甘肃省兰州市永登县2023-2024学年九年级数学第一学期期末统考试题含解析

甘肃省兰州市永登县2023-2024学年九年级数学第一学期期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作⊙，⊙与轴交于、，与轴交于点，为⊙上不同于、的任意一点，连接、，过点分别作于，于．设点的横坐标为，．当点在⊙上顺时针从点运动到点的过程中，下列图象中能表示与的函数关系的部分图象是（）A． B． C． D．2．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）A．100m B．100m C．150m D．50m3．已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）．A．； B．； C．； D．．4．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且AD=5cm，DB=3cm，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，将△ADE沿着DE折叠，得△MDE，与边BC分别交于点F，G．若△ABC的面积为32cm2，则四边形DEGF的面积是（）A．10cm2 B．10.5cm2 C．12cm2 D．12.5cm25．如图，△ABC内接于圆，D是BC上一点，将∠B沿AD翻折，B点正好落在圆点E处，若∠C＝50°，则∠BAE的度数是（）A．40° B．50° C．80° D．90°6．如图，过反比例函数（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（）A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．大小关系不能确定7．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB＝(

)A．15

B．12

C．9

D．68．如图，点D是等腰直角三角形ABC内一点，AB=AC，若将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，则∠AED的度数为（）A．25° B．30° C．40° D．45°9．如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则()A．2 B． C． D．10．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosB的值为()A． B． C． D．2二、填空题(每小题3分,共24分)11．一个正多边形的每个外角都等于，那么这个正多边形的中心角为______．12．在一个有15万人的小镇，随机调查了1000人，其中200人会在日常生活中进行垃圾分类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是_____．13．如图，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.4km，则M,C两点间的距离为______km.14．用一个圆心角90°，半径为8㎝的扇形纸围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径为．15．如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为_____．16．分母有理化：＝_____．17．如图，已知AD∥EF∥BC，如果AE=2EB，DF=6，那么CD的长为_____．18．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC=_____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，点E在AD边上，且AE=4，EF⊥BE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）求EF的长．20．（6分）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．判断△ABC的形状，并证明你的结论；21．（6分）经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．时间x（天）1≤x<5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200-2x（1）求出y与x的函数关系式（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？（3）该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案．22．（8分）（1）如图1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．（2）如图2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的长．23．（8分）如图，已知一次函数分别交、轴于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为．（1）求、的值及点的坐标；（2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，过作轴的垂线交抛物线于点，交线段于点．设运动时间为秒．①当为何值时，线段长度最大，最大值是多少？（如图1）②过点作，垂足为，连结，若与相似，求的值（如图2）24．（8分）如图，已知，在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点从A点开始以1个单位/秒的速度沿轴向右移动，点从点开始以2个单位/秒的速度沿轴向上移动，如果两点同时出发，经过几秒钟，能使的面积为8个平方单位．

