江苏省宿迁市沭阳县2024届数学高二第二学期期末综合测试试题含解析

江苏省宿迁市沭阳县2024届数学高二第二学期期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合，则等于（）A． B． C． D．2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种 B．48种 C．96种 D．192种3．已知集合P={x|x2-2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（）A． B． C． D．4．在（x－）10的展开式中，的系数是（）A．－27 B．27 C．－9 D．95．某家具厂的原材料费支出与销售量（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则为x24568y2535605575A．5 B．10 C．12 D．206．设集合A={1,3,5}，B={-3,1,5}，则A∩B=（A．{1} B．{3} C．{1,3} D．{1,5}7．已知变量x,y之间的线性回归方程为,且变量x,y之间的一组相关数据如表所示,则下列说法错误的是()x681012y6m32A．变量x,y之间呈现负相关关系B．可以预测,当x=20时,y=﹣3.7C．m=4D．该回归直线必过点(9,4)8．已知两条不同直线a、b，两个不同平面、，有如下命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则以上命题正确的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．09．数列，满足，，，则数列的前项和为（）．A． B． C． D．10．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪裹、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿？”已知上造分得只鹿，则大夫所得鹿数为（）A．1只 B．只 C．只 D．2只11．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A．1 B．2C．3 D．412．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若（其中i是虚数单位），则实数_____.14．五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有______种．15．曲线在P（1，1）处的切线方程为_____．16．f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间上的最大值是，则ω＝________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是正形，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．18．（12分）已知函数，．若不等式有解，求实数a的取值范围；2当时，函数的最小值为3，求实数a的值．19．（12分）已知函数在处取得极大值为9.（1）求，的值；（2）求函数在区间上的最值.20．（12分）为调查某小区居民的“幸福度”．现从所有居民中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），若幸福度分数不低于8.5分，则称该人的幸福度为“幸福”．（1）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个小区的总体数据,若从该小区（人数很多）任选3人，记表示抽到“幸福”的人数，求的分布列及数学期望和方差．21．（12分）如图，在中，，点在线段上.过点作交于点，将沿折起到的位置（点与重合），使得.（Ⅰ）求证：.（Ⅱ）试问：当点在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由.22．（10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程是．（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）设直线与曲线交于，两点，求的面积．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】试题分析：集合，,，，故选B.考点：指数函数、对数函数的性质及集合的运算.2、C【解题分析】试题分析：设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，∴不同的选修方案共有6×4×4=96种，故选C．考点：分步计数原理点评：本题需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一种方案，用列举法找到相应的组合即可．3、C【解题分析】

先化简集合A，再求，进而求.【题目详解】x（x-2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（-∞，0]∪[2，+∞）由题意得，=（0,2），∴，故选C.【题目点拨】本题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，要先化简集合，明确集合的运算法则，进而求得结果．4、D【解题分析】试题分析：通项Tr＋1＝x10－r（－）r＝（－）rx10－r.令10－r＝6，得r＝4.∴x6的系数为9考点：二项式定理5、B【解题分析】分析：先求样本中心，代入方程求解即可。详解：，，代入方程，解得，故选B点睛：回归直线方程必过样本中心。6、D【解题分析】

根据交集定义求解．【题目详解】由题意A∩B={1,5}．故选D．【题目点拨】本题考查集合的交集运算，属于基础题．7、C【解题分析】

根据回归直线方程的性质，以及应用，对选项进行逐一分析，即可进行选择.【题目详解】对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系.线性回归方程为，b=﹣0.7<0，故负相关.对于B：当x=20时，代入可得y=﹣3.7对于C：根据表中数据：9.可得4.即，解得：m=5.对于D：由线性回归方程一定过()，即(9，4).故选：C.【题目点拨】本题考查线性回归直线方程的性质，以及回归直线方程的应用，属综合基础题.8、C【解题分析】

直接利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判定即可得答案．【题目详解】①若a∥α，b⊂α，则a与b平行或异面，故①错误；②若a∥α，b∥α，则a∥b，则a与b平行，相交或异面，故②错误；③若，a⊂α，则a与β没有公共点，即a∥β，故③正确；④若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b无公共点，∴平行或异面，故④错误．∴正确的个数为1．故选C．【题目点拨】本题考查命题真假的判断，考查直线与平面之间的位置关系，涉及到线面、面面平行的判定与性质定理，是基础题．9、D【解题分析】

