小学奥数题库《几何》几何图形正多边形2星题（含详解）全国通用版

几何-几何图形-正多边形-2星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

正多边形A1.了解正多边形的概念，认识几种少考

常见的正多边形

2.掌握正多边形的内角和的计算方

法

知识提要

正多边形

・概念

各边相等、各角相等的多边形叫做正多边形(边数大于或等于3).

・内角和计算公式

正"边形的内角和度数为：5-2)x180°.

・外角和

正n边形的外角和度数为360°.

精选例题

正多边形

1.画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两局部，这样的直线有条.

【答案】无数.

【分析】无数条.任何过六边形中心的直线均符合要求.

2.“足球”可以近似地看成是由一些正五边形与正六边形组成的几何体，每一个顶点处有3条

棱，这个几何体是阿基米德立体(ArchimedeanSolids)中的一个，通常，可以通过如下列图

所示的方法，截正二十面体得到“足球"，那么，一个“足球”的棱数为

【答案】90

【分析】这个多面体由2。个面围成，有12个顶点，30条棱，所以个顶点都截出一个正五

边形，所以棱有

12X5+30=90（条）.

3.下列图六角星的6个顶点恰好是一个正六边形的6个顶点.那么阴影局部面积是空白局部

面积的倍

【答案】3

【分析】如下列图将原图形分割为完全相同的24个小三角形，其中空白局部6块，阴影局

部18块，显然阴影局部面积是空白局部的3倍.

4.如果一个边长为8的正三角形的面积是28,那么一个边长为8的正十二边形面积

是.

【答案】720

【分析】将正十二边形做如下列图所示的划分，可以看出一个正十二边形由6个边长8的正

方形和12个边长为8的正三角形组成，面积为6X82+12X28=720.

5.如下列图所示，它们是大小相同的五个正六边形，假设其阴影局部的面积依次记为

a,b,c,d,e,那么a,b,c,d,e的大小关系是.

【答案】c—e>a=b=d

【分析】正六边形的面积是a的2倍；正六边形的面积是b的2倍；正六边形的面积是c

的1.5倍；正六边形的面积是d的2倍；正六边形的面积是e的1.5倍.所以由大到小为

c=e>a=b=d.

6.如下列图，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大

正六边形边长的一半.如果小正六边形沿着大正方形的边滚动了一周后返回出发时的位置，那

么，在这个过程中线段。4围绕着。点旋转了圈.（。点是小正六边形的中心）

【答案】3圈

【分析】观察小正六边形沿着大正六边的边滚动情况.

从左图到中图的滚动过程中，。4绕。点旋转了60°；从中图到右图的滚动过程中，。4绕。

点旋转了120°.即小正六边形从点4位置滚动到点B位置，。4绕。点共旋转了

600+120°=180°.

类似地，从B点滚动到C点，从。点滚动到。点，……最后从尸点又滚动回到4点，。4绕

。点都要旋转180°.因此，当小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位

置，在这个过程中，线段。“绕D点旋转了180°X6=1080。，即旋转了三圈.

7.如下列图所示，一个正八边形中最长的对角线等于见最短的对角线等于b,那么这个正八

边形的面积等于（用含字母a、b的式子表示）

【答案】ab

【分析】如下列图所示，AC=AD=AB=lBC=b,因为是正八边形，所以BC与4。是

垂直的，因此四边形4B0C的面积为:x6x^=1,正八边形的面积为四边形4引兀面积的4

倍，所以正八边形的面积等于4=ab.

8.假设一正n边形，其内角度数是其外角度数的4倍，那么n=.

【答案】1。

【分析】多边形外角和是360度，所以这个正多边形的内角和是360X4=1440度，根据

正多边形的内角和公式5-2)x180=1440,n=10.

9.如下列图所示，大正六边形的面积是24平方厘米，其中放了三个一样的小正六边形.阴影

面积是平方厘米.

【答案】18

【分析】

如上图所示，将六边形分割为三角形格点，正六边形被分成24个面积为1平方厘米的正三角

形，阴影的面积为：1X18=18（平方厘米）.

