相似三角形动点问题（培优篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

专题4.34相似三角形动点问题（培优篇）（专项练习）

一、单选题

1.如图，在△ABC中，AB=AC=S,8c=6,点尸从点8出发以1个单位/s的速度向点A

运动，同时点。从点C出发以2个单位/s的速度向点8运动.当以B,P,。为顶点的三角

形与△ABC相似时，运动时间为（）

249249

A.—sB.|sC.上s或？D.以上均不对

2.如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3,动点P在直线AB上方，且满足SAPABS：矩影

ABCD=1：3,则使4PAB为直角三角形的点P有（）个

A.1B.2C.3D.4

3.如图，在AABC中，NAC3=90。，AC=4,8C=2.P是A8边上一动点，PgAC于

点。，点E在尸的右侧，且PE=1,连结CE.P从点A出发，沿A8方向运动，当E到达点B

时，户停止运动.在整个运动过程中，图中阴影部分面积$+$2的大小变化情况是（）.

A.一直减小B,一直不变

C.先减小后增大D.先增大后减小

4.如图所示,点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE±BC

于点E,PFLDC于点F,连接AP并延长，交射线BC于点H,交射线DC于点M,连接

EF交AH于点G,当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；

②AP=EF；③AH_LEF；④AP2=PM・PH；⑤EF的最小值是0.其中正确结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

5.如图，在△ABC中，/C=90。，点P是斜边AB的中点，点M从点C向点A匀速运动，

点N从点B向点C匀速运动，已知两点同时出发，同时到达终点，连接PM、PN、MN,

在整个运动过程中，APMN的面积的变化情况是（）

A.一直增大B.先增大后减小

C.一直减小D.先减小后增大

6.如图，在平行四边形A8CZ）中，8D是其对角线，KZDBC=90°,AB=2AZ）=4,点E

是CD的中点，点F,P分别是线段A8,80上的动点，若,且APZ花是等腰

三角形，则P尸的长为（）

A.且或6_[B.毡或若C.2叵或6D.空或拒-1

3333

7.如图，ADUBC,ZD=90°,AD=2,BC=5,DC=li,若在边0c上有点P,使△力。

与△P8C相似，则这样的点「有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E为BC中点，H,G分别是边AB,CD上的动点，

且始终保持GHLAE,则EH+AG最小值为（）

A.2eB.姬C.亚D,恒+1

222

9.如图，在四边形A8CD中，BC//A2NADC=90',点E沿着Af3fC的路径以2ca/s

的速度匀速运动，到达点C停止运动，EF始终与直线A8保持垂直，与AO或0c交于点尸,

记线段EF的长度为“的，"与时间，的关系图如图所示，则图中。的值为（）

A.7.5B.7.8C.9D.9.6

10.如图，AB=4,射线8M和AB互相垂直，点。是AB上的一个动点，点E在射线8M

上，2BE=£>8,作并截取E尸=£>E,连接AF并延长交射线8例于点C.设

BC=y,则y关于x的函数解析式是（)

\2x「2x-3x8x

A.y=---------B.y=-------------------cD.k---------

x-4'x-}-尸Fx-4

二、填空题

11.如图，平面直角坐标系中，已知点A（8.0）和点8（0,6）,点C是A8的中点，点P

在折线AOB上，直线CP截4AOB,所得的三角形与4AOB相似，那么点P的坐标是.

12.如图，在中，AB=5,。为边A8上一动点，以8为一边作正方形CDEF,当

点D从点B运动到点A时♦，点E运动的路径长为.

13.如图，在中，ZC=90°,AC=6,8c=8,点尸在边AC上，点E为边8C上

的动点，将△CEF沿直线E歹翻折，点C落在点P处.若CF=2,则点P到A8距离的最小

值为.

14.如图，正方形ABCD中，BC=2,点M是边AB的中点，连接DM,DM与AC交于点

P,点F为DM中点，点E为DC上的动点.当/DFE=45。时，则DE=.

15.如图所示，已知等边△ABC,边长为3,点M为AB边上一点，且80=1，点N为边

AC上不与A、C重合的一个动点，连结MN,以MN为对称轴，折叠△AMN,点A的对

应点为点P,当点P落在等边△ABC的边上时，AN的长为.

