天津初中数学八年级下册期中典型试卷2

2021-2022学年下学期天津初中数学八年级期中典型试卷2

一.选择题（共12小题）

1.（2020•武汉）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.B.xW2C.x》-2D.x22

2.（2019•山西）下列二次根式是最简二次根式的是（）

A.JIB.梓C.V8D.A/3

3.（2021秋•靖西市期中）在圆的周长计算公式C=如R中，对于变量和常量的说法正确的

是（）

A.2是常量，C,IT,R是变量B.2,n是常量，C,R是变量

C.2,C,n是常量，R是变量D.2,n,R是常量，C是变量

4.（2021春•津南区期中）下列计算正确的是（）

A.V8=45/2B.V2+V3=V5c.V2XV3=V6D.虫-&=我

5.（2021春•河西区期中）下列命题中，是假命题的是（）

A.对角线互相平分的四边形是平行四边形

B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

C.对角线相等的四边形是矩形

D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

6.（2021春•抚顺期末）点尸（一«,1）在平面直角坐标系中，则点P到原点的距离是（）

A.2B.-2C.10D.5

7.（2018•红桥区一模）估计，记-1的值在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

8.（2005•杭州）在平行四边形中，ZB=110°,延长AO至凡延长C。至E,连

A.110°B.30°C.50°D.70°

9.（2020•广州模拟）已知小明的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过

程是：小明从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回

家.图中X表示时间，y表示小明离家的距离.依据图中的信息，下列说法错误的是（）

C.小明从体育场出发到文具店的平均速度是50〃?/〃而

D.小明从文具店回家的平均速度是60而加"

10.（2021春•饶平县校级期末）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成

一个四边形，这个四边形一定是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.无法判断

11.（2019春•张店区期末）正方形具有而矩形不一定有的性质是（）

A.四个角都是直角B.对角线互相平分

C.对角线互相垂直D.对角线相等

12.（2021秋•鲤城区校级期末）如图，已知矩形纸片ABCQ,AB=4,BC=3,点P在BC

边上，将△CZJP沿。P折叠，点C落在点E处，PE、QE分别交A8于点。、F,且OP

A.39B.45

1113D号

二.填空题（共6小题）

13.（2021•桂平市模拟）计算币的结果是.

14.（2021春•津南区期中）计算（加+晶）X（V6-V3）的结果等于.

15.（2021春•河西区期中）如图，。是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3,4）,

顶点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为.

16.（2009•天津）如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平

17.（2011秋•广陵区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则

化简后为.

----1---1——*~।--->

05a10

18.（2020春•天桥区期末）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形

AECF.若AB=3,则菱形AECF的面积为.

三.解答题（共7小题）

19.（2021春•南开区期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，aABC的三个

顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：

（I）在网格中画出nABCC；

(II)线段AC的长为,CD的长为,AD的长为,△ACQ为

三角形，^ABCD的面积为.

20.(2018秋•郸都区期末)如图，已知一块四边形的草地ABCD,其中NB=90°,AB=20m,

BC=15m,CD=7m,D4=24w,求这块草地的面积.

21.(2019秋•泉港区期末)一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米,

(1)这个梯子的顶端距地面有多高？

22.(2020春•天津期末)如图，在。ABCD中，点E、尸分别在边BC和上，且

(1)求证：△ABE91XCDF.

(2)求证：四边形AECF是平行四边形.

人---------------士---D

C

E

23.(2021春•津南区期中)如图，四边形A8C。是平行四边形，连接对角线AC,E、尸是

对角线AC上两点，满足AE=CF,求证：四边形。E8F是平行四边形.

24.(2019春•滨海新区期末)如图，在必88中，对角线AC、相交于点O,且。A=

OB

(I)求证：四边形ABC。是矩形；

25.（2021春•娄底期末）已知，0ABe。中，乙48c=90°,AB=4CTM,BC=8cm,AC的垂

(1)如图1,连接AACE.求证：四边形AFCE为菱形.

(2)如图1,求4尸的长.

(3)如图2,动点P、。分别从A、C两点同时出发，沿AAFS和△CQE各边匀速运动

一周.即点P自A-F-BfA停止，点。自CfQ-E-C停止，在运动过程中，点尸的

速度为每秒1。〃?，点Q的速度为每秒0.8cm,设运动时间为f秒，若当以A、P、C、Q四

点为顶点的四边形是平行四边形时，求，的值.