25．（10分）关于x的方程x2－4x＋2m+2＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．26．（10分）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有又∵∠PCD＝∠△∽△∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝1，则AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)(3)拓展延伸：如图1，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝1．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】由题意，连接PC、EF，利用勾股定理求出，然后得到AB的长度，由垂径定理可得，点E是AQ中点，点F是BQ的中点，则EF是△QAB的中位线，即为定值，由，即可得到答案.【详解】解：如图，连接PC，EF，则∵点P为（3，0），点C为（0，2），∴，∴半径，∴；∵于，于，∴点E是AQ中点，点F是BQ的中点，∴EF是△QAB的中位线，∴为定值；∵AB为直径，则∠AQB=90°，∴四边形PFQE是矩形，∴，为定值；∴当点在⊙上顺时针从点运动到点的过程中，y的值不变；故选：A.【点睛】本题考查了圆的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，以及三角形的中位线定理，正确作出辅助线，根据所学性质进行求解，正确找到是解题的关键.2、A【解析】∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，∴，∵BC=50，∴AC=50，∴（m）．故选A3、B【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【详解】解：、左边得出的是的方向不是单位向量，故错误；、符合向量的长度及方向，正确；、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；、左边得出的是的方向，右边得出的是的方向，两者方向不一定相同，故错误．故选：．【点睛】本题考查了向量的性质．4、B【分析】根据相似多边形的性质进行计算即可；【详解】∵DE∥BC，∴，，又由折叠知，∴，∴DB=DF，∵，，∴，即，∴，∴，同理可得：，∴四边形DEGF的面积．故答案选B．【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，准确计算是解题的关键．5、C【分析】首先连接BE，由折叠的性质可得：AB=AE，即可得，然后由圆周角定理得出∠ABE和∠AEB的度数，继而求得∠BAE的度数．【详解】连接BE，如图所示：由折叠的性质可得：AB=AE，∴，∴∠ABE=∠AEB=∠C=50°，∴∠BAE=180°﹣50°﹣50°=80°．故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理，折叠的性质以及三角形内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键，注意数形结合思想的应用．6、B【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出S1、S1的值即可进行比较．【详解】由于A、B均在反比例函数的图象上，且AC⊥x轴，BD⊥x轴，则S1＝；S1＝．故S1＝S1．故选：B．【点睛】此题考查了反比例函数k的几何意义，找到相关三角形，求出k的绝对值的一半即为三角形的面积．7、A【分析】根据三角函数的定义直接求解.【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，∵，∴，解得AB＝1．故选A8、D【分析】由题意可以判断△ADE为等腰直角三角形，即可解决问题．【详解】解：如图，由旋转变换的性质知：∠EAD=∠CAB，AE=AD；

∵△ABC为直角三角形，

∴∠CAB=90°，△ADE为等腰直角三角形，

∴∠AED=45°，

故选：D．【点睛】该题考查了旋转变换的性质及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质．9、B【分析】过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于D点，则CD=1,AC=,在直角三角形ACD中即可求得的值.【详解】过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于D点，则CD=1，AC=在直角三角形ACD中故选：B【点睛】本题考查的是网格中的锐角三角函数，关键是创造直角三角形，尽可能的把直角三角形的顶点放在格点.10、A【解析】解：在直角△ABD中，BD=2，AD=4，则AB=，则cosB=．故选A．二、填空题(每小题3分,共24分)11、60°【分析】根据题意首先由多边形外角和定理求出正多边形的边数n，再由正多边形的中心角=，即可得出结果．【详解】解：正多边形的边数为，故这个正多边形的中心角为.故答案为：60°.【点睛】本题考查正多边形的性质和多边形外角和定理以及正多边形的中心角的计算方法，熟练掌握正多边形的性质，并根据题意求出正多边形的边数是解决问题的关键．12、【解析】根据概率的概念，由符合条件的人数除以样本容量，可得P（在日常生活中进行垃圾分类）==.故答案为.13、1.1【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC=12AB=1.1km【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，∴MC=12故答案为：1.1．【点睛】此题考查直角三角形的性质，解题关键点是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键.14、1．【解析】试题分析：扇形的弧长是：，设底面半径是，则，解得．故答案是：1．考点：圆锥的计算．15、【解析】解：∵弦CD∥AB，∴S△ACD=S△OCD，∴S阴影=S扇形COD==．故答案为．16、+．【解析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．据此作答．【详解】解:==+．故答案为+．【点睛】本题考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．17、9【解析】∵AD∥EF∥BC，,∴DF=6,∴FC=3,DC=DF+FC=9,故答案为9.18、90°﹣α．【分析】首先连接OC，由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得∠OBC的度数．【详解】连接OC．∵∠BOC=2∠BAC，∠BAC=α，∴∠BOC=2α．∵OB=OC，∴∠OBC故答案为：．【点睛】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．三、解答题(共66分)19、（1）见解析；（2）．【分析】（1）根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用两角对应相等，两三角形相似证明；

（2）利用勾股定理列式求出BE，再求出DE，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∵EF⊥BE，