16.如图，在△ABC中，ZACB=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P从点B出发，以2cm/

秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为

t秒，当1=秒时，ACPQ与AABC相似.

17.已知：直角梯形OABC中，CB〃OA,对角线0B和AC交于点D,0C=2,CB=2,0A=4,

点P为对角线CA上的一点，过点P作QHLOA于H,交CB的延长线于点Q,连接BP,

如果4BPQ和APHA相似，则点P的坐标为.

18.如图，△加比:是边长为6cm等边三角形，动点尸、。同时从A、B出发，分别沿A3、BC

方向匀速运动，其中点P运动的速度是lcm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点。到达点C

时，P、。两点停止运动，在运动过程中作QR//8A交AC于点R,连接蹬，设运动的时间

为t(s),当t=s时△.

19.如图，点P在平行四边形ABCD的边BC上，将AABP沿直线AP翻折，点B恰好落

在边AD的垂直平分线上，如果AB=5,AD=8,tanB=£那么BP的长为.

20.如图，在△ABC中，AB=AC=10,点D是BC边上的一动点(不与B、C重合)，

3

ZADE=ZB=Za,DE交AB于点E,且tanZa=-,有以下的结论：©ADBE^AACD；

4

7

②△ADEsaACD；③aBDE为直角三角形时，BD为8或-；®0<BE<5,其中正确的

结论是(填入正确结论的序号)

21.如图，在矩形A8C。中，AB=8,BC=6,连接点M,N分别是边8C,DC上的

动点，连接MN,将沿MN折叠，使点C的对应点P始终落在8。上，当为

直角三角形时，线段用C的长为.

22.如图，正方形ABC。的对角线上的两个动点M、N,满足AB="WV，点P是8c的

中点，连接AMPM,若A8=6,则当AN+PM的值最小时，线段AN的长度为.

23.边长为8的正方形ABCD中，点P在BC边上，CP=2,点Q为线段AP上一动点，射

线BQ与正方形ABCD的一边交于点R,且AP=BR,那么笠=____________

BQ

三、解答题

24.如图1,在矩形A8CD中，43=8,AO=10,E是C£>边上一点，连接AE,将矩形4BCD

沿AE折叠，顶点。恰好落在边上点尸处，延长AE交3c的延长线于点G.

(1)求线段CE的长；

(2)如图2,M,N分别是线段AG,DG上的动点(与端点不重合)，且=

设AM=x,DN=y.

①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；

②是否存在这样的点M，使AOMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请

说明理由.

25.如图，在RSABC中，ZC=90°,AC=20cm,BC=15cm,现有动点P从点A出发，沿

AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cmz

秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设

运动时间为t秒.求：

(1)当t=3秒时，这时，P,Q两点之间的距离是多少？

(2)若ACPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式.

(3)当t为多少秒时，以点C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？

26.已知：如图，在RtAACB中，ZC=90°,BC=3cm,AC=3Gcm,点P由B点出发沿

BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速

度为百cm/s；若设运动的时间为t(s)(OVt<3),解答下列问题：

(1)如图①，连接PC,当t为何值时△APCs/SACB,并说明理由；

(2)如图②，当点P,Q运动时，是否存在某一时刻t,使得点P在线段QC的垂直平分线上，

请说明理由；

(3)如图③，当点P,Q运动时，线段BC上是否存在一点G,使得四边形PQGB为菱形？若

存在，试求出BG长；若不存在请说明理由.

27.如图，点B在线段AC上，点D,E在AC同侧，/A=/C=90。，BD1BE,AD=BC.

(1)求证：AC=AD+CE；

⑵若AD=3,CE=5,点P为线段AB上的动点，连接DP,作PQLDP,交直线BE于点Q；

DP

⑴当点P与A,B两点不重合时，求远的值：

(ii)当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径(线段)长.(直接写

出结果，不必写出解答过程)

参考答案

1.C

【分析】

首先设ts时4ABC与以B、P、Q为顶点的三角形相似，则BP=t,CQ=2t,BQ=BC-CQ=6-2t,

然后分两种情况当△BAC^ABPQ和当△BCAs^BPQ讨论.

