2024届山东省聊城第二中学高二数学第二学期期末考试试题含解析

2024届山东省聊城第二中学高二数学第二学期期末考试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则复数在复平面上对应的点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入的正整数a的可能取值的集合是（

）A． B．C． D．4．曲线对称的曲线的极坐标方程是()A． B． C． D．5．“中国梦”的英文翻译为“”，其中又可以简写为，从“”中取6个不同的字母排成一排，含有“”字母组合（顺序不变）的不同排列共有（）A．360种 B．480种 C．600种 D．720种6．已知l、m、n是空间三条直线，则下列命题正确的是（）A．若l//m，l//n，则m//nB．若l⊥m，l⊥n，则m//nC．若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB//lD．若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面7．在平面直角坐标系中,方程表示在x轴、y轴上的截距分别为的直线,类比到空间直角坐标系中,在轴、轴、轴上的截距分别为的平面方程为()A． B．C． D．8．指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数，关于上面推理正确的说法是（）A．推理的形式错误 B．大前提是错误的 C．小前提是错误的 D．结论是真确的9．函数（，）的部分图象如图所示，则的值分别是（）A． B． C． D．10．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于()A．24 B．30 C．10 D．6011．给出下列四个说法：①命题“都有”的否定是“使得”；②已知，命题“若，则”的逆命题是真命题；③是的必要不充分条件;④若为函数的零点，则，其中正确的个数为（）A． B． C． D．12．若实数满足不等式组，则的最大值为（）A．0 B．4 C．5 D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数，.若，且的最小值为-1，则实数的值为__________．14．已知集合，且下列三个关系：有且只有一个正确，则函数的值域是_______．15．已知函数，若，则实数的取值范围为__________.16．已知，若在(0,2)上有两个不同的,则k的取值范围是_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数（1）若函数在上递增，在上递减，求实数的值.（2））讨论在上的单调性；（3）若方程有两个不等实数根，求实数的取值范围，并证明.18．（12分）将正整数排成如图的三角形数阵，记第行的个数之和为.（1）设，计算，，的值，并猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）的猜想.19．（12分）如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）证明平面（3）求二面角的正弦值．20．（12分）已知函数的定义域为；（1）求实数的取值范围；（2）设实数为的最大值，若实数，，满足，求的最小值.21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．22．（10分）央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名观众进行调查，其中有名男观众和名女观众，将这名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在分钟以上（包括分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在分钟以下（不包括分钟）的称为“非朗读爱好者”.（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取名，再从这名观众中任选名，求至少选到名“朗读爱好者”的概率；（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析：利用二次函数的性质可判定复数的实部大于零，虚部小于零，从而可得结果.详解：因为，，所以复数在复平面上对应的点在第四象限，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2、A【解题分析】试题分析：设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，则，所以，，即，又，所以，．故选A．考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．3、A【解题分析】由题意，循环依次为，，所以可能取值的集合为，故选A.4、A【解题分析】

先把两曲线极坐标方程化为普通方程，求得对称曲线，再转化为极坐标方程。【题目详解】化为标准方程可知曲线为，曲线为，所以对称直线为，化为极坐标方程为，选A.【题目点拨】由直角坐标与极坐标互换公式，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。5、C【解题分析】从其他5个字母中任取4个,然后与“”进行全排列,共有,故选B.6、A【解题分析】分析：由公理4可判断A，利用空间直线之间的位置关系可判断B，C，D的正误，从而得到答案．详解：由公理4可知A正确；若l⊥m，l⊥n，则m∥n或m与n相交或异面，故B错误；若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l或AB与l异面，故C错误；若三条直线l，m，n两两相交，且不共点，则直线l，m，n共面，故D错误．故选A．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断．7、A【解题分析】

平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是.【题目详解】由类比推理得：若平面在轴、轴、轴上的截距分别为，则该平面的方程为：，故选A.【题目点拨】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令，看是否为.8、B【解题分析】分析:指数函数是R上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同单调性，有演绎推理的定义可知，大前提错误。详解：指数函数是R上的增函数，这个说法是错误的，若,则是增函数，若,则是减函数所以大前提是错误的。所以B选项是正确的。点睛：本题主要考查指数函数的单调性和演绎推理，意在考查三段论的推理形式和指数函数的图像性质，属于基础题。9、A【解题分析】

利用，求出，再利用，求出即可【题目详解】，，，则有，代入得，则有，，，又，故答案选A【题目点拨】本题考查三角函数的图像问题，依次求出和即可，属于简单题10、A【解题分析】

根据几何体的三视图得出该几何体是三棱柱去掉一个三棱锥所得的几何体，结合三视图的数据，求出它的体积．【题目详解】根据几何体的三视图，得该几何体是三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体几何体是底面为边长为3,4,5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示：由题意：原三棱柱体积为：V截掉的三棱锥体积为：V所以该几何体的体积为：V=本题正确选项：A【题目点拨】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11、C【解题分析】

对于①②③④分别依次判断真假可得答案.【题目详解】对于①，命题“都有”的否定是“使得”，故①错误；对于②，命题“若，则”的逆命题为“若，则”正确；对于③，若则，若则或，因此是的充分不必要条件，故③错误；对于④，若为函数，则，即，可令，则，故为增函数，令，显然为减函数，所以方程至多一解，又因为时，所以，则④正确，故选C.【题目点拨】本题主要考查真假命题的判断，难度中等.12、B【解题分析】

