解决本题的关键.

14.8个

【分析】

作点F关于BC的对称点M,连接FM交BC于点N,连接EM,交BC于点H,可得点H到

点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解.

【详解】

如图，作点F关于BC的对称点M,连接FM交BC于点N,连接EM,交BC于点H,

•.•点E,F将对角线AC三等分，且AC=6,

；.EC=4,FC=2=AE,

•.•点M与点F关于BC对称，

；.CF=CM=2,ZACB=ZBCM=45°,

AZACM=90",

，EM=7EC2+CM2=A/42+22=2^，

则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为2后<5,

在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF=4+2=6,

.•.点P在CH上时，2省〈PE+PFW6,

在点H左侧，当点P与点B重合时，

VFN1BC,NABC=90°,

；.FN〃AB,

.,.△CFN^ACAB,

FN_CN_CF_1

AB-CB-C\"3'

AB=BC=噂AC=3&

.-.FN=|AB=72»

CN=^BC=后,

；.BN=BC-CN=2及，

BF=VFN2+BN2=V2+8=V10，

；AB=BC,CF=AE,NBAE=/BCF,

.".△ABE^ACBF(SAS),

，BE=BF=JjU,

.••PE+PF=2ViO,

.•.点P在BH上时，26<PE+PF<2W，

在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF=5,

同理在线段AB,AD,CD上都存在两个点使PE+PF=5.

即共有8个点P满足PE+PF=5,

故答案为8.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H,使点H到点E和点F的距

离之和最小是本题的关键.

15.15.5

【分析】

先根据折叠的性质可得AE=Z）瓦NE4D=NED4,再根据垂直的定义、直角三角形的性

质可得NB=NBDE，又根据等腰三角形的性质可得从而可得

DE=AE=BE=6,同理可得出£）歹=A尸=b=5,然后根据三角形中位线定理可得

EF」BC=45,最后根据三角形的周长公式即可得.

2

【详解】

由折叠的性质得：AE=DE,NEAD=NEDA

AD是BC边上的高，即A£>_L8c

：.ZB+ZEAD=90°,ZBDE+ZEDA=90°

ZB=ZBDE

:.BE=DE

：.DE=AE=BE=-AB=-x{2=6

22

同理可得：DF=AF=CF=-AC=-xl0=5

22

又AE=BE,AF=CF

，点E是AB的中点，点F是AC的中点

;.EF是A3C的中位线

,-.EF=-BC=-x9=4.5

22

则。所的周长为。£+。尸+防=6+5+4.5=15.5

故答案为：15.5.

【点睛】

本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知

识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出=是解题关键.

住4-a2百

23

【分析】

先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2,AC=4,从而得CG的长，作辅助

线，构建矩形ABHM和高线GM,如图2,通过画图发现：当GE1.BC时，AG最小，即。

最小，可计算a的值，从而得结论.

【详解】

•・•四边形ABCD是矩形，

.,.ZB=90°,

VZACB=30°,BC=2百，

，AB=2,AC=4,

VAG=«,

**•CG—4—〃，

如图1,过G作MHJ_BC于H,交AD于M,

图1

RtZXCGH中，ZACB=30°,

则点G到BC边的距离为整，

2

VHM1BC,AD〃BC,

.".HM1AD,

ZAMG=90°,

VZB=ZBHM=90°,

二四边形ABHM是矩形，

；.HM=AB=2,

_4—cia

.\GM=2-GH=2-----------=—,

22

SAADG=—AD-MG=—x2-73x—=,

2222

当。最小时，^ADG的面积最小，

如图2,当GE_LBC时,AG最小，即a最小，

图2

：FG是AE的垂直平分线，

；.AG=EG,

4-a

-------=a,

2

4

••Cl—,

3

/.△ADG的面积的最小值为=

233

4-a26

故答案为:

23

【点睛】

本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以

及勾股定理，确定4ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键.

17.272

【分析】

由正方形ABCD的边长为4,得出AB=BC=4,NB=90°,得出AC=40，当P与D重合

时，PC=ED=PA,即G与A重合，则EG的中点为D,即F与D重合，当点P从D点运动到

A点时，则点F运动的路径为DF,由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是AEAG

的中位线，证得NFDA=45°,则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF±DF,此时CF最

小，此时CF=：AG=2及.

【详解】

解：连接FD

,/正方形ABCD的边长为4,

；.AB=BC=4,ZB=90°,

；.AC=4尤，

当P与D重合时，PC=ED=PA,即G与A重合，

；.EG的中点为D,即F与D重合，

当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF,

是AE的中点，F是EG的中点，

ADF是4EAG的中位线，

；.DF〃AG,

VZCAG=90°,NCAB=45°,

，/BAG=45°,

...NEAG=135°,

ZEDF=135°,

NFDA=45°,

；.F为正方形ABCD的对角线的交点，CF1DF,

此时CF最小，

此时CF=；AG=2夜;

故答案为：2&.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键.

18.13+8夜

【分析】

如图所示，延长CD交FN于点P,过N作NKLCD于点K,延长FE交CD于点Q,交NS于

点R,首先利用正方形性质结合题意求出AD=CD=AG=DQ=1,然后进一步根据菱形性质得出

DE=EF=DG=2,再后通过证明四边形NKQR是矩形得出QR=NK=0,进一步可得

FN?=FR、NR?=13+8&再延长NS交ML于点Z,利用全等三角形性质与判定证

明四边形FHMN为正方形，最后进一步求解即可.

【详解】

如图所示，延长CD交FN于点P,过N作NK_LCD于点K,延长FE交CD于点Q,交NS于

点R.

VABCD为正方形，

ZCDG=ZGDK=90°,

•.•正方形ABCD面积为1,

.•.AD=CD=AG=DQ=1,

；.DG=CT=2,

•・•四边形DEFG为菱形，

；.DE=EF=DG=2,

同理可得：CT=TN=2,

VZEFG=45O,

AZEDG=ZSCT=ZNTK=45°,

VFE//DG,CT〃SN,DG1CT,

AZFQP=ZFRN=ZDQE=ZNKT=90°,

，DQ=EQ=TK=NK=及,FQ=FE+EQ=2+夜，

VZNKT=ZKQR=ZFRN=90°,

四边形NKQR是矩形，

AQR=NK=72，

；.FR=FQ+QR=2+2近，NR=KQ=DK-DQ=V^+1一起=1,

...FN2=FR2+NR2=13+88，

再延长NS交ML于点Z,易证得：△NMZWZXFNR(SAS),

，FN=MN,ZNFR=ZMNZ,

VZNFR+ZFNR=90°,

，/MNZ+NFNR=90°,

即NFNM=90°,

同理可得：ZNFH=ZFHM=90°,

四边形FHMN为正方形，

，正方形FHMN的面积=尸解=13+8夜，

故答案为：13+8JL

【点睛】

本题主要考查了正方形和矩形性质与判定及与全等三角形性质与判定的综合运用，熟练学

握相关方法是解题关键.

20

19.—

7

【分析】

根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP,由"AAS"可证AOEF丝△OBP,可得出OE=OB、

EF=BP,设EF=x,则BP=x、DF=5-x、BF=PC=3-x,进而可得出AF=2+x,在RSDAF中,利用

勾股定理可求出x的值，即可得AF的长.

【详解】

解：•..将ACDP沿DP折叠，点C落在点E处，

；.DC=DE=5,CP=EP.

在△OEF和△OBP中，

ZEOF=NBOP

<NB=NE=90,

OP=OF

.,.△OEF^AOBP(AAS),

，OE=OB,