由题意是数列是等差数列，数列的等比数列，分别求出它们的通项，再利用等比数列前项和公式即可求得.【题目详解】因为，，所以数列是等差数列，数列的等比数列，因此，，数列的前项和为：.故选：.【题目点拨】本题主要考查的是数列的基本知识，等差数列、等比数列的通项公式以及等比数列的求和公式的应用，是中档题.10、C【解题分析】

设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列{an}，则，由前5项和为5求得，进一步求得d，则答案可求．【题目详解】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列{an}，则，则，∴1，则，∴．∴大夫所得鹿数为只．故选：C．【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，属于基础题．11、C【解题分析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.12、D【解题分析】D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=1．故答案选D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由可知，根据复数的乘法运算，及复数相等的概念即可求解.【题目详解】因为所以所以【题目点拨】本题主要考查了复数的乘法运算，复数相等的概念，属于中档题.14、【解题分析】

每名旅客都有种选择，根据分步乘法计数原理可得出五名旅客投宿的方法种数.【题目详解】由于每名旅客都有种选择，因此，五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有种.故答案为：.【题目点拨】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.15、【解题分析】因为曲线y=x3，则，故在点（1，1）切线方程的斜率为3，利用点斜式方程可知切线方程为16、【解题分析】

函数f(x)的周期T＝，因此f(x)＝2sinωx在上是增函数，∵0<ω<1，∴是的子集，∴f(x)在上是增函数，∴＝，即2sin＝，∴ω＝，∴ω＝，故答案为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）【解题分析】

（1）推导出DE⊥PC，BC⊥CD，BC⊥PD，从而BC⊥平面PCD，进而DE⊥BC，由此能证明DE⊥平面PCB.

（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E−DB−P的余弦值.【题目详解】解：（1）证明：∵在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，

底面ABCD是正方形，PD＝AB，E为PC的中点，

∴DE⊥PC，BC⊥CD，BC⊥PD，

∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，

∵DE⊂平面PCD，∴DE⊥BC，

∵PC∩BC＝C，∴DE⊥平面PCB；

（2）解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，

设PD＝AB＝2，则E（0，1，1），B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），

，

设平面BDE的法向量，

则，取，得，

设平面BDP的法向量，

则，取，得，

设二面角E−BD−P的平面角为θ.

则.

∴二面角E−BD−P的余弦值为.【题目点拨】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.18、（Ⅰ）（Ⅱ）．【解题分析】分析：（1）由绝对值的几何意义知，由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，可得，即可求实数a的取值范围；（2）当a＜2时，画出函数的图像，利用函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．详解：（1）由题，即为．而由绝对值的几何意义知，由不等式有解，∴，即．实数的取值范围．（2）函数的零点为和，当时知.

如图可知在单调递减，在单调递增，，得（合题意），即．点睛：这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，以及函数的最值问题；一般对于解含有多个绝对值的不等式，根据零点分区间，将绝对值去掉，分段解不等式即可.19、(1).(2)函数在区间上的最大值为9，最小值为.【解题分析】分析：（I）首先求解导函数，然后结合，可得.（II）由（I）得，结合导函数研究函数的单调性和最值可知函数在区间上的最大值为9，最小值为.详解：（I）依题意得，即，解得.经检验，上述结果满足题意.（II）由（I）得，令，得；令，得，的单调递增区间为和，的单调递增区间是，，，所以函数在区间上的最大值为9，最小值为.点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．20、（1）；（2）的分布列见解析；数学期望为；方差为【解题分析】

首先由茎叶图统计出“幸福”的人数和其他人数，再计算概率．由茎叶图知任选一人，该人幸福度为“幸福”的概率为，知道在该小区中任选一人该人幸福度为“幸福”的概率为，再计算即可．【题目详解】(1)由茎叶图可知，抽取的16人中“幸福”的人数有12人，其他的有4人；记“从这16人中随机选取3人，至少有2人是“幸福”，”为事件.由题意得(2)由茎叶图知任选一人，该人幸福度为“幸福”的概率为，的可能取值为0,1,2,3,显然则；；；；所以的分布列为0123【题目点拨】本题考查茎叶图、样本估计总体、分布列、数学期望，属于基础题．21、(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)答案见解析.【解题分析】分析：（1）由已知条件，结合线面垂直的判定定理和性质定理，即可得到.（2）过点作，则，，两两垂直，以B为坐标原点，以，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.设，应用空间向量，分别求得两平面的法向量，计算两平面法向量夹角，证明点在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值为定值，且定值为.详解：证明：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以，，又因为，平面，所以平面.又因为平面，所以.（Ⅱ）在平面内，过点作于点，由（Ⅰ）知平面，所以，又因为，平面，所以平面.在平面