10.如图，4BCDEF为正六边形，ZG=100°,那么ZNBC=

CD

【答案】40

【分析】正六边形内角和为720度，每个内角和为120度，Z凡48=N4BC=120。,

/.BAG=60°,Z.ABG=W0°-100°-60°=20°,所以，

乙NBC=180°-/.ABG-/.ABC=180°-120°-20°=40°

11.如下列图所示，正十二边形的面积是60平方米，点。是正十二边形的中心，那么阴影三

【答案】5

【分析】如下列图所示，阴影局部面积等于三角形。48的面积，正十二边形可被分成12个

形如三角形。48的局部，所以三角形。ZB的面积=60+12=5（平方米），即阴影局部面

积为51平方米）.

12.如下列图所示，正十二边形和中心白色的正六边形的边长均为12.图中阴影部的面积

【答案】324

【分析】如下列图所示，阴影局部被分为3个相同的局部，每一个局部由两个三角形构成;

其中一个三角形是腰为12的等腰直角三角形，面积为12X12+2=72,另一个三角形底为

12,高为12x；=6,面积为12x6+2=36.每一个局部面积为72+36=108.阴影局部

面积为108X3=324.

13.给定一个正六边形，用不相邻的顶点所连的线段可以将这个正六边形分割为4个三角形,

例如，下列图所示的是两种不同的分割方法，那么，不同的分割方法一共有种.

【答案】14

每次绕中心旋转60°,一共可以得到6种不同的分割方法;

每次绕中心旋转60°,一共可以得到2种不同的分割方法:

综上所述，一共有6+6+2=14（种）不同的分割方法.

14.（1）一个正方形的对角线的长度为见那么这个正方形的面积等于.（用含字母

a的式子表示）

（2）一个正六边形中最长的对角线等于a,最短的对角线等于b,那么这个正六边形的面积等

于.（用含字母a、b的式子表示）

（3）一个正八边形中最长的对角线等于见最短的对角线等于b,那么这个正八边形的面积等

于.（用含字母a、b的式子表示）

（4）一个正十边形中最长的对角线等于a,最短的对角线等于b,那么这个正十边形的面积等

于.（用含字母a、b的式子表示）

（5）一个正十二边形中最长的对角线等于a,最短的对角线等于A那么这个正十二边形的面

积等于.（用含字母a、b的式子表示）

（6）一个正2n边形中最长的对角线等于a,最短的对角线等于瓦那么这个正2n边形的面

积等于.（用含字母a、b的式子表示）

【答案】（1）y：

3ab

⑵丁；

⑶ab；

对角纬X对角纬

【分析】（1）对角线相互垂直的图形，面积可以用2来计算•因此正方形的面积

为争

(2)如下列图所示的正六边形，可看出两条对角线相互垂直，因此阴影局部的面积为

竺，所以正六边形的面积为yX3=号；

(3)如下列图所示的正八边形，阴影局部的面积为凶_他，原正八边形可以分成4个阴影

2~4

局部，因此正八边形的面积为胃x4=ab；

(4)可以想象，正十边形可以分成5个阴影局部，因此正十边形的面积为十x5=浮；

(5)正十二边形的面积为gx6=辞；

(6)正2n边形的面积为孚xn=?.

15.如下列图所示，三个正六边形的面积均为6平方厘米，那么，阴影局部的面积

是平方厘米.

【答案】12

【分析】如下列图所示，一个正六边形可以分成面积相等的六个三角形，所以每个三角形面

积为6+6=1（平方厘米），空白局部包括6个这样的三角形，所以阴影局部面积为

18-6=12（平方厘米）.

16.如下列图所示，△ABC的面积是12平方厘米，以正六边形的边长为正方形的边长，向外

做了6个正方形，最后以正方形的边长为等边三角形的边长，做了6个小等边三角形，这六个

小三角形的面积之和是平方厘米.