【详解】

解：设运动时间为右，则

BP=t,CQ=2t,BQ=BC-CQ=6-2t,

当ABACS^BPQ,瞿=瞿，

AbBC

f6-24

即2r-

8-61-1-

当△BCAsaBPQ,皆=亲，

即,解得f=”，

oo5

249

综上所述，当以8,P,。为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为jys或：s,

故选：C.

【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，注意数形结合思想与分类讨论思想的运用.

2.D

【分析】

分当点P在AD上时，则NA4B=90"；当点P在BC上时，则NPBA=90;

当点P在矩形ABCD内部时，则ZAPB=90,三种情况进行讨论.

【详解】

1••四边形ABCD为矩形.

S中形ABCD=A3,AD=5x3=15,

PABABCD

「SA：S矩形=1：3,

当点P在AD上时，则/PA5=90,

即gx5xE4=5,

故点P在AD上且R4=2时，△PAB为直角三角形.

当点P在BC上时，则NPBA=905,

即，-x5xPB=5,

2

故点P在BC上且P8=2时，△PAB为宜角三角形.

当点P在矩形ABCD内部时，则ZAPB=90,

作P£_L4?于点E,如图所示.

即;x5xPE=5,

由ZAPB=90\可知：AAPES.PBE,

设AE=x,则3E=5-x,.

解得：玉=l,x?=4,

A£=l或AE=4,

在矩形ABCD内部时，符合条件的点P有2个.

综上所述，符合条件的点P共有4个.

故选D.

【点拨】考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解一元二次方程

等，注意分类讨论思想在解题中的应用.

3.C

【解析】

【分析】

设PD=x,AB边上的高为h,想办法求出AD、h,构建二次函数，利用二次函数的性质解

决问题即可.

【详解】

解：在RAABC中，VZACB=90°,AC=4,BC=2,

AB=ylAC2+BC2=a2+2=2#>

设PD=x,A5边上的高为/?,则人=4£匹=拽，

AB5

PD//BC,

PDAO

••—;=;，贝!JA。=2x，AP=>/5x,

DCAC

当点E到达点8时，

■:PD//BC,

，嘿啮佟翁,解得好告

A0<x<2-—.

5

2

/.S,+S2=g.2『x+；(2石-1-岳)•容=(x-l)+3-半.

故当0<x41时，5+§2的值随x的增大而减小；

当1<X«2-亚时，5+§2的值随X的增大而增大.

故选C.

【点拨】本题考查动点问题的函数图象、三角形面积，平行线的性质、勾股定理等知识，解

题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型.

4.C

【分析】

由点P为BD中点时，MC=OrMF,可得①错误；连接PC,交EF于O,由点P在BD上，

可得AP=PC,根据PFLCD,PE±BC,NBCF=90。可得四边形PECF是矩形，可得EF=PC,

即判断②正确；利用SSS可证明△APD丝ZXCPD,可得NDAP=NDCP,由矩形的性质可得

ZOCF=ZOFC,即可证明/DAP=/OFC,可得/DAP+/AMD=/OFC+NAMD=90。，即

可判断③正确；根据平行线的性质可得NDAP=/H,可得NDCP=NH,由/HPC是公共角

PCPM

可证明ACPMs^HPC,根据相似三角形的性质可得*=察，根据PC=AP即可判断④

PHPC

正确，当PC±BD时PC的值最小，根据等腰直角三角形的性质可求出PC的最小值为近，

根据EF=PC即可判断⑤正确；综上即可得答案.

【详解】

当点P为BD中点时，点M与点C重合，MC=O#MF,故①错误，

连接PC,交EF于0,

•.•点P在BD上，BD为正方形ABCD的对角线，

；.AP=PC,

VPF1CD,PE1BC,NBCF=90°,

四边形PECF是矩形，

；.EF=PC,

；.AP=EF,故②正确，

VAD=CD,AP=PC,PD=PD,

.".△APD^ACPD,

.,.ZDAP=ZDCP,

・・•四边形PECF是矩形，

AZOCF=ZOFC,

/.ZDAP=ZOFC,

，ZDAP+ZAMD=ZOFC+ZAMD=90°,

AZFGM=90°,BPAH1EF,故③正确，

VAD//BH,

.'.ZDAP=ZH,

VZDAP=ZDCP,

.\ZMCP=ZH,

VZCPH为公共角，

/.△CPM^AHPC,

.PCPM

••=,

PHPC

VAP=PC,

；.AP2=PM・PH,故④正确，

当PCLBD时，PC有最小值，PC=2BD=垃，

；PC=EF

•••EF的最小值为正，故⑤正确，

综上所述：正确的结论有②③④⑤，共4个，

故选C.

