2023-2024学年湘教版必修第二册 1-3向量的数乘 学案

1．3向量的数乘最新课程标准学科核心素养1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义．2．理解两个平面向量共线的含义．3．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．1.掌握平面向量的数乘运算．(数学运算)2．理解共线向量的含义．(直观想象、逻辑推理)3．了解平面向量的线性运算性质的几何意义．(直观想象)教材要点要点一向量的实数倍1．向量的数乘的定义一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作________，称为a的________倍，它的长度|λa|＝________．当λ≠0且a≠0时，λa的方向当当λ＝0或a＝0时，λa＝0a＝0或λa＝λ0＝0.求向量的实数倍的运算称为向量的数乘．状元随笔理解数乘向量应注意的问题(1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解．(2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减．如λ＋a，λ－a均没有意义．2．向量的数乘的几何意义向量的数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．要点二共线向量1．当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b________，也称a，b________，记作________．2．规定：零向量与所有的向量平行．3．两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍．即a∥b⇔存在实数λ，使得b＝________或a＝________．状元随笔向量共线定理的理解注意点及主要应用(1)定理中a≠0→，b≠0→不能漏掉.若a＝b＝0→，则实数λ可以是任意实数；若a＝0→，b≠0→，则不存在实数λ，使得b＝λa.(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使ta＋sb＝0→，则a与b共线；若两个非零向量a与b不共线，且ta＋sb＝0→，则必有t＝s＝0.要点三向量的夹角1．设a，b是两个非零向量，任选一点O，作OA＝a，OB＝b，则射线OA，OB所夹的最小非负角∠AOB称为向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．2．平面向量夹角的范围为[0，π].状元随笔(1)两个向量的夹角是唯一确定的，且〈a，b〉＝〈(2)当〈a，b〉＝0时，a，b方向相同；当〈a，b〉＝π时，a，(3)当〈a，b〉＝π2时，a，b(4)0→与a的夹角是任意大小，可以规定为0，也可以规定为π2要点四单位向量1．长度等于1个单位长度的向量．2．对于任一非零向量a，都可得到与它方向相同的唯一单位向量e＝1aa状元随笔单位向量只定义了大小，方向可以任意，方向不同的两个单位向量不相等．要点五数乘运算律一般地，设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立：(1)对实数加法的分配律：(x＋y)a＝xa＋ya.(2)对实数乘法的结合律：x(ya)＝(xy)a.(3)对向量加法的分配律：x(a＋b)＝xa＋xb.基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)实数λ与向量a的积还是向量．()(2)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．()(3)若b＝λa(a≠0)，则a与b方向相同或相反．()(4)aa表示向量a2．化简：13A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b3．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝()A．4e2B．4e1C．3e1＋6e2D．8e24．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则与AB共线(平行)的向量有________．题型1向量的线性运算例1(1)化简：123a(2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，则m＝________，n＝________．方法归纳向量线性运算的基本方法(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．跟踪训练1(1)12(2a＋8b)－(4a－2bA．－3a－6bB．6b－3aC．2b－3aD．3a－2b(2)化简：25(a－b)－13(2a＋4b)＋215(2a题型2用已知向量表示相关向量例2如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且AK＝e1，AL＝e2，试用e1，e2表示BC，方法归纳用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．跟踪训练2如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD且|AB|＝2|CD|，M，N分别是DC，AB的中点，已知AB＝e1，AD＝e2，试用e1，e2表示下列向量．(1)AC＝________；(2)MN＝________．题型3向量共线定理的应用角度1向量共线的判定例3判断下列各小题中的向量a，b是否共线(其中e1，e2是两个不共线向量)．(1)a＝5e1，b＝－10e1；(2)a＝12e1－13e2，b＝3e1－2e(3)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.方法归纳向量共线的判定一般是用其判定定理，即a是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线．