2024届陕西省西安市高二数学第二学期期末达标测试试题含解析

2024届陕西省西安市高二数学第二学期期末达标测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，|，则（）A． B． C． D．2．已知椭圆的左焦点为A． B． C． D．3．在的展开式中，项的系数为（）A． B．40 C． D．804．在中，角的对边分别是，若，则的值为（）A．1 B． C． D．5．已知，并且，则方差（）A．B．C．D．6．已知函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．7．准线为的抛物线标准方程是（）A． B． C． D．8．学校新入职的5名教师要参加由市教育局组织的暑期3期上岗培训，每人只参加其中1期培训，每期至多派2人，由于时间上的冲突，甲教师不能参加第一期培训，则学校不同的选派方法有()A．种 B．种 C．种 D．种9．若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是（）A． B． C． D．10．函数的定义城是（）A． B． C． D．11．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，正面向上的次数为，则（）A． B．C． D．12．函数的单调递增区间是（）A． B． C．(1,4) D．(0,3)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，______.14．已知一组数据，，，的线性回归方程为，则_______.15．在棱长为的正方体中，是棱的中点，则到平面的距离等于_____.16．已知复数，其中是虚数单位，复数满足，则复数的模等于__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）袋中装有黑色球和白色球共个，从中任取个球都是白色球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸出个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，，摸后均不放回，直到有一个人摸到白色球后终止，每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用表示摸球终止时所需摸球的次数.（1）求随机变量的分布和均值；（2）求甲摸到白色球的概率.18．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的方程为，直线的参数方程为（为参数）.（1）将的方程化为直角坐标方程；（2）为上一动点，求到直线的距离的最大值和最小值.19．（12分）已知数列，其前项和为；（1）计算；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.20．（12分）已知，．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）对一切的时，恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数（1）当为何值时，轴为曲线的切线;（2）若存在（是自然对数的底数），使不等式成立，求实数的取值范围.22．（10分）如图，已知，分别为椭圆：的上、下焦点，是抛物线：的焦点，点是与在第二象限的交点，且.（1）求椭圆的方程；（2）与圆相切的直线：（其中）交椭圆于点，，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

解出集合M中的不等式即可【题目详解】因为，所以故选：C【题目点拨】本题考查的是解对数不等式及集合的运算，属于基本题.2、B【解题分析】

代入得，解得,由此可得三角形ABF为直角三角形．OF=5，即c=5.由椭圆为中心对称图形可知当右焦点为时，,【考点定位】本题考查椭圆定义，解三角形相关知识以及椭圆的几何性质．3、D【解题分析】

通过展开二项式即得答案.【题目详解】在的展开式中,的系数为，故答案为D.【题目点拨】本题主要考查二项式定理，难度很小.4、C【解题分析】

在中利用正弦定理和二倍角公式能求出角，再依据余弦定理列出关于角的关系式，化简即得．【题目详解】∵，∴由正弦定理可得，即.由于，∴.∵，∴.又，由余弦定理可得，∴.故选C.【题目点拨】本题主要考查正余弦定理解三角形以及三角恒等变换．5、A【解题分析】试题分析：由得考点：随机变量的期望6、C【解题分析】

先判断出函数为奇函数且在定义域内单调递增，然后把不等式变形为，再利用单调性求解即可．【题目详解】由题意得，函数的定义域为R．∵，∴函数为奇函数．又根据复合函数的单调性可得，函数在定义域上单调递增．由得，∴，解得，∴不等式的解集为．故选C．【题目点拨】解答本题的关键是挖掘题意、由条件得到函数的奇偶性和单调性，最后根据函数的单调性求解，这是解答抽象不等式（即不知表达式的不等式）问题的常用方法，考查理解和应用能力，具有一定的难度和灵活性．7、A【解题分析】准线为的抛物线标准方程是，选A.8、B【解题分析】

由题意可知这是一个分类计数问题.一类是：第一期培训派1人；另一类是第一期培训派2人，分别求出每类的选派方法，最后根据分类计数原理，求出学校不同的选派方法的种数.【题目详解】解:第一期培训派1人时，有种方法,第一期培训派2人时，有种方法,故学校不同的选派方法有，故选B.【题目点拨】本题考查了分类计数原理，读懂题意是解题的关键，考查了分类讨论思想.9、C【解题分析】试题分析：由，可得，∴z对应的点的坐标为（4，－2），故选C．考点：考查了复数的运算和复数与复平面内点的对应关系．点评：解本题的关键是根据复数的除法运算求出复数z，然后利用复数z所对应的点的横坐标和纵坐标分别为为复数的实部和虚部，得出对应点的坐标．10、C【解题分析】