2021-2022学年下学期天津初中数学八年级期中典型试卷2

参考答案与试题解析

一.选择题（共12小题）

1.（2020•武汉）式子《工在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x20B.xW2C.x》-2D.x22

【考点】二次根式有意义的条件.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-220,再解即可.

【解答】解：由题意得：x-220,

解得：x-2,

故选：D.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是

非负数.

2.（2019•山西）下列二次根式是最简二次根式的是（）

A.患B.梓C.V8D.V3

【考点】最简二次根式.

【专题】二次根式.

【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，

否则就不是.

【解答】解：A、衽半故A不符合题意；

B、栏小算，故B不符合题意；

C、我=2加，故C不符合题意；

D、正是最简二次根式，故。符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不

含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

3.（2021秋•靖西市期中）在圆的周长计算公式。=如/?中，对于变量和常量的说法正确的

是（）

A.2是常量，C,IT,R是变量B.21TT是常量，C,R是变量

C.2,C,IT是常量，R是变量D.2,TT,R是常量，C是变量

【考点】常量与变量.

【专题】函数及其图象；应用意识.

【分析】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的

量.

【解答】解：在圆的周长计算公式C=如R中，C和R是变量，2、n是常量，

故选：B.

【点评】此题主要考查了常量和变量，关键是掌握变量和常量的定义.

4.（2021春•津南区期中）下列计算正确的是（）

A.78=472B.V2+V3=V5c.V2><V3=V6D.日飞=血

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，本题得以解决.

【解答】解：、后=2点，故选项A错误；

扬“不能合并为一项，故选项8错误；

7伤乂«=提，故选项C正确；

V4-V2=2-V2>故选项。错误；

故选：C.

【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计

算方法.

5.（2021春•河西区期中）下列命题中，是假命题的是（）

A.对角线互相平分的四边形是平行四边形

B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

C.对角线相等的四边形是矩形

D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

【考点】命题与定理.

【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形.

【分析】利用平行四边形及特殊的平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不符合题意;

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，是真命题，不符合题意；

C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，符合题意；

。、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确，是真命题，不符合题意，

故选：C.

【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形

的性质，难度不大.

6.（2021春•抚顺期末）点1）在平面直角坐标系中，则点P到原点的距离是（）

A.2B.-2C.10D.5

【考点】勾股定理；两点间的距离公式.

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观.

【分析】构造直角三角形，利用勾股定理直接求解.

【解答】解：由勾股定理得：一。="（_«）2+12=2.

故选：A.

【点评】本题考查了勾股定理的计算，关键在于掌握好点到两个坐标轴的距离分别是多

少.

7.（2018•红桥区一模）估计百5-1的值在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

【考点】估算无理数的大小.

【专题】计算题；实数.

【分析】估算得出所求范围即可.

【解答】解：•••9V10V16,

则2<小而-1<3,即2和3之间，

故选：B.

【点评】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键.

8.（2005•杭州）在平行四边形ABCQ中，ZB=110°,延长AD至F,延长CQ至E,连

接EF,则/£：+//=()

E.

AR

A.110°B.30°C.50°D.70°

【考点】平行四边形的性质.

【分析】要求/E+/F,只需求NAQE,而/A与/8互补，所以可以求出/A,

进而求解问题.

【解答】解：•••四边形ABC。是平行四边形，

AZA=ZAZ）£=180°-ZB=70°

VZE+ZF=ZADE

NE+N尸=70°

故选：D.

【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题.平行四边形基本性质：

①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等：③平行四边形的

两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分.

9.（2020•广州模拟）已知小明的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过

程是：小明从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回

家.图中x表示时间，y表示小明离家的距离.依据图中的信息，下列说法错误的是（）

C.小明从体育场出发到文具店的平均速度是50m/min

D.小明从文具店回家的平均速度是60而加〃

【考点】函数的图象.

【专题】函数及其图象；应用意识.

【分析】因为小明从家直接到体育场，故第一段函数图象所对应的y轴的最高点即为体

育场离小明家的距离；

小明从体育场到文具店是减函数，此段函数图象最高点与最低点纵坐标的差为小明家到

文具店的距离；

根据“速度=路程+时间”即可得出小明从体育场出发到文具店的平均速度；

先求出小明家离文具店的距离，再求出从文具店到家的时间，求出二者的比值即可.