角度2证明三点共线例4设a，b是不共线的两个向量．若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A，B，C三点共线．方法归纳三点共线的证明问题及求解思路(1)证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．(2)若A，B，C三点共线，则向量AB，角度3求参数的值例5设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k的值为________．方法归纳利用向量共线求参数，一种类型是利用向量加法、减法及数乘运算表示出相关向量，从而求得参数，另一种类型是利用三点共线建立方程求解参数．跟踪训练3(1)若向量a＝2e1＋e2，b＝－2e1＋3e2，则以下向量中与向量2a＋b共线的是()A．－5e1＋2e2B．4e1＋10e2C．10e1＋4e2D．e1＋2e2(2)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，则λ的值为________．易错辨析忽视向量共线的方向出错例6设两向量e1，e2不共线，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2共线，求实数t的值．解析：∵向量2te1＋7e2与向量e1＋te2共线，∴存在实数λ，使得2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，即2t＝λ，且7＝λt，解得t＝±142故所求实数t的值为±142【易错警示】易错原因纠错心得忽视两非零向量反向共线的情况而漏掉一解．向量共线应分同向与反向两种情况．课堂十分钟1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a－2bB．aC．a－6bD．a－8b2．(多选)已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为()A．－1B．3C．3D．43．在等边△ABC中，点E在中线CD上，且CE＝6ED，则AE＝()A．17ACC．37AC4．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD＝________．(用b，c表示)5．设e1，e2是两个不共线向量，AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.(1)证明：A，B，D三点共线；(2)若BF＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．1．3向量的数乘新知初探·课前预习要点一λaλ|λ||a|同向反向要点二1．共线平行a∥b3．λaλb[基础自测]1．答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：原式＝13[(a＋4b)－(4a－2b)]＝13(－3a＋6b)＝2b－答案：B3．解析：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.答案：D4．解析：根据非零向量共线的定义，与AB方向相同和方向相反的向量有BA，答案：BA题型探究·课堂解透例1解析：(1)原式＝122a+32b－a－34b＝a＋(2)把已知中的两个等式看成关于m，n的方程，联立得方程组3m+2答案：(1)见解析(2)311a＋211b111a跟踪训练1解析：(1)原式＝a＋4b－4a＋2b＝6b－3a.(2)原式＝25a－25b－23a－43b＋415a＋2615b＝25-2答案：(1)B(2)0例2解析：设BC＝x，则BK＝12x，AB＝e1－12DL＝12DC＝12AB＝12e由AD+DL＝AL，得x＋12e1－14x解方程得x＝43e2－23e1，即BC＝43e2－2由CD＝－AB，AB＝e1－1得CD＝12x－e1＝1243e2-23e1－跟踪训练2解析：因为AB∥CD，|AB|＝2|CD|，所以AB＝2DC，DC＝(1)AC＝AD+DC＝e2＋12(2)MN＝MD+DA＝－14e1－e2＋12e1＝14e1－答案：(1)e2＋12e1(2)14e1－例3解析：(1)∵b＝－2a，∴a与b共线．(2)∵a＝16b，∴a与b(3)设a＝λb，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，∴(1－3λ)e1＝－(1＋3λ)e2.∵e1与e2是两个不共线向量，∴1这样的λ不存在，因此a与b不共线．例4解析：证明：∵AB＝OB-OA＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2而BC＝OC-OB＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2∴AB与BC共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线．例5解析：∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2，∴k=8λ，2=λ∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，∴λ＝－12，k答案：－4跟踪训练3解析：(1)2a＋b＝2e1＋5e2又∵4e1＋10e2＝2(2e1＋5e2)∴4e1＋10e2＝2(2a＋b)，故选B.(2)因为向量a与b共线，所以存在唯一实数μ，使b＝μa成立．即e1＋λe2＝μ(2e1－e2)＝2μe1－μe2，所以(2μ－1)e1＝(λ＋μ)e2，又因为e1与e2不共线．所以2μ-1=0，λ答案：(1)B(2)－1[课堂十分钟]1．解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.答案：D2．解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝-32-m，解得答案：AC3．解析：因为AE＝AC+CE＝AC+67CD＝AC所以AE＝17答案