【点拨】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握

相似三角形的判定定理及正方形的性质是解题关键.

5.D

【解析】

如图所示，连接CP,点P是AB的中点，所以S“CP=S.BCP=；SMC,开始运动时，SAMPN=S.ACP

;运动结束时，S.PN=S.BCP；当点M到达AC的中点时,点N到达BC的中点，5/MN，

所以整个运动过程中,△PMN的面积大小变化情况是先减小后增大，故选D.

点睛：本题主要考查了三角形的动点问题，解答本题的关键是要通过看图获取信息，不仅可

以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力.

6.D

【分析】

分两种情况讨论，(1)当=时，过点P作PGLOE于点G,根据已知条件得出

ZPDG=ZABP=30°,BD=2APD=正,继而得出8P=生叵，再利用相似三角形的

33

性质即可得解；(2)当OE=OP=2时，8P=2右一2,PF=gpB=6-T.

【详解】

解：分两种情况讨论：

(1)如图①，当=时，过点P作尸G_L0E于点G,则。G=，AB=L

4

•・•四边形458是平行四边形，ZDBC=ZAPB=90°,AB=2AD=4,

.••4皿是直角三角形.

ZPDG=ZABP=30°.BD=4ABr-AD1=26・二PD=———=空.

cosNPDG3

eD-P£)=2>/3--=—,

33

又；；.APBF是直角三角形,且NP8尸=30，.

・

・•DPJ7F=1—DPAB=---;

23

(2)如图②，当£)E=£>P=2时，BP=2拒-2,；.PF=gpB=6-L

综上所述，P尸的长为名叵或石-1.

3

故选：D.

【点拨】本题考查的知识点是利用相似三角形的性质求解，属于较难题.失分的原因是：由

于等腰APDE的腰不确定，则需要根据题意分类讨论.并且注意条件“AABQ-APBF''和

与AP肝相似”之间的区别，前者顶点必须对应，后者不需要顶点对应，则需要考虑

更多的情况.

7.C

【分析】

根据已知分两种情况APADs^PBC或APADs^CBP来进行分析，求得PD的长，从而确

定P存在的个数.

【详解】

解：如图,

VDC=11,AD=2,BC=5.

设PD=x,则PC=U-x；

①若PD：PC=AD：BC,则4PAD^APBC

解得：x=^22-,^PD=2—2.

77

②若PD：BC=AD：PC,则APADs/XCBP

x_2

••一二,

511-x

解得：x=l或x=10,即PD=1或PD=10.

...这样的点P存在的个数有3个.

故选：C.

【点拨】此题考查了相似三角形的判定：

①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；

③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似.平行于三角形一边的直线截

另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似.

8.B

【分析】

过G作GN_LAfi于N,依据,即可得到由的长；以AG,A”为邻边作平

行四边形AEWG,可得AG+HE=ME+HE,当H,E，M在同一直线上时，4G+HE的最小

值等于的长，再根据勾股定理求得的长，即可得到硝+AG的最小值.

【详解】

解：如图所示，过G作GN_LAB于N,则Z/WG=90。，GH=AD=2,

-.GHLAE,

ZANG=ZAFG=9(f,

:.Z.BAE=ZNGH,

:.^ABE^/\GNH,

.AEAB

"而一丽’

1••RtAABE中，AE=-JAB2+BE2=V42+12=x/17，

.Vn=4

"GH-2"

,-.G//=­,

2

如图所示，以AG,AH为邻边作平行四边形A£MG,则AG=ME,GM=AE=®

ZHGM=ZAFG=90°,

:.AG+HE=ME+HE,

当H,E,"在同一直线上时，AG+HE的最小值等于MW的长，

此时，RtZxGHM中，HM=dHG。+GM?=J(?产+(炳尸=半，

.•.EH+AG的最小值为姮，

2

故选：B.