【答案】24

【分析】A4BC可以分成三个等腰三角形，那么这个正六边形的面积为△/!/?(?的两倍，即

24平方厘米.

正六边形又可以分割成6个和阴影一样的等边三角形，那么这六个小三角形的面积之和也为

24平方厘米.

17.下列图中正六边形的面积为24平方米，其中4B、C都是所在边的中点，。是BC的三

等分点，阴影局部的面积是平方米.

B

【答案】5

【分析】

A

B

将六边形分割为三角形格点，如上图所示，正六边形被分成24个面积为1平方米的正三角

形，根据毕克公式，内部点几=2,边上点b=3,那么阴影的面积为：(2+3+2-1)X2=5

(平方米).

18.正六边形4BCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组

成如下列图的图形，那么整个图形的面积是平方米.

【答案】2

【分析】

采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三

角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：

IX2=2（平方米）.

19.某人从某点向前走16米，原地向右转18。，再向前走16米，再向右转18。……这样走下

去，他第一次回到出发点时，一共走了米.

【答案】320

【分析】这个人每次走相同的长度之后右转18。，那么如果他要回到出发点，至少需要转

360°,也就是转360°+18°=20（次），期间一共走了20X16=320（米）.实际上，由于多

边形外角和是360°,这个人走的轨迹构成一个正二十边形.

20.图中每个正六边形的面积都是1,那么图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是

【答案】6：

【分析】从图中可以看出，虚线4B和虚线C。外的图形都等于两个正六边形的一半，也就

是都等于一个正六边形的面积：虚线BC和虚线CE外的图形都等于一个正六边形的一半，那

么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线4E外的图形是两个三角形，从下列图中可以看

出，每个三角形都是一个正六边形面积的1,所以虚线外图形的面积等于

11

1x3+—x2=3—,

63

所以五边形的面积是

12

10-3-=6-.

21.古希腊的数学家们将自然数按照以下方式与多边形联系起来,

三边形数:1,3,6,10,15,

四边形数:1,4,9,16,25,

五边形数:1,5,12,22,35,

六边形数:1,6,15,28,45,

按照上面的顺序,第8个三边形数为.

【答案】36

【分析】三边形：1、1+2、1+2+3、1+2+3+4、1+2+3+4+5、

1+2+3+4+5+6、...、1+2+3+…+8=36.

22.假设干个大小相同的正五边形如图排成环状，图中所示的只是3个五边形，那么要完成这

一圈共需个正五边形.

【答案】1。个

【分析】如图，设。，4B、C、。形的顶点，连结。4,OB,OC.

从图中可以看出，△。/和AOBC是完全相同的，所以

Z.OBA=ZOBC,

是正五边形的一个外角，所以

ZOB/1=360°+5=72",

又=所以

N40B=180°-72°X2=36",

所以要用360°+36°=10个正五边形才能围成一圈.

23.如下列图所示，六边形48CDE尸为正六边形，P为对角线CF上一点，假设三角形P8C、

三角形PEF的面积分别为3平方米与4平方米，那么正六边形ABCDEF的面积是平

方米.

BE

【答案】21

【分析】如下列图所示，连接8尸、CF,三角形4BF的面积是平行四边形4/3OF面积的一

半.六边形ABCDEF的面积是平行四边形ABOF的3倍，故六边形ABCDEF的面积是三角形

ABF的面积的6倍.三角形BCP的面积与三角形EFP的面积和是平行四边形BFEC面积的一

半.而六边形ABCDEF的面积是平行四边形BFEC的1.5倍，故六边形ABCDEF的面积是三

角形BCP的面积与三角形EFP的面积和的3倍.所以，由XPBC、APEF的面积分别为3

与4,可知正六边形48CDEF的面积是（3+4）X3=21（平方米）.

24.如下图，是正方形内部最大的正十二边形，正方形与正十二边形的边长差为，那么正十二

边形的面积是.

EQ

D

【答案】54

连接OQ,ON,QN.

QON=60°,OQ=QN,所以QON为正三角形.

