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文档简介

二项式定理的发现与推行倪致祥科学发现系列讲座二项式定理的发现经过探求,13世纪阿拉伯人曾经知道两项和的n次方的展开结果:二项式定理的发现为了便于看出规律，我们把它补充完好:二项式定理的发现为了便于研讨其中的规律,1544年Stifel把公式中字母的系数提取出来,称为二项式系数.他发现其中每个数是其上方紧邻两数之和.用公式表示为:这个结果，中国数学家杨辉早在13世纪就发现了。二项式定理的发现经过进一步研讨，1654年Pascal发现二项式系数的规律,即通项公式:1713年,Bernoulli对上面的公式给出了证明。二项式定理的推行1上面得到的结果只适用于指数为自然数的情况，能否把二项式定理推行到非自然数的情况呢?1665年，牛顿对此进展了研讨。他思索了知的无穷递缩等比数列的求和公式：为了便于比较，我们把二项式定理改写为：二项式定理的推行1经过仔细比较，不难发现上式中取n=-1时，自动成为无穷递缩等比数列求和公式。这阐明二项式定理的新方式在n=-1时也成立。这个结果有没有普通性？牛顿大胆的猜测：二项式定理的新方式对于恣意有理指数都是正确的，即：二项式定理的推行1这个猜测能否正确？牛顿对此进展了验证。当指数为1/2时，有：验证的结果与猜测一致。牛顿还对指数为1/3、2/3等情况进展了验证，结果也与猜测一致。二项式定理的推行1然而，仅仅凭着有限的验证可以保证结论的普遍正确性吗？还要不要严厉的证明？牛顿以为这曾经足够了，不需求进一步证明，他也没有给出证明。1811年，高斯对此进展了严厉的证明，结果阐明牛顿的猜测是正确的。二项式定理在组合实际、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的运用。如今，人们曾经把二项式定理推行到了指数为恣意的实数，甚至复数时的情况。二项式定理的推行2二项式定理给出了两项和的n次幂的展开公式，有时我们也需求计算三项或多项和的n次幂，这时该怎样办？最容易想到的方法是多次运用二项式定理，即先把后几项合并成一项，运用二项式定理，再对式子中出现的后几项的幂进展类似处置。例如，对于三项和的n次幂，可以如下计算二项式定理的推行2详细写出来是二项式定理的推行2为了坚持展开后的对称性，我们把展开式写成二项式定理的推行2把公式中字母的系数提取出来经过仔细察看，我们发现上一三角形可以摞在下一三角形的上方，构成一个正四面体。四面体中的每一个数等于其肩上三个数之和。二项式定理的推行2同样的方法，我们可以得到四项和的n次幂的计算公式二项式定理的推行2为了看出多项和n次幂的计算公式的普通规律，我们把前面得到的结果列在一同：二项式定理的推行2经过仔细察看，我们不难发现以下规律：1〕展开式中各个字母的指数和为n；1〕系数的分子都是n！，分母为指数阶乘之积；3〕求和条件为各指数均非负，且和为n于是，我们可以把这些展开式一致表达为二

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