【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，在判定两个三角形相

似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，

寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形：或依据基本图形时图形进行分

解、组合；或作辅助线构造相似三角形.

9.B

【分析】

由图象可知，点E从点A运动到点B用了4s,可得AB=8cm,此时BM=EF=6cm,根据

勾股定理可得AM=10cm；当t=6时，EF=6,可得DN=6cm,根据相似三角形的性质可

得CN=3.6cm,进而得出a的值.

【详解】

如图所示，作BM_LAB,交AD于点E,作DN〃BM,交BC于点N,

由题意可知，AB=4x2=8(cm),BM=6cm,DN=6cm,

AM=yjA^+BM-=782+62=10(cm),

：BC〃AD,ZADC=90°,

ZC=90°,

又：DN〃BM,

ZCND=NADN=NAMB,

.,.△CDN^ABAM,

A

.'.CN=6x—=3.6(cm),

10

・・・a=6+3.6=2=7.8.

故选：B.

【点拨】本题考查了动点问题的函数图象，理清题意，利用数形结合的方法得出相关线段的

长是解答本题的关键.

10.A

【分析】

作点/作/GJ_BC于G,依据已知条件求得△得出尸G=8E=x,EG=DB

=2x,然后证得△FGCS^ABC,再根据相似三角形的性质即可求解..

【详解】

作点/作于G,

•：NDEB+NFEG=90。,NDEB+NBDE=90°；

：・/BDE=NFEG,

在^OBE与AEG尸中，

/B=NFGE

<ZBDE=ZFEGf

DE=EF

:•△DBEqAEGF(AAS),

:・EG=DB,FG=BE=x,

:・EG=DB=2BE=2x,

GC=y-3x,

VFG1BC,ABLBC,

：,FG//AB,

:AFGCSAABC,

：.CG：BC=FG：AB,

Xy-3x

即BllV=--------，

4y

.12x

••y=--------

x-4

故选A.

【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线

是解决问题的关键.

7

11.(0,3)、(4,0)、(-,0)

4

【分析】

分类讨论：当PC〃OA时，ABPCs/xBOA,易得P点坐标为（0,3）；当PC〃OB时,

AACP^AABO,易得P点坐标为（4,0）；当PCLAB时，如图，由于NCAP=NOAB,

则RsAPCsRsABC,计算出AB、AC,则可利用比例式计算出AP,于是可得到OP的

长，从而得到P点坐标.

【详解】

解：当PC〃OA时，XBPCSXBOA,

由点C是AB的中点，可得P为。8的中点,

此时P点坐标为（0,3）；

当PC〃O8时，^ACP^/XABO,

由点C是A8的中点，可得P为。A的中点,

此时尸点坐标为（4,0）；

当PCLAB时，如图,

NCAP=NOAB,

RtzMPCsRtzMBO,

ACAP

~OA~~ABy

点A(8,0)和点8(0,6),

AB-yjd1+s2=10,

点C是AB的中点,

AC=5,

5_AP

京一而，

，

4

257

：.OP=OA-AP=S——=-,

44

7

此时尸点坐标为(二，0),

4

7

综上所述，满足条件的尸点坐标为(0,3)、(4,0)>(-,0).

4

7

故答案为(0,3)、(4,0)、(-,0)

4

【点拨】本题考查/相似三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，掌握相似三角形的

性质是解题的关键.

12.572

【分析】

如图，构造等腰RSCBG,ZCBG=90°,则由ACGEs/XCBD,得GE=75BD,即可求得

点E运动的路径长.

【详解】

如图：作GBJ_BC于B,取GB=BC,

当点D与点B重合时，则点E与点G重合，

ZCBG=90°,

.•.CG=0BC,ZGCB=45°,

,••四边形CDEF是正方形，

.•.CE=V2DC,ZECD=45°,

ZBCD+ZDCG=NGCE+/DCG=45。，

.\ZBCD=ZGCE,且黑=建=血,

BCDC

.'.△CGE^ACBD,

GFCPr-

：.——=—=41,即GE=0BD,

BDDC

VBD=5,

点E运动的路径长为GE=&BD=5O.

【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理

和性质定理是解题的关键.

