2024届河南省八市重点高中联盟“领军考试”高二数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届河南省八市重点高中联盟“领军考试”高二数学第二学期期末学业水平测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数的图象与直线相切，则()A． B． C． D．2．关于x的不等式的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．（4,5）3．复数的共轭复数为（）A． B． C． D．4．直线与圆有两个不同交点的充要条件是（）A． B． C． D．5．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为36．若向量，，则向量与（）A．相交 B．垂直 C．平行 D．以上都不对7．直线：，，所得到的不同直线条数是（）A．22 B．23 C．24 D．258．如图所示为底面积为2的某三棱锥的三视图，则该三棱锥的侧面积为（）A． B．C． D．9．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件10．函数f(x)=sin(ωx+πA．关于直线x=π12对称 B．关于直线C．关于点π12，0对称 D．11．若复数满足为虚数单位），则（）A． B． C． D．12．设i是虚数单位，复数a+i1+i为纯虚数，则实数a的值为A．-1B．1C．-2D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．i为虚数单位，设复数z满足，则z的虚部是____14．若，则____15．已知函数的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.则的解析式为________．16．已知随机变量服从正态分布，且，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知关于的不等式的解集为（1）求实数的值；（2）求的最大值.18．（12分）已知函数.（1）若，证明：当时，；（2）若在有两个零点，求的取值范围.19．（12分）已知复数，是的共轭复数，且为纯虚数，在复平面内所对应的点在第二象限，求.20．（12分）已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点，求抛物线的方程和双曲线的方程．21．（12分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．（1）求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程．（2）求顶点在原点，准线方程为的抛物线的方程．22．（10分）等差数列的各项均为正数，,前n项和为．等比数列中，，且,．（1）求数列与的通项公式；（2）求．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

设切点为，由可解得切点坐标与参数的值。【题目详解】设切点为，则由题意知即解得或者故选B【题目点拨】高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．2、A【解题分析】

不等式等价转化为，当时，得，当时，得，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出的取值范围。【题目详解】关于的不等式，不等式可变形为，当时，得，此时解集中的整数为2，3，4，则；当时，得，，此时解集中的整数为-2，-1，0，则故a的取值范围是，选：A。【题目点拨】本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对和1的大小进行分类讨论。其次在观察的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B选项。3、B【解题分析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可知：，则复数的共轭复数为.本题选择B选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4、A【解题分析】

由已知条件计算圆心到直线的距离和半径进行比较，即可求出结果【题目详解】圆，圆心到直线的距离小于半径，由点到直线的距离公式：，，故选【题目点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，根据题意将其转化为圆心到直线的距离，然后和半径进行比较，较为基础．5、D【解题分析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差6、C【解题分析】

根据向量平行的坐标关系得解.【题目详解】，所以向量与平行.【题目点拨】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题.7、B【解题分析】

根据排列知识求解，关键要减去重复的直线.【题目详解】当m,n相等时，有1种情况；当m,n不相等时，有种情况，但重复了8条直线，因此共有条直线.故选B.【题目点拨】本题考查排列问题，关键在于减去斜率相同的直线，属于中档题.8、B【解题分析】

由三视图可以看出有多个直角，将该三棱锥放入正方体中，依次求各面面积即可【题目详解】由三视图可知该几何体是三棱锥（放在棱长为2的正方体中），则侧面是边长为的等边三角形，面积为；侧面和都是直角三角形，面积均为，因此，此几何体的侧面积为，故选B【题目点拨】本题考查三视图、几何体侧面积，将棱锥放入棱柱中分析是解题的关键.9、A【解题分析】

分析两个命题的真假即得，即命题和．【题目详解】为真，但时．所以命题为假．故应为充分不必要条件．故选：A．【题目点拨】本题考查充分必要条件判断，充分必要条件实质上是判断相应命题的真假：为真，则是的充分条件，是的必要条件．10、B【解题分析】

求出函数的解析式，然后判断对称中心或对称轴即可．【题目详解】函数f（x）＝2sin（ωx+π3）（ω＞0）的最小正周期为π2，可得ω函数f（x）＝2sin（4x+π由4x+π3=kπ+π2，可得x=kπ当k＝0时，函数的对称轴为：x=π故选：B．【题目点拨】本题考查三角函数的性质的应用，周期的求法，考查计算能力，是基础题11、A【解题分析】