【解答】解：由函数图象可知，体育场离小明家2.5h〃，故选项A不合题意；

由函数图象可知，小明家离文具店L5千米，离体育场2.5千米，所以体育场离文具店1

千米，故选项B不合题意；

小明从体育场出发到文具店的平均速度为：1000+(45-30)=独(〃?/加")，故选项

C符合题意；

小明从文具店回家的平均速度是1500+(90-65)=60(〃?/〃”•〃)，故选项。不合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过

程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决.需注意计算单位的统一.

10.(2021春•饶平县校级期末)如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成

一个四边形，这个四边形一定是()

A.矩形B.菱形C.正方形D.无法判断

【考点】正方形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质.

【专题】矩形菱形正方形.

【分析】由条件可知AB〃CDAD//BC,再证明AB=BC即可解决问题.

【解答】解：过点。作于E,于F.

•••两直尺的宽度相等，

：.DE=DF.

又；平行四边形ABCO的面积=48・OE=BC•力凡

：.AB=BC,

，平行四边形48CD为菱形.

故选：B.

【点评】本题考查了菱形的判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形

解决问题，属于中考常考题型.

11.（2019春•张店区期末）正方形具有而矩形不一定有的性质是（）

A.四个角都是直角B.对角线互相平分

C.对角线互相垂直D.对角线相等

【考点】正方形的性质；矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形.

【分析】根据正方形的性质和矩形的对角线的性质对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项不符合题意；

8、正方形和矩形的对角线互相平分，故本选项不符合题意；

C、正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不互相垂直，故本选项符合题意.

。、正方形和矩形的对角线都相等，故本选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了正方形的性质和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的对角线的性

质是解题的关键.

12.（2021秋•鲤城区校级期末）如图，已知矩形纸片ABC。，AB=4,BC=3,点P在BC

边上，将△COP沿。P折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交48于点。、F,且OP

=OF,则。尸的长为（）

【考点】翻折变换(折叠问题)；矩形的性质.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称.

【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP,由NEOf=NBOP、NB=NE、

OP=OF可得出△OEF丝△08P,根据全等三角形的性质可得出。£=。8、EF=BP,设

BF=EP=CP=x,贝IAF=4-x,BP=3-x=EF,DF=DE-EF=4-(3-x)=x+l,

依据RtZ\4D尸中，AF2+AD2=DF2,可得到x的值，即可得。F的长.

【解答】解：根据折叠可知：△DCPQXDEP,

：.DC=DE^4,CP=EP.

在△OEP和aOB尸中，

'NEOF=/BOP

•ZB=ZE=90°>

OP=OF

：./\OEF^/\OBPCAAS),

：.OE=OB,EF=BP,

：.BF=EP=CP,

设BF=EP=CP=x,贝ijAF=4-x,BP=3-x=EF,DF=DE-EF=4-(3-x)=x+l,

VZA=90°,

：.RtAADF中，AF2+AD2=DF2,

即(4-x)2+32=(1+x)2,

•r=12

5

.".DF=-12.+I=_1Z.

55

故选：C.

【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的

应用，解题时常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表

示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.

二.填空题（共6小题）

13.（2021•桂平市模拟）计算口^的结果是4.

【考点】算术平方根.

【专题】常规题型.

【分析】根据算术平方根的定义解答即可.

【解答】解：yl（-4）2=V16=4-

故答案为：4.

【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理.

14.（2021春•津南区期中）计算（近+«）X（灰-、后）的结果等于3.

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】根据平方差公式可以解答本题.

【解答】解：x（,\/g-

=6-3

=3,

故答案为：3.

【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计

算方法.

15.（2021春•河西区期中）如图，。是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3,4）,

顶点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为（8,4）.

【考点】菱形的性质；坐标与图形性质.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】由两点距离公式可求OA=5,由菱形的性质可得O4=A8=5,AB//OC,即可

求解.

【解答】解：•.,点A的坐标为（3,4）.

'-OA=y^2^2=5,

•.•四边形0A8C是菱形，

：.OA^AB=5,AB//OC,

.•.点8（8,4）,

故答案为（8,4）.

【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，利用数形结合思想解决问题是本

题的关键.

16.（2009•天津）如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平

行四边形共有21个.

【考点】认识平面图形.

