2023-2024学年湘教版必修第二册 1-6解三角形1-6-1余弦定理 课件（30张）

1.6.1余弦定理新知初探·课前预习题型探究·课堂解透新知初探·课前预习教材要点要点一解三角形从已知三角形的某些元素出发求这个三角形其他元素的过程叫作解三角形．要点二余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a2＝________________，b2＝________________，c2＝________________．推论cosA＝__________，cosB＝___________，cosC＝__________．b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC

状元随笔对余弦定理的理解(1)余弦定理对任意的三角形都成立．(2)在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量．(3)余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．

基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．(

)(2)余弦定理只适用于锐角三角形．(

)(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(

)(4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(

)√×√√

答案：D

答案：B

题型探究·课堂解透

答案：D

答案：C方法归纳(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．(2)已知两边及其夹角解三角形的方法首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．

2

1解析：根据余弦定理，得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcosC所以13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1(负值舍去)．

答案：B(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．解析：已知a－b＝4，则a>b，且a＝b＋4.又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则b>c，从而a>b>c.因此a为最大边，∠A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a＝14.即此三角形的最大边长为14.方法归纳(1)余弦定理及其推论在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择；(2)由于余弦函数在区间(0，π)内是单调的，因此由余弦定理的推论可知，由任意一个内角的余弦值确定的角是唯一的，因此用余弦定理求三角形内角时不必进行分类讨论．

答案：D(2)△ABC中，a＝3，b＝5，c＝7，则其最大内角等于________．

题型3判断三角形的形状例3在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)·(b＋c－a)＝3bc，sinA＝2sinBcosC．试判断△ABC的形状．

方法归纳利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即用转化的思想解决问题，一般有两个思路：(1)化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系；(2)化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系．一般地，若遇到的式子含角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理．跟踪训练3

在△ABC中，若满足acosA＝bcosB，则△ABC一定为(

)A．等腰三角形

B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形答案：D

易错辨析忽略构成三角形的条件出错例4已知2a＋1，a，2a－1是钝角三角形的三边，则实数a的取值范围为________．(2，8)

易错警示易错原因纠错心得由于余弦定理的变形较多，且涉及平方和开方等运算，易因不细心而导致错误．在利用余弦定理求三角形的三边时，除了要保证三边长均为正数，还要判断一下三边能否构成三角形．

答案：C解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋25－2×3×5cos120°＝49∴b＝7.

答案：B

3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若∠B＝60°，b2＝ac，则△AB