【详解】

如解图，延长EP交A3于点M,当尸时，点尸到A8的距离最小（点尸在以F为圆心,

AFFM

C尸为半径的圆上）.・・・Z4=N4,ZAMF=ZC=90°,:.^AFM^ABC

tABoC

vCF=2,AC=6,BC=S,:.AF=4,AB=y/AC2+BC2=10,.*=等，..根=g，

•.•PF=CF=2,.•.点P到边AB距离的最小值是号.

14.

6

【分析】

如图，连接首先求出。河、。尸的长，证明AD防SAPPC,可得D票F二D养E，即求出。石.

【详解】

解：•・,四边形A3CO是正方形，

:.AB=BC=CD=DA=2,ZDAB=90°,ZDCP=45°,

•・•点M是边AB的中点，

AM=BM=1,

在RtAADM中，DM=\lAD2+AM2=V22+l2=>/5，

,;AM"CD,

•AM_加4_1

~DC~~PD~2"

：.DP=2PM,

DP=-DM=—,

33

・・,点F为DM中点，

DF=-DM=—

22f

*.•ZDCP=ZDFE=45°,NCDP=/FDE

：.CDP〜jVE

,DPDC

"DE-OF

2后y/5

即有QE-DPRF-32「5.

DC26

故答案是：

o

【点拨】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比

例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.

15.1或5-JH

【分析】

分点P落在AC上时和点P落在BC上时两种情况，分别运用相似三角形的性质构建方程组

解答即可.

【详解】

解：分为两种情况：

①当点P落在AC边上时，如图1所示.

由折叠可知：AA7=PM

,/ZA=60°

...△APM为等边三角形

二AP=AM=AB-BM=3-1=2

：.AN=-AP=l；

2

②当点P落在BC边上时，如图2所示.

设4V=x

由折叠可知：PM=AM=AB-BM=2

PN=AN=x,ZA//W=Z4=60°

，CN=3-x

易证：APBMsaNCP（“一线三等角“模型）

.PBBMPMPB1_2

"~NC~~CP~UP'^C~~CP~1

：.PB=--2,CP=-x

x2

■:PB+PC=BC=3

：.--2+-x=3

x2

整理得：X2-10X+12=0

解之得：^=5-713,^=5+713（舍去）

AN=5-岳

综上所述，AN的长为I或5-4L

【点拨】本题考查翻折的性质、相似三角形的判定和性质以及含30。角的直角三角形的性质,

准确寻找相似三角形是解答本题的关键.

16.或4.8

【解析】

试题分析：当CP和CB是对应边时，ACPQSACBA,所以土=丝，即生二冬=工，解

CBCA1612

得t=4.8；

当CP和CA是对应边时，ACPQs^CAB,所以三=舞，即"/=］，解得t=兽.

CACB121611

64

综上所述，当t=4.8秒或分秒时，ACPQ与ACBA相似.

点睛：本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情

况讨论.分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比

例列式计算即可得解.

17.P(1,|)

【分析】

先根据点A、点C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，当4BQP-AAHP时和

△BQP-APHA时，利用相似三角形的性质就可以求出点P的坐标.

【详解】

VOC=2,OA=4,

AC(0,2),A(4,0).

2=h

设直线AC的解析式为y=kx+b,由题意，得

0=44+匕'

b=2

解得，1.

K-——

2

故直线AC的解析式为：y=-gx+2.

VQH1OATH,交CB的延长线于点Q,

；.QH在点B的右侧,

如图：①当△BQPs^AHP时,

则警符

.,.BQ«PH=AH«PQ.

;点P在直线AC上，设点P的坐标为(x,-1x+2)(0<x<4),

；.CQ=x,OH=x,PH=-yx+2,

VCB=2,0A=4,0H=2,

BQ=x-2,AH=4-x,PQ=；x.

•*.(x-2)(-7x+2)=(4-X)(-yx),

解得X=4(舍去).

②当△BQP^APHA时，

则理=丝，即BQ・AH=PH・PQ,

PHAH

(x-2)(4-x)=(-yx+2)(yx),

Q

解得Xi=-,X2=4(舍去)

2

贝R，

oo

则p《，y).

:.p,-).

33

Q0

故答案为p(pj).

【点拨】本题考查相似三角形的性质的运用、待定系数法求直线的解析式的运用及分类讨论

思想的运用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.