【分析】由图形可以得到一些平行的线段，和相等的线段.判定平行四边形的方法，一

组对边平行且相等的四边形是平行四边形.首先找到平行的线段，再找出平行的线段中

的相等的，就可以找出平行四边形.

【解答】解：根据以上分析对图形中的平行四边形进行计数共21个.

故答案为：21.

【点评】解决的关键是理清思路，注意在解题的过程中不要重复和遗漏.

17.（2011秋•广陵区校级期末）实数〃在数轴上的位置如图所示，则,（3-a）2W（a-n）2

化简后为24-14.

----------1---------1・1------->

05alO

【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴.

【专题】计算题.

【分析】根据数轴表示数的方法得到5<«<10,根据丘=|a|得到原式=|3-a\-\a-\\\,

再去绝对值后合并即可.

【解答】解：•••5<aV10,

.,.原式=|3-。|-|。-11|

=-（3-〃）+（。-11）

=-3+。+。-11

=2a-14.

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：值=同・也考查了实数与数轴上的点一

一对应关系.

18.（2020春•天桥区期末）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形

AECF.若48=3,则菱形AECF的面积为」

【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的性质；矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形.

【分析】根据菱形AECF,得NR?O=NECO,再利用NECO=NECB,可通过折叠的性

质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解.

【解答】解：•.•四边形AECF是菱形，AB=3,

.•.设BE=x,贝UAE=3-X,CE=3-x,

•••四边形AEC尸是菱形，

4FCO=ZECO,

；NECO=NECB,

：.NECO=NECB=ZFCO=30°,

：.2BE=CE,

:•CE=2x,

，2x=3-x,

解得：x—\,

：.CE=2,利用勾股定理得出：

BC1+B^=EC1,

BC=VBC2-BE2=^

又\'AE=AB-BE=3-1=2,

则菱形的面积=A?BC=2«.

故答案为：

【点评】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种

对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本

题中折叠前后角相等.

三.解答题（共7小题）

19.（2021春•南开区期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个

顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：

（I）在网格中画出nABCD；

（II）线段AC的长为，遥CD的长为_遥_，的长为5,△ACD为直

角三角形,QABCC的面积为10.

【考点】作图一应用与设计作图：勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质.

【专题】作图题；几何直观.

【分析】（I）根据平行四边形的定义画出图形即可.

（II）利用勾股定理，数形结合的思想解决问题即可.

【解答】解：（I）如图，平行四边形ABC。即为所求作.

（II）AC=yj22+=2^/5,CD=Q22+]AD=yj~^2^^2=5！△ACZ）是直角

三角形，平行四边形ABC。的面积=遥/2旄=10,

故答案为：2娓,、而，5,直角，10.

【点评】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的性质等知识，解题

的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

20.（2018秋•郸都区期末）如图，已知一块四边形的草地A8CD,其中/B=90°,A8=20m,

BC=\5m,CD=1m,D4=24m,求这块草地的面积.

【专题】计算题.

【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果.连接AC,由A。、CD、

AC的长度关系可得△AC。为一直角三角形，AC为斜边；由此看，四边形ABC。由Rt

△ACD和RtAABC构成，则容易求解.

【解答】解：如图，连接AC,如图所示.

；/B=90°,AB20m,BC=15/n,

22=25,n

：.AC=y/AB2+BC2=^20+15-

"：AC=25m,CD=7m,AD=24m,

：.AD2+DC2=AC2,

...△AC。是直角三角形，且NAQC=90°,

SAABC=AXABXBC=」X20X15=150〃P,SMCD=AXCQXAQ=4X7X24=84〃？,

2222

.*.5mutK,ABCD=SA4BC+5AACD=234w2.

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，得出△ACZ）是直角三

角形是解题关键.

21.（2019秋•泉港区期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米,

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

【考点】勾股定理的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形.

【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度.

（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高

度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水

平方向上滑行的距离.

【解答】解：（1）根据勾股定理：

梯子距离地面的高度为：652-72=24米;

（2）梯子下滑了4米，

即梯子距离地面的高度为A'B=AB-A4,=24-4=20,

根据勾股定理得：25^V202+(7+CC,)2,

解得CC'=8.

即梯子的底端在水平方向滑动了8米.

【点评】本题考查的是对勾股定理在解直角三角形中的应用，要求熟练掌握.

22.(2020春•天津期末)如图，在。ABC。中，点E、尸分别在边BC和AO上，且

(1)求证：XABE仝XCDF.

