第八节 完全平方公式

第八节完全平方公式目标导引-1.8完全平方公式1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力.2.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算.3.了解(a+b)2=a2+2ab+b2的几何背景.迁移发散迁移你能运用本节课知识解答下列几个题目吗？1.已知：a+b=-5,ab=-6,求a2+b2.点拨：同时存在a+b,ab,a2+b2的公式为完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，将题目中所给条件分别看作整体，代入公式即可.注意：Ⅰ.不要分别求出a和b，运算繁琐.Ⅱ.若已知a+b（或a-b）,ab,a2+b2中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者.解：a2+b2=(a+b)2-2ab当a+b=-5,ab=-6时原式=(-5)2-2×(-6)=25+12=37.2.利用公式计算：992-1点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案.解法一：利用完全平方公式992-1=(100-1)2-1=1002-2×100×1+1-1=10000-200=9800解法二：用平方差公式第十三课时●课题§1.8.1完全平方公式(一)●教学目标(一)教学知识点1.完全平方公式的推导及其应用.2.完全平方公式的几何背景.(二)能力训练要求1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力.2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.(三)情感与价值观要求1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.●教学重点1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.2.完全平方公式的应用.●教学难点1.完全平方公式的推导及其几何解释.2.完全平方公式结构特点及其应用.●教学方法自主探索法学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后达到合理、熟练地应用.

●教具准备投影片四张第一张：试验田的改造，记作(§1.8.1A)第二张：想一想，记作(§1.8.1B)第三张：例题，记作(§1.8.1C)第四张：补充练习，记作(§1.8.1D)●教学过程Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］去年，一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡”活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种.同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径)［生］我能帮这位爷爷.［师］你能把你的结果展示给大家吗？［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.图1－25［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？［生］改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.［生］也可以把试验田的总面积看成四部分的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.Ⅱ.讲授新课1.推导完全平方公式［师］我们通过对比试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料表明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？(出示投影片§1.8.1A)想一想：(1)(a+b)2等于什么？你能用多项式乘法法则说明理由吗？(2)(a－b)2等于什么？你是怎样想的.(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)［生］用多项式乘法法则可得(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2所以(a+b)2=a2+2ab+b2 (1)［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:a>0且b>0;代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，a,b可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式.［师］同学们分析得很有道理.接下来，我们来完成第(2)问.［生］也可利用多项式乘法法则，则(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ba+b2=a2－2ab+b2.［生］我是这样想的，因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“－b”代替公式中的“b”,利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a+(－b)］2.［师］这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？我们一块试一下.［师生共析］(a－b)2=［a+(－b)］2=a2+2·a·(－b)+(－b)2↓ ↓ ↓ ↓↓↓ (a+b)2=a2+2·a·b+b2=a2－2ab+b2.