由勾股定理得

OQ=ON2=QN2=DQ2+DN2=2X(|)2=18

另一方面，正十二边形面积为

1r

-x12xrx-=3r2

所以阴影局部面积为

3XON2=3X18=54

25.有一个正多边形，它的内角的度数是它外角度数的8倍，这个正多边形共有多少条边?

【答案】18条

【分析】正71边形外角和360°,内角和是180°X5-2),根据题意

180°X(n-2)=360X8,

解得

n—18.

26.如图，连接正六边形4BCDEF(即ZB=BC=CD=DE=EF=尸4)的各边中点，得到一

个较小的正六边形，它的面积是正六边形ABCDEF面积的几分之几?

【答案】四分之三

【分析】因为正六边形的一个内角：(6-2)x180°+6=120°,4GBH=LGIH=120°,

乙IGH=ZBGH=3。°,GH=GH,所以4GBH与△G/”面积相等且完全一样，即3△BGH

的面积是一个AG。”的面积，所以大正六边形有8个AGOH,小的正六边形有6个

△GOH,所以它的面积是正六边形ABCDEF面积的四分之三.

27.如图，在一个面积为60的正十二边形内，有一个小正方形，求阴影局部面积.

【答案】10

【分析】根据正十二边形的画法，正十二边形可以分为六个正方形和十二个正三角形（均以

正十二边形的边长为边长），而阴影局部为1个正方形和2个正三角形，为整个正十二边形的

阴影局部的面积是10.

28.下列图中的正三角形与正六边形的周长相等，正三角形的面积是10。巾2,求正六边形的面

积.

【答案】15cm2

【分析】如下列图所示，三角形分割成4个小等边三角形，六边形分割成6个小等边三角

形.

因为三角形与六边形的周长相等，所以每个小等边三角形的边长相等，从而面积相等.六边形

的面积是三角形的1.5倍，所以面积为10X1.5=15cm2.

29.如图，正六边形的面积为6平方厘米，那么阴影局部的面积是多少.

【答案】2平方厘米

【分析】经过割补，阴影局部面积等于两个三角形面积.6+6X2=2（平方厘米）.

30.如图，4BCCE是正五边形，CDF是正三角形，ZBFE等于多少度（小于180°的）？

【答案】168°

【分析】ZBCF=108°-60°=48°=ZEDF,因为BC=CF,DF=DE,所以

ZBFC=ZEFD=(180°-48°)+2=66°,

因此

ZBFJ?=360°-66°X2-60°=168°.

31.比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边

形，并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等.缝制的方法是：每块黑色皮子的5边分别

与5块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的6边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一

起，另3条边那么与其他白色皮子的边缝在一起.如果一个足球外表上共有12块黑色正五边

形皮子，那么，这个足球应有白色正六边形皮子多少块？

【答案】20块.

【分析】对于每一条边，以它为一条边的皮子只有两块，我们考虑两侧皮子是一黑一白的

边，不妨称之为混色边.每条混色边都要与一块黑皮子相邻，一共有12块黑皮子，每块黑皮

子的5条边都是混色边，故混色边共有12X5=60条.每条混色边都要与一条白皮子相邻，

每块白皮子恰有3条混色边，所以这个足球有白色正六边形皮子60+3=20块.

32.如下图，4BCDE是正五边形，CDF是正三角形，那么/BFE等于多少度？

【答案】168°

【分析】正五边形的内角和是

(5-2)X180°=3X180°=540°,

薄个内角是

540°+5=108".

而△CDF是正三角形，每个内角是60°,因此

乙CFD=^FCD=6Q°.

而

ZBCF=108°-60°=48°,

是等腰ABC尸的顶角，因此

ZBFC=(180°-48°)+2=66",

同理ZCFE也等于66°.于是

Z.BFE=360°-/.BFC-乙CFD-/.DFE

=360°-66°-60°-66°

=168°.

33.正12边形的内角和是多少度？

【答案】1800度.

【分析】由多边形内角和公式可得：

(12-2)X180=1800度.