(2)求证：四边形AECF是平行四边形.

-------------1-----D

【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题.

【分析】(1)根据平行四边形的性质得出AB=C£>,NB=ND,根据SAS证出△ABEg

△CDF；

(2)根据全等三角形的对应边相等即可证得.

【解答】证明：(1)•••四边形A8CQ是平行四边形，

：.AB=CD,NB=ND,

'AB=CD

在△ABE和△CD/中，<NB=ND

BE=DF

/.^.ABE^/XCDF(SAS)；

(2),:BE=DF,

：.AF=CE,

"."AF//CE,

四边形AECF是平行四边形.

人---------------£-----R

【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解

和掌握，能根据性质证出△ABE四△CDF是证此题的关键.

23.（2021春•津南区期中）如图，四边形A8C。是平行四边形，连接对角线AC,E、尸是

对角线AC上两点，满足AE=CF,求证：四边形。E8F是平行四边形.

【考点】平行四边形的判定与性质.

【专题】证明题.

【分析】首先连接BO,交AC于点O,由四边形A8CZ）是平行四边形，根据平行四边形

的对角线互相平分，即可求得。4=OC,OB=OD,又由AE=CF,可得OE=O尸，然后

根据对角线互相相平分的四边形是平行四边形.

【解答】证明：连接80,交AC于点0,

,/四边形ABCD是平行四边形，

：.OA=OC,OB=OD,

"：AE=CF,

：.OA-AE=OC-CF,

即0E=0F,

...四边形。仍尸是平行四边形.

【点评】本题考查了平行四边的判定与性质.平行四边形的判定方法共有五种，应用时

要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法.

24.（2019春•滨海新区期末）如图，在DABCD中，对角线AC、相交于点O,且。A=

0B

（I）求证：四边形ABCD是矩形：

（II）若AB=5,/AOB=60°,求BC的长.

【考点】矩形的判定与性质.

【专题】矩形菱形正方形.

【分析】（I）根据平行四边形的性质得到OA=OC=」AC,OB=OD=1BD,推出AC

22

=BD,于是得到结论；

（II）根据已知条件得到AAOB是等边三角形，求得OA=OB=AB=5,解直角三角形

即可得到结论.

【解答】（I）证明：二•四边形4BCO是平行四边形，

:.OA=OC=1AC,OB=OD=LBD,

22

'：OA=OB,

：.AC=BD,

四边形A8CZ）是矩形；

（II）'：OA=OB,NAOB=60°,

.•.△AOB是等边三角形，

：.OA=OB=AB=5,

•..四边形A8C。是矩形，

：.AC=2OA=]0,NABC=90°,

BC=VAC2-AB2=V102-52=5^-

【点评】本题考查了矩形的拍的还行在，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握矩形

的判定和性质定理是解题的关键.

25.（2021春•娄底期末）已知，nABCQ中，NA8C=90°,AB=4o",BC=8c?”，AC的垂

直平分线EF分别交A。、8c于点E、F,垂足为O.

(1)如图1,连接AF、CE.求证：四边形AFCE为菱形.

(2)如图1,求4F的长.

(3)如图2,动点P、。分别从A、C两点同时出发，沿△APB和△C£»E各边匀速运动

一周.即点P自AfEfB-4停止，点。自C-O-E-C停止，在运动过程中，点尸的

速度为每秒1cm,点Q的速度为每秒0.8cm,设运动时间为，秒，若当以A、P、C、Q四

点为顶点的四边形是平行四边形时，求，的值.

【考点】四边形综合题.

【专题】综合题：推理能力.

【分析】(1)先证明四边形ABC。为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的四边形

是菱形作出判定；

(2)根据勾股定理即可求AF的长；

(3)分情况讨论可知，P点在BF上，。点在EO上时，才能构成平行四边形，根据平

行四边形的性质列出方程求解即可；

【解答】解：(1)♦.•四边形A8CQ是矩形，

：.AD//BC,

：.ZCAD=ZACB,NAEF=ZCFE.

尸垂直平分AC,

：.OA=OC.

在△AOE和△COF中，

，ZCAD=ZACB

<ZAEF=ZCFE>

OA=OC

/.^AOE^/XCOF(AAS),

：.OE=OF(A45).

；OA=OC,

四边形AFCE是平行四边形，

'：EF±AC,

.•.四边形AFCE为菱形.