于是，我们得到又一个公式：(a－b)2=a2－2ab+b2 (2)［师］你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？［生］公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.2.应用、升华出示投影片(§1.8.1B)［例1］利用完全平方公式计算：(1)(2x－3)2;(2)(4x+5y)2;(3)(mn－a)2.分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化简.解：(1)方法一：［例2］利用完全平方公式计算(1)(－x+2y)2;(2)(－x－y)2;(3)(x+y－z)2;(4)(x+y)2－(x－y)2;(5)(2x－3y)2(2x+3y)2.分析：此题需灵活运用完全平方公式，(1)题可转化为(2y－x)2或(x－2y)2,再运用平方差公式；(2)题需转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式；(3)题利用加法结合律变形为［(x+y)－z］2(或［x+(y－z)］2、［(x－z)+y］2),再用完全平方公式计算；(4)题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形，再用平方差公式和完全平方公式.解：(1)方法一：(－x+2y)2=(2y－x)2=4y2－4xy+x2；方法二：(－x+2y)2=［－(x－2y)］2=(x－2y)2=x2－4xy+4y2.(2)(－x－y)2=［－(x+y)］2=(x+y)2=x2+2xy+y2.(3)(x+y－z)2=［(x+y)－z］2=(x+y)2－2(x+y)·z+z2=x2+y2+z2+2xy－2zx－2yz.(4)方法一：(x+y)2－(x－y)2=(x2+2xy+y2)－(x2－2xy+y2)=4xy.方法二：(x+y)2－(x－y)2=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=4xy.(5)(2x－3y)2(2x+3y)2=［(2x－3y)(2x+3y)］2=［4x2－9y2］2=16x4－72x2y2+81y4.Ⅲ.随堂练习课本P34，1.计算：(1)(x－2y)2;(2)(2xy+x)2;(3)(n+1)2－n2.解：(1)(x－2y)2=(x)2－2·x·2y+(2y)2=x2－2xy+4y2(2)(2xy+x)2=(2xy)2+2·2xy·x+(x)2=4x2y2+x2y+x2(3)方法一：(n+1)2－n2=n2+2n+1－n2=2n+1.方法二：(n+1)2－n2=［(n+1)+n］［(n+1)－n］=2n+1.Ⅳ.课后作业1.课本P36.习题1.13的第1、2、3题.2.阅读“读一读”，并回答文章中提出的问题.Ⅴ.活动与探究甲、乙两人合养了n头牛，而每头牛的卖价恰为n元.全部卖完后两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后剩下不足十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该补给乙多少元钱？［过程］因牛n头，每头卖n元，故共卖得n2元.令a表示n的十位以前的数字，b表示n的个位数字.即n=10a+b,于是n2=(10a+b)2=100a2+20ab+b2=10×2a(5a+b)+b2.因甲先取10元，而乙最后一次取钱时不足10元，所以n2中含有奇数个10元，以及最后剩下不足10元.但10×2a(5a+b)中含有偶数个10元，因此b2中必含有奇数个10元，且b<10，所以b2只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81，而这九个数中，只有16和36含有奇数个10，因此b2只可能是16或36，但这两个数的个位数都是6，这就是说，乙最后所拿的是6元(即剩下不足10元).［结果］甲比乙多拿了4元，为了平均分配甲必须补给乙2元.●板书设计§1.8.1完全平方公式(一)一、几何背景试验田的总面积有两种表示形式：①a2+2ab+b2②(a+b)2对比得：(a+b)2=a2+2ab+b2二、代数推导(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2(a－b)2=［a+(－b)］2=a2－2ab+b2三、例题讲例例1.利用完全平方公式计算：(1)(2x－3)2(2)(4x+5y)2(3)(mn－a)2四、随堂练习(略)●备课资料一、杨辉杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多.他著名的数学书共五种二十一卷.著有《详解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、《乘除通变本末》三卷(1274年)、《田亩比类乘除算法》二卷(1275年)、《续古摘奇算法》二卷(1275年).杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌诀，如九归口诀。他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的“纵横图”及有关的构造方法，同时“垛积术”是杨辉继沈括“隙积术”后，关于高阶等差级数的研究.杨辉在“纂类”中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类.他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的“习算纲目”是中国数学教育史上的重要文献.二、参考练习1.填空题(1)(－3x+4y)2=.(2)(－2a－b)2=.(3)x2－4xy+=(x－2y)2.(4)a2+b2=(a+b)2+.(5)a2++9b2=(a+3b)2.(6)(a－2b)2+(a+2b)2=.2.选择题(1)下列计算正确的是()A.(m－1)2=m2－1B.