青海省西宁市大通县第一中学2024届高二数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

青海省西宁市大通县第一中学2024届高二数学第二学期期末学业水平测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，用5种不同的颜色把图中、、、四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A．200种 B．160种 C．240种 D．180种2．等差数列{}中，，则前10项和()A．5 B．25 C．50 D．1003．已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为A．34B．C．74D．4．若，则直线被圆所截得的弦长为（）A． B． C． D．5．(2x-3y)9A．-1 B．512 C．-512 D．16．“”是“函数存在零点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件7．已知命题：，命题：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．某所大学在10月份举行秋季越野接力赛，每个专业四人一组，其中计算机专业的甲、乙、丙、丁四位大学生将代表本专业参加拉力赛，需要安排第一棒到第四棒的顺序，四个人去询问教练的安排，教练对甲说：“根据训练成绩，你和乙都不适合跑最后一棒”；然后又对乙说：“你还不适合安排在第一棒”，仅从教练回答的信息分析，要对这四名同学讲行合理的比赛棒次安排，那么不同情形的种数共有（）A．6 B．8 C．12 D．249．已知函数的定义域为，为的导函数，且，若，则函数的取值范围为（）A． B． C． D．10．在中，角的对边分别是，若，则的值为（）A．1 B． C． D．11．已知函数在定义域上有两个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．若命题是真命题，则实数a的取值范围是A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一只蚂蚁位于数轴处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为，则3秒后，这只蚂蚁在x=1处的概率为________.14．已知函数，若，则实数的取值范围是___．15．设为实数时，实数的值是__________．16．将集合的元素分成互不相交的三个子集：，其中,，，且，，则满足条件的集合有__________个．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知矩阵.（1）求；（2）求矩阵的特征值和特征向量.18．（12分）用数学归纳法证明：19．（12分）已知函数（1）求在点处的切线方程；（2）若存在，满足成立，求的取值范围．20．（12分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴正半轴重合,直线的参数方程为：（为参数，），曲线的极坐标方程为:.（1）写出曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点,直线过定点,若，求直线的斜率.21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，.（1）求证：；（2）在线段上,是否存在一点,使得二面角的大小为，如果存在,求与平面所成角的正弦值；如果不存在,请说明理由.22．（10分）已知.(1)若在上单调递增,上单调递减,求的极小值;(2)当时,恒有,求实数a的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据题意可知，要求出给四个区域涂色共有多少种方法，需要分步进行考虑；对区域A、B、C、D按顺序着色，推出其各有几种涂法，利用分步乘法计数原理，将各区域涂色的方法数相乘，所得结果即为答案．【题目详解】涂有5种涂法，有4种，有3种，因为可与同色，故有3种，∴由分步乘法计数原理知，不同涂法有种．故答案选D．【题目点拨】本题考查了排列组合中的涂色问题，处理区域涂色问题的基本方法为分步乘法计数原理．2、B【解题分析】试题分析：因为.考点：等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质．点评：等差数列的性质之一：若,则．3、D【解题分析】略视频4、B【解题分析】因为，所以圆心到直线的距离，所以，应选答案B。5、B【解题分析】

(a+b)n展开式中所有项的二项系数和为【题目详解】(a+b)n展开式中所有项的二项系数和为2(2x-3y)9的展开式中各项的二项式系数之和为2故答案选B【题目点拨】本题考查了二项系数和，属于基础题型.6、A【解题分析】显然由于，所以当m<0时，函数f(x)=m+log2x（x≥1）存在零点;反之不成立，因为当m=0时，函数f(x)也存在零点，其零点为1，故应选A．7、A【解题分析】

首先对两个命题进行化简，解出其解集，由是的必要不充分条件，可以得到关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围【题目详解】由命题：解得或，则，命题：，，由是的必要不充分条件，所以故选【题目点拨】结合“非”引导的命题考查了必要不充分条件，由小范围推出大范围，列出不等式即可得到结果，较为基础。8、B【解题分析】

这里将“乙”看做特殊元素，考虑“乙”的位置，再考虑甲的位置，运用分类加法去计算.【题目详解】根据条件乙只能安排在第二棒或第三棒；若“乙”安排在第二棒，此时有：种，若“乙”安排在第三棒，此时有：种，则一共有：种.故选：B.【题目点拨】（1）排列组合中，遵循特殊元素优先排列的原则；（2）两个常用的计数原理：分类加法和分步乘法原理.9、B【解题分析】分析：根据题意求得函数的解析式，进而得到的解析式，然后根据函数的特征求得最值．详解：由，得，∴，设（为常数），∵，∴，∴，∴，∴，∴当x=0时，；当时，，故当时，，当时等号成立，此时；当时，，当时等号成立，此时．综上可得，即函数的取值范围为．故选B．点睛：解答本题时注意从所给出的条件出发，并结合导数的运算法则利用构造法求出函数的解析式；求最值时要结合函数解析式的特征，选择基本不等式求解，求解时注意应用不等式的条件，确保等号能成立．10、C【解题分析】

在中利用正弦定理和二倍角公式能求出角，再依据余弦定理列出关于角的关系式，化简即得．【题目详解】∵，∴由正弦定理可得，即.由于，∴.∵，∴.又，由余弦定理可得，∴.故选C.【题目点拨】本题主要考查正余弦定理解三角形以及三角恒等变换．11、D【解题分析】

