用频率直方图估计体分布百分位数

14.4.3用频率直方图估计总体分布14.4.4百分位数结合实例，能用频率直方图估计总体分布，理解百分位数的统计含义，能用样本估计百分位数.课标要求素养要求在本节的学习过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，对数据进行分析，发展学生的数学建模、数学运算素养和数据分析素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.用频率直方图估计总体分布(1)利用频率直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的________.②中位数左右两侧直方图的面积______.③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.(2)利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致.但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.中点值相等点睛频率直方图的组数对数据分析的影响：①当组数少、组距大时，容易从中看出数据整体的分布特点，但由于无法看出每组内的数据分布情况，损失了较多的原始数据信息；②当组数多、组距小时，保留了较多的原始数据信息，但由于小长方形较多，有时图形会变得非常不规则，不容易看出总体数据的分布特点.

2.p百分位数的定义一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有______的数据小于或等于pk，且至少有__________________的数据大于或等于pk.如果将样本数据从小到大排列成一行，那么k百分位数pk所处位置如图所示.k%(100－k)%3.计算一组n个数据的大样本的k百分位数的步骤第1步将所有数值按从小到大的顺序排列；第2步计算______；平均数4.四分位数中位数即为______百分位数，我们也把中位数、______百分位数和75百分位数称为四分位数.50251.思考辨析，判断正误 (1)若一组样本数据各不相等，则其75百分位数大于25百分位数.() (2)若一组样本数据的10百分位数是23，则在这组数据中有10百的数据大于23.()

提示若一组样本数据的10百分位数是23，则在这组数据中至少有10%的数据小于或等于23. (3)若一组样本数据的24百分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.(

)√×√2.下列一组数据的25百分位数是(

)2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6A.3.2 B.3.0C.4.4 D.2.5解析把该组数据按照由小到大排列，可得：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是25百分位数.A3.已知100个数据的75百分位数是9.3，则下列说法正确的是(

) A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数

解析因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为75百分位数，是9.3，选C.C4.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高，现随机抽取10位某市居民，他们的幸福感指数从小到大分别为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，则这组数据的70百分位数为________.解析

因为70%×10＝7为整数，所以这组数据的70百分位数为第7个与第8个数据的平均数，即7.5.7.5课堂互动题型剖析2题型一用频率直方图估计总体分布【例1】

某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率直方图如图所示.(1)求这次测试数学成绩的众数；(2)求这次测试数学成绩的中位数；解由题图知，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，设为x，得0.1＝0.03·(x－70)，所以x≈73.3，即这80名学生的数学成绩的中位数约为73.3分.(3)求这次测试数学成绩的平均数.在频率直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的，此时，通常假设它们在组内均匀分布，这样就可以获得样本的平均数、中位数和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众数.思维升华【训练1】

从高一抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率直方图.由于一些数据丢失，试利用频率直方图求： (1)这50名学生成绩的众数与中位数；解

由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数，在频率直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为75分.由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就使中位数左右两边的小矩形的面积和相等.因为0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，所以前三个小矩形面积的和为0.3.而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3，0.3＋0.3>0.5，所以中位数应约位于第四个小矩形内.设其底边为x，高为0.03，所以令0.03x＝0.2，得x≈6.7，故中位数应约为70＋6.7＝76.7(分).(2)这50名学生的平均成绩.解

样本平均值应是频率直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可.所以平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)＝73.65(分).题型二百分位数的计算【例2】

从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.(1)分别求出这组数据的25，50，95百分位数；解将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×50%＝6，12×95%＝11.4，95百分位数是第12个数据9.9.(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；解因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则15百分位数是第2个数据7.9.即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8g，7.9g.(3)若用25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准.解由(1)可知样本数据的25百分位数是8.15g，50百分位数为8.5g，95百分位数是9.9g，所以质量小于或等于8.15g的珍珠为次品，质量大于8.15g且小于或等于8.5g的珍珠为合格品，质量大于8.5g且小于或等于9.9g的珍珠为优等品，质量大于9.9g的珍珠为特优品.计算一组n个数据的p百分位数的一般步骤：(1)排列：按照从小到大排列原始数据；(2)算i：计算i＝n×p%；(3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p百分位数为第j项数据；若i是整数，则p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.思维升华【训练2】

如图所示是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的80百分位数是(

)DA.－2 B.0C.1 D.2解析由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排列为：－3，－2，－1，－1，0，0，1，2，2，2，因为共有10个数据，所以10×80%＝8，是整数，题型三由频率直方图求百分位数【例3】