(x+1)(x+1)=x2+x+1C.(x－y)2=x2－xy－y2D.(x+y)(x－y)(x2－y2)=x4－y4(2)如果x2+mx+4是一个完全平方式，那么m的值是()A.4 B.－4 C.±4 D.±8(3)将正方形的边长由acm增加6cm,则正方形的面积增加了()A.36cm2 B.12acm2C.(36+12a)cm2 D.以上都不对3.用乘法公式计算(1)(x－y)2(2)(x2－2y2)2－(x2+2y2)2(3)29×31×(302+1)(4)9992答案：1.(1)9x2－24xy+16y2(2)4a2+4ab+b2(3)4y2(4)－2ab(5)3ab(6)2a2+8b22.(1)D(2)C(3)C3.(1)x2－xy+y2(2)－8x2y2(3)809999(4)998001第十四课时●课题§1.8.2完全平方公式(二)●教学目标(一)教学知识点1.通过有趣的分糖情景，使学生进一步巩固(a+b)2=a2+2ab+b2,同时帮助学生进一步理解(a+b)2与a2+b2的关系.2.运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算.3.进一步熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是整式.(二)能力训练要求1.在进一步巩固完全平方公式同时，体会符号运算对解决问题的作用.2.进一步熟练乘法公式，提高最基本的运算技能，并且明白每一步的算理.(三)情感与价值观要求1.鼓励学生算法多样化，提高学生合作交流意识和创新精神.2.从有趣的分糖游戏中，提高学习数学的兴趣.●教学重点1.巩固完全平方公式，区分(a+b)2与a2+b2的关系.2.熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义.●教学难点1.区分(a+b)2与a2+b2的关系.2.熟练乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义.●教学方法活动探究法.●教具准备投影片四张第一张：提出问题，记作(§1.8.2A)第二张：分糖游戏，记作(§1.8.2B)第三张：例2，记作(§1.8.2C)第四张：例3，记作(§1.8.2D)●教学过程Ⅰ.创设情景，引入新课［师］上节课我们推导出了完全平方公式，现在我们来看一个问题：出示投影片(§1.8.2A)一个正方形的边长为a厘米，减少2厘米后，这个正方形的面积减少了多少厘米2？［生］原来正方形的面积为a2平方厘米，边长减少2厘米后的正方形的面积为(a－2)2平方厘米，所以这个正方形的面积减少了a2－(a－2)2平方厘米，因为a2－(a－2)2=a2－(a2－4a+4)=a2－a2+4a－4=4a－4,所以面积减少了(4a－4)平方厘米.［师］很好！这节课我们继续巩固完全平方公式.Ⅱ.讲授新课［师］下面我们来做一个“分糖游戏”.出示投影片(§1.8.2B)一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都拿出糖果招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，……(1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？(2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？(3)第三天有(a+b)个孩子一块去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？［生］根据题意，可知第一天有a个男孩去了老人家，老人给每个孩子发a块糖，所以一共发了a2块糖.第二天有b个女孩去了老人家，老人给每个孩子发b块糖，所以一共发了b2块糖.第三天有(a+b)个孩子去了老人家，老人给每个孩子发(a+b)块糖，所以一共发了(a+b)2块糖.［生］前两天他们得到的糖果总数是(a2+b2)块，因为(a+b)2－(a2+b2)=a2+2ab+b2－a2－b2=2ab.由于a>0,b>0,所以2ab>0.由此可知这些孩子第三天得到的糖果数比前两天他们得到的糖果总数要多，多2ab块糖果.［师］为什么会多出2ab块糖果呢？同学们可分组讨论多出2ab块糖的原因.(老师可参与到学生的讨论，撞击他们思想的火花)［生］对于a个男孩来说，每个男孩第三天得到的糖果数是(a+b)块，每个男孩比第一天多b块，一共多了ab块；同理可知这b个女孩第三天得到的糖果总数比第二天也多了ab块.因此，这些孩子第三天得到的糖果数与前两天相比，共计多出了2ab块.［师］不错！而这个游戏又充分说明了(a+b)2与a2+b2的关系，即(a+b)2≠a2+b2.下面我们再来看一个例题，你会有更多的发现.出示投影片(§1.8.2C)［例2］利用完全平方公式计算：(1)1022；(2)1972.如果直接计算1022，1972会很繁.根据题目的提示使我们想到1022可以写成(100+2)2，1972可以写成(200－3)2，这样计算起来会简单的多，我们不妨试一试.［生］解：(1)1022=(100+2)2=1002+2×2×100+22=10000+400+4=10404.(2)1972=(200－3)2=2002－2×3×200+32=40000－1200+9=38809［师］我们可以发现运用完全平方公式进行一些有关数的运算会很简便，也更进一步体会到符号运算对解决问题的作用.下面我们再来看一个例题(出示投影片§1.8.2D)［例3］计算：(1)(x+3)2－x2;(2)(a+b+3)(a+b－3);(3)(x+5)2－(x－2)(x－3).分析：(1)题可用完全平方公式计算，也可以逆用平方差公式计算；(2)题虽然每个因式含有三项，但可以利用加法的结合律整理成能用平方差公式计算的多项式相乘的形式；(3)题要注意运算顺序，减号后面的积算出来一定先放在括号里，然后再去括号，就可以避免符号上面出错.注意要为学生提供充分交流的机会.