大二上概率一章讲

第六讲

事件的独立性

显然P(A|B)=P(A)这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.一、两事件的独立性A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设

由乘法公式知，当事件A、B独立时，有P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用

P(A|B)=P(A)

或

P(B|A)=P(B)

更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.P(AB)=P(B)P(A|B)若两事件A、B满足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)则称A、B独立，或称A、B相互独立.两事件独立的定义例1从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记

A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可见,P(AB)=P(A)P(B)

由于P(A)=4/52=1/13,说明事件A、B独立.问事件A、B是否独立？解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2

前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做:

从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记

A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}

在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.

则由于P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13

P(A)=P(A|B),说明事件A、B独立.

在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.

由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立.甲、乙两人向同一目标射击，记

A={甲命中},B={乙命中}，A与B是否独立？例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）

一批产品共n件，从中抽取2件，设

Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,则A1与A2独立.

因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.又如：因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.请问：如图的两个事件是独立的吗？

即:若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,则A与B不独立.反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,

则A

、B不互斥.而P(A)≠0,P(B)≠0故A、B不独立我们来计算：P(AB)=0P(AB)≠P(A)P(B)即

问：能否在样本空间S中找两个事件,它们既相互独立又互斥?这两个事件就是

S和P(S)=P()P(S)=0

与S独立且互斥不难发现，与任何事件都独立.设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：

前面我们看到独立与互斥的区别和联系，1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习.=P(A)[1-P(B)]=P(A)P()=P(A)-P(AB)P(A)=P(A-A

B)A、B独立故A与独立.概率的性质=P(A)-P(A)P(B)证明:仅证A与独立容易证明,若两事件A、B独立，则

也相互独立.二、多个事件的独立性将两事件独立的定义推广到三个事件：

对于三个事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)四个等式同时

P(AC)=P(A)P(C)成立,则称事件

P(BC)=P(B)P(C)A、B、C相互

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)独立.

推广到n个事件的独立性定义,可类似写出：包含等式总数为：设A1,A2,…,An是

n个事件，如果对任意k(1<k

n),任意1i1<i2<…<ik

n,具有等式则称A1,A2,…,An为相互独立的事件.请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系两两独立相互独立对n(n>2)个事件?对独立事件，许多概率计算可得到简化：例2

三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？

解：将三人编号为1，2，3，三、独立性的概念在计算概率中的应用所求为P(A1+A2+A3)记Ai={第i个人破译出密码}i=1,2,3记Ai={第i个人破译出密码}i=1,2,312所求为P(A1+A2+A3)已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4

P(A1+A2+A3)=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]3

n个独立事件和的概率公式:设事件相互独立,则

P(A1+…+An)也相互独立

也就是说，n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积.

例3下面是一个串并联电路示意图.A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件.它们下方的数是它们各自正常工作的概率.求电路正常工作的概率.P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H)解：将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有其中P(C+D+E)=1-P(F+G)=1-P(W)0.782代入得

例4

甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.

设B={飞机被击落}

Ai={飞机被i人击中},i=1,2,3

由全概率公式

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)则B=A1B+A2B+A3B求解如下:依题意，P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,

P(B|A3)=1可求得:

为求P(Ai),

设Hi={飞机被第i人击中},i=1,2,3将数据代入计算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.于是

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+

P(A3)P(B|A3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飞机被击落的概率为0.458.

这一讲，我们介绍了事件独立性的概念.不难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分简单，因而也就特别重要和有用.如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化.

数学文化欣赏

-------神奇的”无8数”:1234567912345679与9,18,27,36,45,54,64,72,81相乘得111111111,…..999999999.与10,19,28,37,46,55,64,73相乘,积会让1,2,3,4,5,6,7,9八个数字轮流作首位.即123456790,234567901,……901234567.你还能发现它的其他特点吗？创新思想

“于不疑处有疑，方进矣。”

思维的训练

提神、修养、顿悟

判定与区分事物的可能与不可能

人们对身边的非常平凡的事物往往不屑一顾，因为司空见惯、习以为常，便不作深入的思考。在一些普普通通的、简单到不能再简单的事情上，如果还能提出问题，那就能锻炼“idea”，我国宋代思想家张载有句名言：“于不疑处有疑，方进矣。”

人一旦形成了习惯的思维定势，就会习惯地顺着定势的思维思考问题，不愿也不会转个方向、换个角度想问题，这是一种愚顽的“难治之症”。消极的思维定势是束缚创造性思维的枷锁。简单的例子

我与研究生们认真而热心地讨论像三角形，正方形，圆形，以及两点连直线这样的“学龄前”问题。“开动电钻，一定钻出个圆孔来。”“一定？”“是的，一定。难道还能钻出个方孔来？”“为什么不能？”“有谁见过方孔钻！”“你说没见过，这是说话的根据？”…当我们谈到圆，联想到钻孔的工具，有过下面一段对话：事实上，人们习以为常，以为转动必得圆，天经地义，这就是不正确的思维定势！先看一个平面几何问题.Reuleaux三角形它是一类“等宽曲线”平面上简单的封闭的曲线,可以用两条平行的直线去“夹”它，假若任何方向上夹它的平行线都有相等的距离,那么这条曲线称为“等宽曲线”.什么是“等宽曲线”?

容易想到:圆是等宽曲线.

但是等宽曲线只有圆吗?否！请看:正三角形生成的曲边三角形,称为Reuleaux三角形.容易证明:Reuleaux三角形是等宽的.Reuleaux三角形(橘红色)Reuleaux三角形是等宽的,而且,它可以放进一个正方形中…….Reuleaux三角形放进一个正方形中既然它可以放进一个正方形中，

那么，我们就让它

在正方形里转动……

把钻头的截面取为这种“曲边三角形”

…...现在设计钻头的截面……事与愿违：以曲边三角形中心转动,还是钻成圆孔…

注意,上面显示的是围绕形心点的旋转,形心点是不动的。

偏心钻用于钻方孔

如果形心点不是固定的,让形心点在曲线上运动,那么，曲边三角形的外沿，便做成方形空洞.可排废屑的方孔钻头截面这就是方孔钻的数学原理。如