18.1.2

【分析】

先证4CRQ为等边三角形，并用含t的式子表示图中的相关线段，山QR〃BA推得

NQPR=NAPR,从而△PRQ中再有一个角等于NA,即等于60。，即可得△APRS^PRQ.

根据相似三角形的性质列比例式求解即可.

【详解】

解：•••△A8C是边长为6cm等边三角形，

ZA=ZB=ZC=60°

•/QRHBA,NCRQ=NA=60°,ZCQR=ZB=6Q°

•••△CR。为等边三角形

；点P运动的速度是lcm/s，点Q运动的速度是2cm/s

=PB=6-t,BQ=2t,CQ=CR=RQ=6—2t,AR^2t

■；QR//BA；.NQRP=ZAPR

若要△APRSWQR,则需满足ZRPQ=60。

，NBPQ+ZAPR=120°,ZARP+ZAPR=120°

：.2BPQ=AARP,又•••Z4=N8

/.AAPRsABQP；里=吆

ARAP

——=-,解得f=1.2

2tt

【点拨】本题属于动点问题与相似三角形的综合问题，用含t的代数式表示相关线段，并找

到等量关系是解题的关键，本题难度较大.

19.或7

【解析】

【分析】

①如图1,过A作于H,连接。Q，设AH=4x,BH=3x,根据勾股定理得到A8

=迎42+8”2=5X=5,根据旋转的性质得到A夕=48=5,AM=DM^AD=4,NAMN=

NHNM=90。,根据勾股定理得到MB'jAB，?+4M2=3,求得HN=MN=4,根据相似三

角形的性质即可得到结论；

②如图2,由①知，MN=4,MB'=3,BN=1,求得NB=NB:推出点P与N重合，得到

BP=BN=7.

【详解】

①如图1,过4作连接。用，

设BB'与AP交于E,

AC的垂直平分线交AO于M,BC于N,

.tan8=—BH=3

・••设A”=4x,BH=3x,

•\AB=y/AH24-BH2=5X=5,

：.AH=4,BH=3,

•••将小ABP沿直线AP翻折，点8恰好落在边4。的垂直平分线MN上，

：.AB'=AB=5,AM=DM=-AD=4,NAMN=NHNM=90°,

2

・•・四边形AHNM是正方形，MBf=yjAB'2AM2=3»

:・HN=MN=4,

:・BN=1,B'N=1,

:.BB』7BN2”N2=5小

・・・B£=迦』苧，

*/NBEP=/BNB，=90。,/PBE=NB，BN,

:.△BPEs/\BBN

,PBBE

BB'BN

5V2

・,・空=工，

5>/27

25

：.BP=~

7

②如图2,由①知，MN=4,MB'=3,BN=7,

：.NB=NB',

...点N在B夕的垂直平分线上，

•.•将△ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的垂直平分线上，

点P也在83'的垂直平分线上，

点P与N重合，

BP=BN=1,

综上所述，BP的长为弓或7.

故答案为：m或7.

【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确的作

出图形是解题的关键.

20.①③

【解析】

®VAB=AC,/.ZB=ZC,XVZADE=ZB/.ZADC=180°-a-ZBDE,

VZBED=180°-a-ZBDE,AZBED=ZADCAADBE^AACD,故①正确;

@VZB=ZC,.,.ZC=ZADE,不能得到△ADES/^ACD；故②错误，

③当NAED=90。时，由①可知：△ADES^ABD,/.ZADB=ZAED,

VZAED=90°,.，.ZADB=90°,即ADLBC,

•.•AB=AC,，BD=CD,/ADE=NB=a且cosa=0.8,AB=10,BD=8.

当NBDE=90°时，易ABDEsaCAD,,.,ZBDE=90O,/.ZCAD=90°,

NB=a且cosa=0.8.AB=10,cosC=0.8,.,.CD=12.5,BD=BC-CD=3.5；

故③正确.

④过A作AG_LBC于G,,.•cosa=0.8,，BG=8,...BC=16,易证得△BDE^ACAD,

设BD=y,BE=x,...笑=北，....••■^-=2,整理得：y2-16y+64=64-lOx,

De,i。一yx

即(y-8)2=64-lOx,.,.0<x<6.4.故④错误.故答案为①③.

