常态分配参数

第十四章電腦模擬

本章綜覽討論如何利用電腦模擬來呈現各種難於分析的結果或抽象的性質。應用Excel來執行和統計相關的模擬:產生各種機率分配的隨機變數產生兩組相關的隨機變數弱大數法則與中央極限定理

機率分配的模擬用EXCEL產生隨機變數的流程：工具資料分析亂數產生器變數個數亂數個數分配：白奴里分配參數：p值

亂數基值確定

常態分配的模擬工具資料分析亂數產生器變數個數：輸入1亂數個數：輸入10000分配：常態分配參數：「平均數」輸入0，「標準差」輸入1確定

模擬產生的常態分配

常態分配的模擬除了模擬分配，也可以利用產生的分配來「模擬」95%的臨界值。模擬出常態分配後，EXCEL工作表會出現一欄大小不等的數字，將這些數字由小而大排序後，第9500個數字(或第9499與第9500個數字的平均)即為模擬的臨界值。由於常態分配為連續分配，模擬的亂數越多，其相對次數分配才會越接近真正的常態分配，而模擬的臨界值才會接近理論的臨界值。

卡方分配的模擬如何產生自由度為5的卡方分配？依照產生常態分配的步驟，只是在變數個數處輸入5，以產生5組互相獨立的常態變數。在結果輸出的EXCEL工作表的第六欄輸入公式，將產生的5組常態變數值先取平方後再加總。第六欄就是產生的卡方隨機變數。卡方分配的模擬(自由度=5)

t

分配的模擬如何模擬

t(8)的分配？依據前述步驟產生9組常態隨機變數，8組用來產生分母的卡方分配。只要把每一組產生的亂數值代入t

分配的公式，就可得到一組t(8)的亂數值。

t

分配的模擬

相關隨機變數的模擬亂數產生器只能產生互相獨立的隨機變數，以下將介紹如何利用適當的函數轉換來產生具有特定相關係數的隨機變數。利用亂數產生器「產生」兩組獨立的標準常態亂數值

X、Y，依下列公式產生的標準常態亂數值

Z

，其與X之間的相關係數必為c。

相關隨機變數的模擬可以驗證：E(Z)=0，var(Z)=1。因為

X

和Z

的變異數均為1，兩者的相關係數即為其共變異數:

弱大數法則的模擬（一）1.在「工具」項下點選「資料分析」並選擇其中的「亂數產生器」。2.在「亂數產生器」之功能視窗的「變數個數」格中輸入「25」，「亂數個數」中輸入「10000」，「分配」中選擇「常態分配」，「參數」中的平均數為「0」，標準差為「1」。如此產生的亂數，每一列代表一個隨機樣本，其中包含25個實現值，而且總共有10000個隨機樣本。

弱大數法則的模擬（二）3.在Z1儲存格內輸入「=AVERAGE(A1:Y1)」(或利用「插入」項下的「函數」功能AVERAGE來計算)，即可得到第一個隨機樣本的樣本平均數。再將游標移至Z1格的右下角，俟其變成十字型時，連續按滑鼠左鍵兩次就可在Z2至Z10000的格內得到其餘9999個隨機樣本的樣本平均數。4.在「工具」項下點選「資料分析」，選擇其中的「直方圖」，即可畫出所有樣本平均數的直方圖。

中央極限定理的模擬模擬中央極限定理--以卡方分配為例：1.先產生具有卡方分配的隨機樣本。2.計算標準化的樣本平均數。3.以直方圖顯示其相對次數分配。4.樣本數愈大時，標準化後樣本平均數的分配也愈接近標準常態分配。

型1誤差機率與檢定力的模擬例如先從N(3,1)分配中產生樣本數為36的隨機樣本，並計算其樣本平均數及樣本標準差。考慮虛無假設為

o=3的情形。其極限分配為N(0,1)。在5%的顯著水準下，可檢查根據此一樣本所計算出來的Tn

之值是否落在±1.96之間。重複上述步驟5000次，計算出被拒絕的次數，所得就是模擬的「型1誤差機率」。

型1誤差機率與檢定力的模擬

再從N(3.25,1)分配中產生樣本數為36的隨機樣本，而且繼續檢定虛無假設

o=3。此時統計量仍為

由於真正的均數應為3.25，而根據此一樣本所計算出來的Tn

之值若是落在±1.96之間，就會錯誤的接受虛無假設；反之，即可正確的拒絕虛無假設。重覆上述步驟5000次，模擬的檢定力就是其中拒絕虛無假設的次數占5000次的比例。

型1誤差機率與檢定力的模擬分別模擬樣本數為36,64和100三種情形，產生的模擬結果如下表所示。

資料的真實分配拒絕虛無假設的比例

n=36

n=64

n=100

N(3,1)5.82%5.70%5.62%

N(3.25,1)33.38%51.46%69.90%

N(3.5,1)85.68%97.99%99.90%

型1誤差機率與檢定力的模擬隨著n

增加，模擬的型1誤差機率越接近真正的型1誤差機率(即顯著水準5%