确定不等式组表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得z＝2x+y的最大值．【题目详解】不等式组表示的平面区域如图：z＝2x+y表示直线y＝﹣2x+z的纵截距，由图象可知，在A（1，2）处z取得最大值为4故选：B．【题目点拨】本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，解题的关键是确定不等式组表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解题分析】分析：先表示函数，再利用导数求函数最小值，最后根据的最小值为-1得实数的值.详解：因为，设，则所以因为，所以当时，；当时，；即当时，.点睛：两函数关系问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式或方程，从而求出参数的取值范围或值.14、【解题分析】分析：根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a，b，c的值，结合的最值即可求出函数的值域．详解：由{a，b，c}={2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=2时，b=3、c=4时，a≠3，b=3，c≠4都正确，不满足条件．当a=2时，b=4、c=3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；当a=3时，b=2、c=4时，都不正确，此时不满足题意；当a=3时，b=4、c=2时，c≠4成立，此时满足题意；当a=4时，b=2，c=3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；当a=4时，b=3、c=2时，a≠3，b=3成立，此时不满足题意；综上得，a=3、b=4、c=2，则函数=，当x＞4时，f（x）=2x＞24=16，当x≤4时，f（x）=（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为[3，+∞）．点睛：本题主要考查函数的值域的计算，根据集合相等关系以及命题的真假条件求出a，b，c的值是解决本题的关键．15、.【解题分析】

作出函数f（x）的图象，设f（a）=f（b）=t，根据否定，转化为关于t的函数，构造函数，求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性和取值范围即可．【题目详解】作出函数f（x）的图象如图：设f（a）=f（b）=t，则0＜t≤，∵a＜b，∴a≤1，b＞﹣1，则f（a）=ea=t，f（b）=2b﹣1=t，则a=lnt，b=（t+1），则a﹣2b=lnt﹣t﹣1，设g（t）=lnt﹣t﹣1，0＜t≤，函数的导数g′（t）=﹣1=，则当0＜t≤时g′（t）＞0，此时函数g（t）为增函数，∴g（t）≤g（）=ln﹣﹣1=﹣﹣2，即实数a﹣2b的取值范围为（﹣∞，﹣﹣2]，故答案为：（﹣∞，﹣﹣2]．【题目点拨】本题主要考查分段函数的应用，涉及函数与方程的关系，利用换元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强．16、【解题分析】分析：先将含有绝对值的函数转化为一元一次函数和二元一次函数的分段函数的形式，再利用一元一次函数与二元一次函数的单调性加以解决详解：不妨设在是单调函数，故在上至多一个解若则，故不符合题意，由可得，由可得，故答案为点睛：本题主要考查的知识点是函数零点问题，求参量的取值范围，在解答含有绝对值的题目时要先去绝对值，分类讨论，然后再分析问题，注意函数单调性与奇偶性和零点之间的关系，适当注意函数的图像，本题有一定难度三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析（3），见解析【解题分析】

（1）根据单调区间判断出是极值点，由此根据极值点对应的导数值为求解出的值，并注意验证是否满足；（2）先求解出，然后结合所给区间对进行分类讨论，分别求解出的单调性；（3）构造函数，分析的取值情况，由此求解出的取值范围；将证明通过条件转化为证明，由此构造新函数进行分析证明.【题目详解】（1）由于函数函数在上递增，在上递减，由单调性知是函数的极大值点，无极小值点，所以，∵，故，此时满足是极大值点，所以；（2）∵，∴，①当时，在上单调递增.②当，即或时，，∴在上单调递减.③当且时，由得.令得；令得.∴在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上递增；当或时，在上递减；当且时，在上递增，在上递减.（3）令，当时，，单调递减；当时，，单调递增；故在处取得最小值为又当，由图象知：不妨设，则有，令在上单调递增，故即，【题目点拨】本题考查函数与导数的综合运用，涉及到根据单调性求解参数、分类讨论法分析函数的单调性、双变量构造函数问题，难度较难.（1）已知是的极值点，利用求解参数值后，要注意将参数值带回验证是否满足；（2）导数中的双变量证明问题，一般的求解思路是：先通过转化统一变量，然后构造函数分析单调性和取值范围达到证明的目的.18、（1）；（2）见解析．【解题分析】分析：直接计算，猜想：；（2）证明：①当时，猜想成立.②设时，命题成立，即③证明当时，成立。详解：（1）解：，，，，猜想；（2）证明：①当时，猜想成立.②设时，命题成立，即，由题意可知.所以，，所以时猜想成立.由①、②可知，猜想对任意都成立.点睛：推理与证明中，数学归纳法证明数列的通项公式是常见的解法。根据题意先归纳猜想，利用数学归纳法证明猜想。数学归纳法证明必须有三步：①当时，计算得出猜想成立.②当时，假设猜想命题成立，③当时，证明猜想成立。19、（1）,（2）见解析（3）【解题分析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得,,,（1）解：易得,于是所以异面直线与所成角的余弦值为（2）证明：已知,,于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面(3)解：设平面的法向量，则,即不妨令X=1,可得．由（2）可知，为平面的一个法向量．于是，从而所以二面角的正弦值为方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=链接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，由,可知EF∥BC1.故是异面直线EF与A1D所成的角，易知BM=CM=,所以,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为（2）证明：连接AC，设AC与DE交点N因为，所以，从而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因为，所以AF⊥平面A1ED(3)解：连接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故为二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在连接A1C1,A1F在．所以所以二面角A1-DE-F正弦值为20、（1）；（2）【解题分析】

（1）由定义域为R，只需求解|x﹣3|+|x|的最小值，即可得实数m的取值范围（2）根据（1）实数t的值，利用柯西不等式即可求解最小值．【题目详解】(1)函数的定义域为R，那么|x﹣3|+|x|﹣m≥0对任意x恒成立，∴只需m≤（|x﹣3|+|x|）min，