根据复数的除法运算可求得；根据共轭复数的定义可得到结果.【题目详解】由题意得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算求得，属于基础题.12、A【解题分析】a+i1+i=(a+i)(1-i)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：直接利用复数的乘法运算，化简复数，然后求出复数的虚部.详解：由，可得,，可得，所以，的虚部是，故答案为点睛：本题主要考查乘法运算以及复数共轭复数的概念，意在考查对复数基本概念与基本运算掌握的熟练程度.14、4【解题分析】

去括号化简，令虚部为0，可得答案.【题目详解】，故答案为4.【题目点拨】本题主要考查了复数的乘法运算以及复数为实数的等价条件.15、【解题分析】

根据函数周期为，求出，再由图象的最低点，得到振幅，及.【题目详解】因为图象与两个交点之间的距离为，所以，所以，由于图象的最低点，则，所以，当时，，因为，所以，故填：.【题目点拨】本题考查正弦型函数的图象与性质，考查数形结合思想的应用，注意这一条件限制，从面得到值的唯一性.16、0.1【解题分析】分析：随机变量服从正态分布，且，利用正态分布的性质，答案易得．详解：随机变量ξ服从正态分布，且，，

故答案为：0.1．点睛：本题考查正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，解题的关键是正确正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，由曲线的对称性求出概率，本题是一个数形结合的题，识图很重要．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）4【解题分析】

（1）先由可得，再利用关于的不等式的解集为可得，的值；（2）先将变形为，再利用柯西不等式可得的最大值．【题目详解】（1）由，得则解得,（2）当且仅当，即时等号成立，故．18、(1)证明见解析.(2).【解题分析】

分析：（1）只要求得在时的最小值即可证；（2）在上有两个不等实根，可转化为在上有两个不等实根，这样只要研究函数的单调性与极值，由直线与的图象有两个交点可得的范围．详解：（1）证明：当时，函数.则，令，则，令，得.当时，，当时，在单调递增，（2）解：在有两个零点方程在有两个根，在有两个根，即函数与的图像在有两个交点．，当时，，在递增当时，，在递增所以最小值为，当时，，当时，，在有两个零点时，的取值范围是．点睛：本题考查用导数证明不等式，考查函数零点问题．用导数证明不等式可转化这求函数的最值问题，函数零点问题可转化为直线与函数图象交点问题，这可用分离参数法变形，然后再研究函数的单调性与极值，从而得图象的大致趋势．19、【解题分析】

设，根据题意列出关于的方程组求解，再结合所对应的点在第二象限，即可求出【题目详解】设，则，∴又，.∴，联立，解得又在第二象限，∴，即∴故答案为【题目点拨】本题考查了复数的相关定义，设出复数的表示形式，根据题意列出方程组即可，本题较为基础，注意计算。20、,.【解题分析】试题分析：首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，再利用抛物线与双曲线同过，求出c、p的值，进而结合双曲线的性质即可求解．试题解析：依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，∵点P在抛物线上，∴6＝2p×.∴p＝2，∴所求抛物线的方程为y2＝4x.∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1.又点P在双曲线上，∴，解方程组,得或(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x2－＝1.21、（1）（2）【解题分析】

（1）根据题意双曲线方程可设为,可得关于的方程组，进而求出双曲线的方程．（2）根据抛物线的顶点在原点，准线方程为,可设抛物线方程为,从而可求得抛物线的方程．【题目详解】（1）解:依题意，双曲线的焦点坐标是故双曲线的方程可设为又∵双曲线的离心率∴解得∴双曲线的方程为（2）解:∵抛物线的顶点在原点，准线方程为∴可设抛物线方程为∵∴∴抛物线方程为【题目点拨】本题考查圆锥曲线的综合，主要考查椭圆、双曲线、抛物线的相关性质，是基础题.解题时需要认真审题.22、（1），；（2）【解题分析】

（1）由题意,要求数列与的通项公式,只需求公差，公比,因此可将公差,公比分别设为d，q,然后根据等差数列的前项和公式,代入,,求出d，q