根据等价转化的思想，可得在定义域中有两个不同的实数根，然后利用根的分布情况，进行计算，可得结果.【题目详解】，令，方程有两个不等正根，，则：故选：D【题目点拨】本题考查根据函数极值点求参数，还考查二次函数根的分布问题，难点在于使用等价转化的思想，化繁为简，属中档题.12、B【解题分析】因为命题是真命题，即不等式对恒成立，即恒成立，当a＋2＝0时，不符合题意，故有，即，解得，则实数a的取值范围是．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

3秒后，这只蚂蚁在x=1处的概率即求蚂蚁三次移动中，向右移动两次，向左移动一次的概率，由次独立重复试验的概率计算即可。【题目详解】3秒后，这只蚂蚁在x=1处的概率即求蚂蚁三次移动中，向右移动两次，向左移动一次的概率，所以【题目点拨】本题主要考查独立重复试验概率的计算，属于基础题。14、【解题分析】

对的范围分类讨论函数的单调性，再利用可判断函数在上递增，利用函数的单调性将转化成：，解得：，问题得解.【题目详解】当时，，它在上递增，当时，，它在上递增，又所以在上递增，所以可化为：，解得：.所以实数的取值范围是故填：【题目点拨】本题主要考查了分类思想及函数单调性的应用，还考查了转化能力及计算能力，属于中档题。15、3【解题分析】

设为实数，，可得或又因为，故答案为.16、3【解题分析】

分析：由可得，令，则，，，然后列举出的值，从而可得结果.详解：，所以，令，根据合理安排性，集合的最大一个元素，必定为：，则，又，，①当时，同理可得.②当时，同理可得或，综上，一共有种，故答案为.点睛：本题考查主要考查集合与元素的关系，意在考查抽象思维能力，转化与划归思想，分类讨论思想应用，属于难题.解得本题的关键是首项确定，从而得到，由此打开突破点.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)特征值为，，分别对应特征向量，．【解题分析】

（1）利用矩阵的乘法求得结果；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令，解方程可得特征值，再由特征值列出方程组求出相应的特征向量.【题目详解】(1)(2)矩阵的特征多项式，令得，时，，解得，取得时，解得，取得∴矩阵的特征值为，，分别对应特征向量，．【题目点拨】该题考查的是有关矩阵的问题，涉及到的知识点有矩阵的乘法，矩阵的特征值与特征向量，属于简单题目.18、证明见解析【解题分析】

利用数学归纳法的证明标准，验证时成立，假设时成立，证明时等式也成立即可.【题目详解】证明：（1）当时，左边，右边，等式成立.

（2）假设当时，等式成立，即，

那么，当时，左边＝，

这就是说，当时等式也成立.

根据（1）和（2），可知等式对任何都成立.【题目点拨】本题是中档题，考查数学归纳法的应用，注意数学归纳法证明时，必须用上假设19、（1）；（2）【解题分析】

（1）求出，得出切点坐标，利用导数求出，得出切线的斜率，再利用点斜式写出切线的方程；（2）由，即，将问题转化为，然后利用导数求出函数在区间上的最大值，可求出实数的取值范围．【题目详解】（1），，在处的切线方程为：，即；（2），即，令，得.时，，时，.在上减，在上增，又时，的最大值在区间端点处取到.，，，在上最大值为，故的取值范围是：.【题目点拨】本题考查导数的几何意义，利用函数不等式能成立求参数的取值范围，在处理函数不等式成立的问题时，可利用分类讨论或者参变量分离法来求解，在利用参变量分离时要注意是恒成立还是能成立的问题，以便转化为对象函数相应的最值来处理，考查计算能力，属于中等题．20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由，得，由此能求出曲线C的直角坐标方程；（2）把代入，整理得，由，得，能求出直线l的斜率．【题目详解】（1）曲线C的极坐标方程为，所以.即，即.（2）把直线的参数方程带入得设此方程两根为，易知,而定点M在圆C外，所以，，，，可得，∴，所以直线的斜率为-1.【题目点拨】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21、（1）见解析（2）在线段上,存在一点,使得二面角的大小为，且与平面所成角正弦值为【解题分析】

（1）利用勾股定理得出，由平面，得出，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，于此得出；（2）设，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由解出的值，得出的坐标，则即为与平面所成角的正弦值.【题目详解】（1）∵，，∴，∴∵平面，∴，∴平面，平面，∴；（2）以为原点，以过平行于的直线为轴，所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设，，，，设平面的法向量，则，即则，又平面的法向量为，∴解得：或（舍），，平面的法向量为，设与平面所成角为，则.【题目点拨】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的动点问题以及直线与平面所成角的计算，解题时要建立合适的坐标系，利用空间向量法来计算，另外就是对于动点的处理，要引入合适的参数表示动向量的坐标，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题．22、（1）（2）【解题分析】

（1）先求导，再由题意可得f′（﹣1）＝0，从而求得2a＝1，从而化简f′（x）＝（x+1）（ex﹣1），从而确定极小值点及极小值．（2）对f（x）的导函数进行分析，