根据对数的真数大于零这一原则得出关于的不等式，解出可得出函数的定义域．【题目详解】由题意可得，解得，因此，函数的定义域为，故选C．【题目点拨】本题考查对数型函数的定义域的求解，求解时应把握“真数大于零，底数大于零且不为”，考查计算能力，属于基础题．11、D【解题分析】分析：将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数，由此能求出正面向上的次数的分布列详解：将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数.故选D.点睛：本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的合理运用．12、B【解题分析】

求出函数的导数，在解出不等式可得出所求函数的单调递增区间.【题目详解】，，解不等式，解得，因此，函数的单调递增区间是，故选B.【题目点拨】本题考查函数单调区间的求解，一般是先求出导数，然后解出导数不等式，将解集与定义域取交集得出单调区间，但单调区间不能合并，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解题分析】

逐个计算即可.【题目详解】由题,因为,故.故答案为：4【题目点拨】本题主要考查新定义与复数的基本运算,属于基础题型.14、【解题分析】

样本数据的回方程必经过样本点的中心，该组数据的中心为，代入回归方程，得到关于的方程.【题目详解】设这组数据的中心为，，，，整理得：.【题目点拨】本题考查回归直线方程经过样本点中心，考查统计中简单的数据处理能力.15、【解题分析】

由题意画出正方体，求出的面积，利用等体积法求解到平面的距离.【题目详解】由题意，画出正方体如图所示，，点是中点，所以，在中，，，，所以，，所以，设到平面的距离为，由，得，解得，.故答案为：【题目点拨】本题主要考查求点到平面距离的方法、棱锥体积公式、余弦定理和三角形面积公式的应用，考查等体积法的应用和学生的转化和计算能力，属于中档题.16、【解题分析】

可设出复数z，通过复数相等建立方程组，从而求得复数的模.【题目详解】由题意可设，由于，所以，因此，解得，因此复数的模为：.【题目点拨】本题主要考查复数的四则运算，相等的条件，比较基础.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)分布列见解析，E(X)＝2.(2)P(A)＝.【解题分析】分析：（1）由已知先出白子个数，进而可得随机变量X的概率分布列和数学期望；（2）记事件A为“甲摸到白色球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1＝“甲第1次摸球时摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球时摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球时摸出白色球”，利用互斥事件概率加法公式可得.详解：设袋中白色球共有x个，x∈N*且x≥2，则依题意知＝，所以＝，即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)．(1)袋中的7个球，3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝.随机变量X的分布列为X12345P所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.(2)记事件A为“甲摸到白色球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1＝“甲第1次摸球时摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球时摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球时摸出白色球”．依题意知，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，所以甲摸到白色球的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.点睛：本题考查的知识点是古典概型的概率计算公式，随机变量的分布列和数学期望，互斥事件概率加法公式.18、（1）（2）最大值是和最小值是.【解题分析】分析：（1）利用极坐标公式化成直角坐标方程.(2)先求出直线的直角坐标方程为，再利用圆心到直线的距离求到直线的距离的最大值是和最小值是.详解：（1）因为曲线的方程为，则，所以的直角坐标方程为，即.（2）因为直线的参数方程为（为参数），所以直线的直角坐标方程为，因为圆心到直线的距离，则直线与圆相离，所以所求到直线的距离的最大值是和最小值是.点睛：(1)本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标的互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答第2问的关键是数形结合.19、（1）；（2），证明见解析【解题分析】

（1）根据已知条件，计算出的值；（2）由（1）猜想，根据数学归纳法证明方法，对猜想进行证明.【题目详解】（1）计算，，，（2）猜想.证明：①当时，左边，右边，猜想成立.②假设猜想成立.即成立，那么当时，，而，故当时，猜想也成立.由①②可知，对于，猜想都成立.【题目点拨】本小题主要考查合情推理，考查利用数学归纳法证明和数列有关问题，属于中档题.20、（Ⅰ）f（x）的极小值是（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）对求导，并判断其单调性即可得出极值。（Ⅱ）化简成，转化成判断的最值。【题目详解】解：（Ⅰ），，，令，解得：，令，解得：，∴在递减，在递增，∴的极小值是；（Ⅱ）∵，由题意原不等式等价于在上恒成立，即，可得，设，则，令，得，（舍），当时，，当时，，∴当时，h（x）取得最大值，，∴，即a的取值范围是．【题目点拨】本题主要考查了函数极值的判断以及函数最值的问题，在解决此类问题时通常需要求二次导数或者构造新的函数再次求导。本题属于难题。21、（1）（2）【解题分析】

（1）设曲线与轴相切于点，利用导数的几何意义，列出方程组，即可求解；（2）把不等式成立，转化为，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．【题目详解】（1）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得，即当时，轴为曲线的切线．（2）由题意知，即，设，则，当时，，此时单调递减;当时，，此时单调递增.存在，使成立，等价于，即，又，，故，所以.【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新