(2)设菱形的边长AF=CF=xan,则BF=(8-x)cm,

在RtZXABF中，AB=4cm,由勾股定理，得

16+(8-x)2=x2,

解得：x=5,

：.AF=5.

(3)由作图可以知道，尸点AE上时，。点CQ上，此时A,C,P,。四点不可能构成

平行四边形；

同理P点AB上时，。点DE或CE上，也不能构成平行四边形.

・・・只有当尸点在8尸上，。点在比＞上时，才能构成平行四边形，

・••以A,C,P,。四点为顶点的四边形是平行四边形时，

：.PC=QA,

•・•点P的速度为每秒点Q的速度为每秒0.8夕〃，运动时间为f秒，

：.PC=t,gA=12-0.8r,

Ar=12-0.8r,

解得：

3

.•.以A,C,P,。四点为顶点的四边形是平行四边形时，f=2&秒.

3

图1

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质的运用，菱形的判定及性质的运

用，勾股定理的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时分析清楚动点在不同的

位置所构成的图形的形状是解答本题的关键.

考点卡片

1.算术平方根

（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于m即/=〃，那么这个正数

x叫做。的算术平方根.记为

（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数〃是非负数；②算术平方根a本

身是非负数.

（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平

方根时，可以借助乘方运算来寻找.

2.实数与数轴

（1）实数与数轴上的点是一一对应关系.

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴

上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数.

（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a

的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离.

（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左

边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小.

3.估算无理数的大小

估算无理数大小要用逼近法.

思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值.

4.二次根式有意义的条件

判断二次根式有意义的条件：

（1）二次根式的概念.形如4（aZO）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被开方数的取值范围.二次根式中的被开方数是非负数.

（3）二次根式具有非负性.4（a'O）是一个非负数.

学习要求：

能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利

用二次根式的非负性解决相关问题.

【规律方法】二次根式有无意义的条件

1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开

方数都必须是非负数.

2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.

5.二次根式的性质与化简

（1）二次根式的基本性质：

①心0（双重非负性）.

②（兀）2=。（。20）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.

a（a>0）

③\厂?=同=|0（a=0）（算术平方根的意义）

|-a（a<0）

（2）二次根式的化简：

①利用二次根式的基本性质进行化简；

②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.

5/ab-''/a'iVb（a20，/?》（））（a20,b>0）

（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式：②利用积的算术平方根的性质，把被

开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一

个因数（或因式）的指数都小于根指数2.

【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法

1.常见题型：与分式的化简求值相结合.

2.解题方法：

（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简.

（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果.

（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式.

6.最简二次根式

最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因

式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不

含有可化为平方数或平方式的因数或因式.

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（"20）、x+y等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、〃2、（x+y）2、x2+2xy+），2等.

7.二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用.学习二次

根式的混合运算应注意以下几点：

①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.

②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多

项式

（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式.

（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当

的解题途径，往往能事半功倍.

8.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵

坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离

求坐标时，需要加上恰当的符号.

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过己知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，

是解决这类问题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去

解决问题.

9.两点间的距离公式

两点间的距离公式：

设有两点A（xi,yi）,B（X2,y2）,则这两点间的距离为AB=J-x2）2+-丫2）

说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式.

10.常量与变量

（1）变量和常量的定义：

在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量.

（2）方法：

①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面:

一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；

②常量和变量是相对于变化过程而言的.可以互相转化；

③不要认为字母就是变量，例如7T是常量.

11.函数的图象

函数的图象定义

对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平

面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象.

注意：①函数图形上的任意点（x,y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对X、

y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x,y）是否在函数图象上的方法是：

将点P（x,y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数

的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上..

12.认识平面图形

（1）平面图形：

一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等.

（2）重点难点突破：

通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一

平面内.

13.全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅

助线构造三角形.

14.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是“，b,斜边长为C,那么J+62=C2.

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式/+62=°2的变形有：a=yJQ2_^2,及

（4）由于aW=e2>d2,所以c>“，同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形

中的每一条直角边.

15.勾股定理的逆定理

(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长4,b,C满足/+必=02,那么这个三角形就

是直角三角形.

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形.必须满足较

小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断.

(2)运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合

其他已知条件来解决问题.

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两

条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是.

16.勾股定理的应用

(1)在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形.

(2)在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，

关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应

用.

(3)常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线

段的长度.

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为

边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和.

③勾股定理在实际问题中