高三数学函数模型及应用

要点·疑点·考点双基回顾

能力·思维·方法

相关拓展第三章〔第二节〕

几种不同增长的函数模型及其应用要点·疑点·考点1.函数思想

就是要用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识.用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察处理问题.2.解答数学应用题的关键有两点：

一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解.3.分析和解决函数应用题的思维过程：实际问题函数模型实际问题的解函数模型得解抽象概括推理演算还原说明答4.几类常见的与不同增长的函数有关函数模型有：〔1〕一次函数模型:y=kx+b〔2〕二次函数模型:y=ax2+bx+c〔3〕指数函数模型:y=abx+c〔4〕对数函数模型：y=mlogax+n〔5〕幂函数模型：y=axn+b5.在增长速度上，一般在区间〔0，+∞〕上，总会存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax1.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，以下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，那么以下四个图形中较符合该学生的走法的是：双基回忆D2.某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，三年后剩下：D3.某商场出售甲、乙两种不同价格的电脑，其中甲电脑供不应求，连续两次提价10%，而乙电脑由于外观原因连续两次降价10%，最后甲乙两台电脑均以9801元售出，假设商场同时售出甲乙两台电脑各一台与价格不升不降比较，商场盈利的情况是：A.前后相同B.少赚598元C.多赚980.1元D.多赚498.5元B例1医学上为研究传染病传播中病毒细胞的开展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表：

天数t

1234567…病毒细胞总数N

1248163264…该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡。但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%。〔1〕为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？〔2〕第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？〔精确到天，lg2=0.3010〕27天;6天.【解题回忆】指数函数模型，关键在于根据题中条件写出函数式，列出不等式。注意解题技巧：“两边取对数〞，这对实施指数计算很有效。能力·思维·方法【解题回忆】看似繁杂的文字题，其背景不过是两个一次函数，当然因x∈N*，故实际上是两个等差数列.例2一家庭(父亲、母亲、孩子)去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策，甲旅行社承诺：如果父亲买一张全票，那么其家庭成员(母亲与孩子，不管孩子多少与大)均可享受半价；乙旅行社承诺：家庭旅行算团体票，按原价的2/3计算，这两家旅行社的原价是一样的，假设家庭中孩子数不同(至少一个)，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪一家旅行社更优惠?例3截止到1999年底，我国人口约为13亿，假设今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y〔亿〕；〔1〕求y与x的函数关系式y=f(x)；〔2〕求函数y=f(x)的定义域；〔3〕判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减性的意义。【解题回忆】原有人口P，增长率为m〔或降低率为m〕，经x年后有：P=〔1+m〕x[或P=〔1-m〕x]相关拓展

按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年利率8%，零存每月利率2%，现把2万元存入银行3年半，取出后本利和应为人民币：A.12B.15C.25D.50【解题回忆】复利问题：本金为P，期利率为r，经n期后本利和为：P=〔1+r〕n；单利问题：本金为P，期利率为r，经n期后本利和为：P=〔1+nr〕；例4某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件。为了估计以后每月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选择二次函数或函数y=a.bx+c〔其中a,b,c为常数〕，4月份该产品的产量为1.37万元，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由。【解题回忆】先用待定系数法分别求出两个函数，再比较当x=4时的函数值哪个更接近1.37。某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个鼓励销售部门的奖励方案：在销售利润到达10万元时,开始按销售利润进行奖励,且奖金y〔万元〕随销售利润x〔万元〕的增加而增加，但奖金总额不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？相关拓展煤气费=根本费+超额费+保险费假设每月用量不超过最低限度A米3，只付根本费3元和每户每月的定额保险费C元，假设每月用量超过A米3，超过局部每立方米付B元，又知保险费C不超过5元，根据上面的表格求A、B、C。

例5某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表所示：

月份用气量煤气费一月份4立方米4元二月份25立方米14元三月份35立方米19元【解题回忆】利用分段函数解决问题。(A=5,B=1/2,C=1)；蕨菜根uxd41vzu说中午要给我们摊鸡蛋煎饼吗，太好了！今儿个不用小青姐姐给我们三个送饭了，我们的水果全卖完了，我们回家来吃，我来帮您打鸡蛋吧！〞乔氏此时正在背着身子用湿毛巾擦脸呢。听到耿直欢快的呼唤，她尽量努力平静地说：“娘娘还没有准备好面糊呢。你先去玩儿吧。一会儿准备好了，娘娘喊你来打鸡蛋！〞耿直容许一声，就好似兔子一样又蹦跳着从西屋里了蹿出来，差点儿跟刚走进过厅的小青撞了一个满怀。而此时刚刚走进过厅的小青却感觉有点儿不对劲儿了：为什么耿直刚刚那样喊叫，但耿伯伯还在大敞着门儿的东屋床上面朝里侧卧着呢？进了西屋再看一眼母亲的脸色，虽然已经擦洗过了，但仍然还能明显地看出来哭泣过的痕迹，心里不禁“咯噔〞一下。她马上想到，姆妈现在不至于为了已经去世的爹爹再不时不晌地这样伤心了啊！假设要说母亲现在最挂心的，莫过于自己和耿正的事情了。所以此情此景，只能让她以为是：耿伯伯不愿意应允耿正和她的亲事，而使自己的姆妈伤心不已了。于是，她暗下决心，趁着今儿下午没有事情，一定要向耿正挑明这件事！恰在此时，耿英和耿正一前一后走进过厅了。耿英探头看到爹爹正在睡觉，就伸出右手轻轻地拉上屋门，同时左手举食指竖在嘴巴之前，无声地噘起嘴“嘘〞了一声，和哥哥一起转身欲往西屋里去。小青一个急转身挡在门口，装出很快乐的样子对二人说：“姆妈刚刚说了，叫咱们去新屋里仔细查看一番，看一看所有的墙面和顶棚是不是全都干透了。今儿个下午，她要带我们去买刷家用的粉末和毛刷，顺便再去街上转悠转悠呢！〞于是，大家一起来到新屋内，一面一面仔仔细细地查看亮好了的墙壁。确认所有的墙壁已经全部干透了以后，小青又说：“不知道顶棚上的石灰泥是不是也干透了？顶棚上抹得多，只怕还没有干透呢！〞耿正也说：“对，亮顶棚用的石灰泥很多，我们应该特别查看一下！外面的石灰泥必须充分干透了，竹帘子里面挤进去的石灰泥小球球才有可能也干了呢！〞于是，小青和耿英扶着高架凳子，耿正踩在上面仔细地检查了每一间屋子的顶棚，确认都已经干透了。然后，大家又在各间屋子里随便走走看看。小青环顾这些洁白的新屋，非常感谢而又深感歉意地说：“真是不容易啊，把耿伯伯累成那样