某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；解当0≤x≤200时，y＝0.5x；当200<x≤400时，y＝0.5×200＋0.8·(x－200)＝0.8x－60；当x>400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0·(x－400)＝x－140.所以y与x之间的函数解析式为(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率直方图.若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80%，求a，b的值；解由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量低于400千瓦时的占80%，结合频率直方图可知解得a＝0.0015，b＝0.0020.(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75百分位数.解设75百分位数为m，因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，用电量低于400千瓦时的占80%，所以75百分位数m在[300，400)内，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，解得m＝375(千瓦时)，即用电量的75百分位数为375千瓦时.由频率直方图求百分位数的方法(1)要注意频率直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率.(2)一般采用方程的思想，设出p百分位数，根据其意义列出方程并求解即可.思维升华【训练3】

某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45])，得到如图所示的频率直方图，已知第一组有5人.(1)求x；解第一组频率为0.01×5＝0.05，(2)求抽取的x人的年龄的50百分位数(结果保留整数)；解由图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，所以抽取的x人的年龄的50百分位数在[30，35)内，(3)以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的20百分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想.解把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：88，90，92，92，95，96，96，97，98，99，这10人成绩的平均数为评价：从20百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高.感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可.分层训练素养提升3

一、选择题1.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位：分)：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的80百分位数是(

)A.90 B.90.5 C.91 D.91.5解析把成绩按从小到大的顺序排列为：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，B2.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5，40]中，其频率直方图如图所示.估计棉花纤维的长度的样本数据的80百分位数是(

)AA.29mm B.29.5mmC.30mm D.30.5mm解析棉花纤维的长度在30mm以下的比例为(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%，在25mm以下的比例为85%－25%＝60%，因此，80百分位数一定位于[25，30)内，可以估计棉花纤维的长度的样本数据的80百分位数是29mm.3.某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，50百分位数为b，则有(

)A.a＝13.7，b＝15.5 B.a＝14，b＝15C.a＝12，b＝15.5 D.a＝14.7，b＝15D4.已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列)：甲组：27，28，39，40，m，50；乙组：24，n，34，43，48，52.A5.(多选题)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(

)BCDA.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数C.甲的成绩的80百分位数等于乙的成绩的80百分位数D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差所以二者相等，所以C项正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D项正确.二、填空题6.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，则60分为成绩的________百分位数.30解析因为分数位于[20，40)，[40，60)的频率之和为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以60分为成绩的30百分位数.7.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70百分位数约为________秒.16.5解析设成绩的70百分位数为x.所以x∈[16，17)，解得x＝16.5(秒).8.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率直方图(如图)，但是年龄组为[25，30)的数据不慎丢失，则依据此图可估计志愿者年龄的85百分位数为______岁.39解析设[25，30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.则年龄小于35岁的频率为(0.01＋0.04＋0.07)×5＝0.6，年龄小于40岁的频率为(0.01＋0.04＋0.07＋0.06)×5＝0.9，所以志愿者年龄的85百分位数在[35，40)内，三、解答题9.如图是某市2020年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，求这7天的日最高气温的10百分位数和日最低气温的80百分位数.解由折线图可知，把日最高气温按照从小到大排序，得24，24.5，24.5，25，26，26，27，因为共有7个数据，所以7×10%＝0.7，不是整数，所以这7天日最高气温的10百分位数是第1个数据，为24℃.把日最低气温按照从小到大排序，得12，12，13，14，15，16，17，因为共有7个数据，所以7×80%＝5.6，不是整数，所以这7天日最低气温的80百分位数是第6个数据，为16℃.10.某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2020年11月11日的网购金额，所得数据如下表：网购金额(单位：千元)人数频率(0，1]160.08(1，2]240.12(2，3]xp(3，4]yq(4，5]160.08(5，6]140.07合计2001.00已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2.(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率直方图(如图)；所以p＝0.4，q＝0.25.补全频率直方图如图所示：(2)估计网购金额的25百分位数.解由(1)可知，网购金额不高于2千元的频率为0.08＋0.12＝0.2，网购金额不高于3千元的频率为0.2＋0.4＝0.6，所以网购金额的25百分位数在(2，3]内，11.按从小到大顺序排列的数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是(

) A.[4.5，＋∞) B.[4.5，6.6] C.(4.5，＋∞) D.(4.5，6.6]

解析因为8×65%＝5.2，所以这组数据的65百分位数是第6项数据4.5，则x≥4.5，又x≤6.6，故选B.B12.某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率直方图，据此估计这批产品的中位数为(

)CA.20 B.25C.22.5 D.22.75解析设中位数为x，则0.1＋0.2＋0.08·(x－20)＝0.5，得x＝22.5.13.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男、女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率直方图：(1)估计总体400名学生中分数小于70的人数；解根据频率直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.所以估计总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4＝160.(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；解根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，