21.日或。

【分析】

分两种情形：如图1中，当/。M8=90。时，四边形PA/CN是正方形，设CM=PM=PN=

CN=x.如图2中，当NBPM=90。时，点N与。重合，设MC=MP=y.分别求解即可.

【详解】

解：如图1中，当/尸旭8=90。时，四边形尸MCW是正方形，设CM=PM=PN=CN=x.

・：PM〃CD,

.PMBM

U，~CD~~BC'

.x6-x

如图2中，当NBPM=90。时，点N与/）重合，设MC=MP=y.

：8=8,BC=6,/C=90。，

BD=-JBC-+CD2=V62+82=10>

•:PD=CD=8,

：.PB=BD-PD=\0-S=2,

■:BMP=PB?+PM2,

(6-y)2=22+y2,

.8

.8

..rCKJMI=-,

3

综上所述，CM的值为，或g.

故答案为：令或

【点拨】本题考查矩形的性质，相似二角形，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨

论的思想思考问题，属于中考常考题型.

22.2A/5

【分析】

过P作PE〃BD交CD于E,连接AE交BD于N,过P作PM〃AE交BD于M,此时，

AN+PM的值最小，根据三角形的中位线的性质得到PE=；BD,根据平行四边形的性质得

到EN=PM,根据勾股定理得到AE=UB75F=3/，根据相似三角形的性质即可得到

结论.

【详解】

解：

过P作PE〃BD交CD于E,连接AE交BD于N,过P作PM〃AE交BD于M,此时，

AN+PM的值最小

：P为BC的中点

；.E为CD的中点

，PE」BD

2

；AB=EBD,AB=0MN

AMN=-BD

2

/.PE=MN

・・・四边形PEMN是平行四边形

；.EN=PM

AE=4ADT+DE1=3百

；.AB〃CD

-,.△ABN^AEDN

.AN_AB

••-----------=L

NEDE

，AN=2万

故答案为26.

【点拨】本题考查了轴对称——最短路径问题、正方形的性质以及相似三角形的判定与性质,

题目综合性很强，属于较难题目.

23.313或1

12

【分析】

分两种情形：①当R在AD边上时，易得ZAQRS/PQB且相似比为1:1,从而得解；②当

R在CD上时，先证明8R_L4P,再根据等面积法计算BQ,根据线段的和差计算QR,计算比

值即可得解.

【详解】

①当R在边上时，

•••四边形ABCD为正方形

AZBAR=ZABP=90°,AR//BP

又,：AP=BR、AB=AB,

：."BP丝△BAR,

：.AR=BP,

'：AR//BP,

J.AAQR^APQB

.QR_AR

・•瓦一再一L

②当R在CD上时，

•••四边形ABCD为正方形

.,.ZABC=ZBCR=90°,AB=BC

又；AP=BR

.△ABPmABCR,

：.ZHAP=ZCBR,

'：NCBR+NABR=90°,

：.ZBAP+ZABR=90°,

：.ZAQB=90°,

：.BR1.AP,

'：AB=S.BP=6,

AP=BR=^62+82=10，

AB-BP=LAP-BQ,

22

242426

，BQ专0R=1O-：W，

,,BQ勺12

13

故答案为1或核

【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质.能

根据题意作图，并得出需分两种情况讨论是解决此题的关键，在第②种情况中，能采用等面

积法求BQ能使过程更加简单.

24.(1)CE=3：(2)①当x=4君时，V有最小值，最小值=2；②存在.满足条件的x的

值为8百-10或凶.

2

【分析】

⑴由翻折可知：AD=AF^IO.DE^EF,设EC=x,则OE=EF=8—x.在R/AEC户中，利

用勾股定理构建方程即可解决问题.

An

⑵①证明A/WMSAGMN,可得诉=",由此即可解决问题.

MCJCJN

②有两种情形：如图3-1中，当=时•如图3-2中，当MN=DN时,作MH,10G于

H.分别求解即可解决问题.

【详解】

解：(1)如图1中，

,••四边形A5C。是矩形，

AAD^BC=\0,AB=CD=8,

ZB=ZBCD=90°,

由翻折可知：AD=