解：(1)方法一：(x+3)2－x2=x2+6x+9－x2——运用完全平方公式=6x+9方法二：(x+3)2－x2=［(x+3)+x］［(x+3)－x］——逆用平方差公式=(2x+3)×3=6x+9(2)(a+b+3)(a+b－3)=［(a+b)+3］［(a+b)－3］=(a+b)2－32=a2+2ab+b2－9(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)=x2+10x+25－(x2－5x+6)=x2+10x+25－x2+5x－6=15x+19［例4］已知x+y=8,xy=12,求x2+y2的值.分析：由完全平方公式(x+y)2=x2+2xy+y2,可知x2+y2=(x+y)2－2xy,故可将x+y=8,xy=12整体代入求值.解：x2+y2=(x+y)2－2xy把x+y=8,xy=12代入上式，原式=82－2×12=64－24=40Ⅲ.随堂练习1.(课本P38)利用整式乘法公式计算：(1)962(2)(a－b－3)(a－b+3)解：(1)962=(100－4)2=10000－800+16=9216(2)(a－b－3)(a－b+3)=［(a－b)－3］［(a－b)+3］=(a－b)2－32=a2－2ab+b2－92.试一试，计算：(a+b)3分析：利用转化的思想和逆用同底数幂的乘法得(a+b)3=(a+b)2·(a+b),可以使运算简便.解：(a+b)3=(a+b)2·(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+a2b+2ab2+2a2b+ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b33.已知x+=2,求x2+的值.解：由x+=2,得(x+)2=4.x2+2+=4.所以x2+=4－2=2.Ⅳ.课时小结［师］一节课在紧张而又活泼的气氛中度过了，你有何收获和体会，不妨和大家共享.［生］在有趣的分糖情景中，不仅巩固了完全平方公式，而且更进一步理解了(a+b)2与a2+b2的关系.［生］通过实例，我更进一步体会到完全平方公式中的字母a,b的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式.……Ⅴ.课后作业1.课本P38，习题1.14.2.课本P47，第5、6题.Ⅵ.活动与探究化简×+［过程］当n=1时，9×9+19=102当n=2时，99×99+199=104当n=3时，999×999+1999=106……于是猜想：原式=102n［结果］原式=(10n－1)(10n－1)+(2×10n－1)=(10n－1)2+2×10n－1=102n－2×10n+1+2×10n－1=102n●板书设计§1.8.2完全平方公式(二)一、糖果游戏(1)a2(2)b2(3)(a+b)2(4)(a+b)2的总数较多，多2ab.结果：(a+b)2≠a2+b2二、例题讲解例2.利用完全平方公式计算(1)1022(2)1972例3.计算：(1)(x+3)2－x2(2)(a+b+3)(a+b－3)(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)●备课资料参考练习1.选择题(1)下列等式成立的是()A.(a－b)2=a2－ab+b2B.(a+3b)2=a2+9b2C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.(x+9)(x－9)=x2－9(2)(a+3b)2－(3a+b)2计算结果是()A.8(a－b)2B.8(a+b)2C.8b2－8a2D.8a2－8b2(3)(5x2－4y2)(－5x2+4y2)运算的结果是()A.－25x4－16y4B.－25x4+40x2y2－16y4C.25x4－16y2D.25x4－40x2y2+16y4(4)运算结果为x4y2－2x2y+1的是()A.(x2y2－1)2B.(x2y+1)2C.(x2y－1)2D.(－x2y－1)22.填空题(1)(4a－b2)2=.(2)(－m－1)2=.(3)(m+n+1)(1－m－n)=.(4)(7a+A)2=49a2－14ab2+B,则A=,B=.(5)(a+2b)2－=(a－2b)2.3.用乘法公式计算：(1)9992;(2)20022－4004×2003+20032.4.已知,a+b=8,ab=24.求(a2+b2)的值.5.已知x+=4,求证x2+.6.已知：x2－2x+y2+6y+10=0,求x+y的值.答案：1.(1)C(2)C(3)B(4)C2.(1)16a2－8ab2+b4(2)m2+m+1(3)1－m2－2mn－n2(4)－b2b4(5)8ab3.(1)998001(2)14.85.146.－2●方法点拨［例1］计算(1)(3a+2b)2(2)(mn-n2)2点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候.同时应注意公式中2ab的符号.解：(1)(3a+2b)2=(3a)2+2·(3a)·(2b)+(2b)2=9a2+12ab+4b2注意：（2）中n2的指数2与公式中b2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”.［例2］计算(1)(-m-n)2(2)(-5a-2)(5a+2)点拨：（1）可直接用完全平方公式.由于-m与-n是同号，所以公式中的2ab取“+”.(2)中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“-”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算.解：(1)(-m-n)2=(-m)2+2·(-m)(-n)+(-n)2=m2+2mn+n2(2)(-5a-2)(5a+2)=-(5a+2)(5a+2)=-(5a+2)2=-(25a2+20a+4)=-25a2-20a-4小结：由（2）可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算.