∴∠2+∠3=180°-90°=90°，

∴∠1=∠3，

又∵∠A=∠D=90°，

∴△ABE∽△DEF；

（2）∵AB=3，AE=4，

∴BE==5，

∵AD=6，AE=4，

∴DE=AD-AE=6-4=2，

∵△ABE∽△DEF，

∴，即，

解得EF=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，利用同角的余角相等求出相等的锐角是证明三角形相似的关键．20、见解析.【分析】利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；【详解】解：△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是弧BC所对的圆周角，∠ABC与∠APC是弧AC所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°=∠ACB，∴△ABC为等边三角形.【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，解题的关键是掌握圆周角定理，正确求出∠ABC=∠BAC=60°.21、（1）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000；（2）第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．【解析】试题分析：（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．试题解析：（1）当1≤x＜50时，y=（x+40﹣30）(200-2x)=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（90﹣30）（200-2x）=﹣120x+12000；（2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．22、（1）AD=9；（2）AD=【分析】（1）连接BE，证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE，在Rt△BAE中，AB=6，AE=3，求出BE，得到答案；（2）连接BE，证明△ACD∽△BCE，得到，求出BE的长，得到AD的长．【详解】解：（1）如图1，连接BE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，又∵AC=BC，DC=EC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∵AC=BC=6，∴AB=6，∵∠BAC=∠CAE=45°，∴∠BAE=90°，在Rt△BAE中，AB=6，AE=3，∴BE=9，∴AD=9；（2）如图2，连接BE，在Rt△ACB中，∠ABC=∠CED=30°，tan30°=，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCE=∠ACD，∴△ACD∽△BCE，∴，∵∠BAC=60°，∠CAE=30°，∴∠BAE=90°，又AB=6，AE=8，∴BE=10，∴AD=．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．23、（1）2，3，；（2）①时，长度最大，最大值为；②或【解析】（1）先求得坐标，把代入中，利用待定系数法求得系数得出解析式，进一步求解点坐标即可；（2）①由题知、;将函数化为顶点式，即可得到最大值．）②将BF、DF用含有t的代数式表示，分类讨论当相似，则，即：,求得t，当相似，则，即：,求得t即可．【详解】解：（1）在中令,得，令,得，∴，把代入中，得：，解得，∴抛物线的解析式为，∴点坐标为；（2）①由题知、；∴∴当时，长度最大，最大值为．②∵，∴，∴，在中，，；在中，，；∴若相似，则，即：，解得：（舍去），；若相似，则，即：,解得：（舍去），；综上，或时，与相似．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用以及相似三角形性质．求出二次函数解析式，研究二次函数的顶点坐标及相关图形的特点，是解题的关键．24、2秒，4秒或秒【分析】首先求得直线与两坐标轴的交点坐标，然后表示出三角形的两边利用三角形的面积计算公式列出方程计算即可．【详解】解：直线AC与x轴交于点A（-6，0），与y轴交于点C（0，1），所以，OA=6，OC=1．设经过x秒钟，则OQ为2x．当时，点P在线段OA上，底OP=，可列方程，解得．当时，点P与点O重合或在线段OA的延长线上，底OP=，可列方程，解得，而不合题意舍去．综上所述，经过2秒，4秒或秒能使△PQO的面积为1个平方单位．【点睛】本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是能够根据直线的解析式确定直线与两坐标轴的交点，从而求得有关的线段的长，注意分类讨论，难度不大．25、m=1，【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围，再由m为正整数进而求出m的值，然后再将m代入方程中解方程得出答案．【详解】解：∵关于x的方程x2－4x＋2m+2＝0有实数根∴解得又为正整数∴将代回方程中，得到x2－4x＋4＝0即求得方程的实数根为：.故答案为：，方程的实数根为：【点睛】此题主要考查了根的判别式，当时方程有两个不相等的实数根；当时方程有两个相等的实数根；时方程无实数根.26、（1）BCP，PCD，BCP，；（2）2；（3）作图与求解过程见