［例3］计算（1）(x-2y)2-(x-y)(x+y)(2)(m-n)(m2-n2)(m+n)点拨：（1）可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简.(2)可先利用平方差公式将m-n与m+n相乘，再将所得结果m2-n2与中间括号里的m2-n2相乘，可利用完全平方公式.解：(1)(x-2y)2-(x-y)(x+y)=(x2-4xy+4y2)-(x2-y2)=x2-4xy+4y2-x2+y2=-4xy+5y2(2)(m-n)(m2-n2)(m+n)=(m-n)(m+n)(m2-n2)=(m2-n2)(m2-n2)=(m2)2-2·m2·n2+(n2)2=m4-2m2n2+n4说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可.［例4］计算：(x+)2-(x-)2点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算：a2-b2=(a+b)(a-b)，将此题转化为平方差公式进行计算.解法一：(x+)2-(x-)2=(x2+xy+)-(x2-xy+)=x2+xy+-x2+xy-=2xy［例5］计算：(a-2b+1)(a+2b-1)点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同.先找出两个括号中完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起，构成(a+b)(a-b)的形式，利用平方差公式进行简化运算.关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化，要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变！［例6］利用公式计算：1962点拨：196接近整数200，故196=200-4，则此题可化为(200-4)2，利用完全平方公式计算.解：1962 ①=(200-4)2 ②=2002-2×200×4+42=40000-1600+16=38416说明：Ⅰ.可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算.Ⅱ.在由①到②的过程中，必须保证数的大小没有改变.［例7］某正方形边长acm，若把这个正方形的边长减小3cm，则面积减少了多少？点拨：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积=边长×边长”，表示出两个正方形的面积，用“大-小”即可得出所求.计算的关键在完全平方式的展开.解：原正方形面积：a2现正方形面积：(a-3)2面积减少了a2-(a-3)2=a2-(a2-6a+9)=a2-a2+6a-9=(6a-9)(cm2)答：面积减少了（6a-9）cm2.●作业指导课本课后习题讲解随堂练习1.(1)x2-2xy+4y2(2)4x2y2+x2y+x2(3)2n+1习题1.131.(1)4x2+20xy+25y2(2)m2-m+(3)4t2+4t+1(4)x2+xy+y2(5)49a2b2+28ab+4(6)c2d2-cd+2.解：πr2-π(r-2)2=πr2-π(r2-4r+4)=πr2-πr2+4πr-4π=(4πr-4π)(cm2)答：这个圆的面积减少了(4πr-4π)cm23.末尾两位数是25,设个位是5的两位数为10a+5,则(10a+5)2=100a2+100a+25=100(a2+a)+25由此可知后两位是25试一试1.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc随堂练习1.(1)962=(100-4)2=9216(2)(a-b-3)(a-b+3)=［(a-b)-3］［(a-b)+3］=(a-b)2-32=a2-2ab+b2-9习题1.141.(1)4x2+4xy+y2-1(2)2x-1(3)4ab(4)9y2-8xy2.解：6(a+5)2-6×52=6(a2+10a+25)-150=6a2+60a+150-150=(6a2+60a)(cm3)答：体积增加了(6a2+60a)cm3.3.(1)3969(2)996004试一试(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3八、完全平方公式班级：姓名：作业导航完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a－b)2=a2－2ab+b2一、填空题1.(2x－3y)2=_____,(a+b)2=_____.2.9x2+_____+25y2=(_____)2；_____+10xy+1=(_____+1)2.3.用完全平方公式计算1972=()2=_____=_____.4.x2－2x+_____=(_____)2；m2+4mn+_____=()2.5.(a+b)2=(a－b)2+_____,(x+)2=x2+_____.6.若4x2+mx+49是一个完全平方式，则m=_____.7.若(x－m)2=x2+x+a,则m=_____,a=_____.8.(x+)2=x2++_____.9.若(3x+4)2=9x2－kx+16,则k=_____.二、选择题10.①x2+(－5)2=(x+5)(x－5)②(x－y)2=x2－y2③(－a－b)2=(a+b)2④(3a－b)(b－3a)=－9a2+6ab－b2上面的式子中错误的有()A.4个 B.3个C.2个 D.1个11.下列多项式乘法，能用完全平方公式计算的是()A.(－3x－2)(－3x+2) B.(－a－b)2C.(－3x－2)(－2+3x) D.(3x+2)(3x－2)12.下列各式正确的是()A.(a+b)2=a2+b2B.(x+6)(x－6)=x2－6C.(x－y)2=(y－x)2D.(x+2)2=x2+2x+413.下列等式错误的是()A.(2x+5y)2=4x2+20xy