34.如图，ABCDJ为正五边形,DEPGH/为正六边形，试求N/1/H的度数.

【答案】132

【分析】正六边形的每个内角是120度，正五边形的每个内角是108度,

/.AJH=360-120-108=132度.

35.某正多边形的一个外角为36度，那么这个正多边形共有多少条边？

【答案】10

【分析】玄=1。（条）.

36.如果一个边长为a的正三角形的面积是b,那么一个边长为a的正十二边形面积是多少？

【答案】6a2+126

【分析】将正十二边形做如下列图所示的划分，可以看出一个正十二边形由6个边长为a的

正方形和12个边长为a的正三角形组成，面积为6a2+12b.

37.如图，正八边形中的阴影局部的面积是125平方厘米，问：正八边形的面积是多少平方厘

米？

【答案】

【分析】该等腰梯形占正八边形面积的布所以正八边形的面积是

125X4=500（平方厘米）.

38.如图，正六边形4BCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中点,P是EF中

点.请问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？

【答案】2.25平方厘米

【分析】

将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为

4个小正三角形.于是正六边形4BCDEF被分成了24个小正三角形，每一个小正三角形的面

积是

6+24=0.25（平方厘米），

三角形MNP由9个小正三角形所组成，所以

三角形MNP的面积=0.25X9=2.25（平方厘米）.

39.如图，正六边形4BCDEF的面积是24平方厘米，M是48中点，N是CD中点，P是EF

中点.求三角形MNP的面积.

【答案】9

【分析】

观察阴影所占的份数即可.

4().如图，一个正十二边形的中心到各个顶点的距离为1厘米，那么这个正十二边形的面积为

多少平方厘米.

【答案】3

【分析】正十二边形可以分割成6个如下的图形ABCD,

此图形的面积为

11

-x1x1=-

所以正十二边形的面积为

1

6X^=3（平方厘米）.

41.如图，假设多边形4BCCE为正五边形，试求角B4C和角4CD的度数.

A

【答案】36度、72度.

【分析】正五边形的内角和是540度，那么角B=540度+5=108度，角

B4C=(180度-108度)+2=36度、角=108度-36度=72度.

42.下列图是个正五角星，那么等于多少度？

【答案】36°

【分析】180°-(180°-108°)X2=36".

43.如下列图，4BCDEF是正六边形，。是它的中心.画出线段PQ后，就把正六边形

4BCDEF分成了两个形状、大小都相同的五边形.能否画出3条线段，把正六边形分成6个

形状、大小都相同的图形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的四边

形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的五边形？

【分析】(1)画3条线段，把正六边形分成6个形状、大小都相同的图形，答案如下:

(2)把正六边形分成3个形状、大小都相同的四边形，答案如下:

(3)把正六边形分成3个形状、大小都相同的五边形，答案如下:

44.如图，正六边形的面积为24平方厘米，那么阴影局部的面积是多少平方厘米？

【答案】6

【分析】将正六边形等分成24个形状、大小都相等的正三角形，那么阴影的面积是

24+24X6=6（平方厘米）.

D

45.早在公元前300多年前，古希腊著名科学家欧几里德就在他的旷世名著?几何原本?一书中

记载了几何学中最根本、最引人入胜的一条著名定理：“三角形的内角和等于18。度”.我们

的问题是：

①四边形的内角和等于多少度（见下列图）？答：.

五边形的内角和等于多少度（见下列图）？答：.

②进一步，如果把多边形的边数记住小你能够归纳出兀边形的内角和的计算公式吗？

答：公式为.

③在家庭装修中，经常采用各种正多边形（注：正多边形就是各条边均相等且各内角也相等

的多边形）的瓷砖搭配出各式各样的地面图案.

小明家装修时采用了三种正多边形瓷砖铺地面，这三种型号的瓷砖可以围绕着地面上的一点既

不重叠又不产生漏洞的拼接起来.其中一种型号是正方形，另一种型号是正六边形，你知道第

三种型号的多边形瓷砖的边数是多少吗？请写出你的计算过程.

【答案】①360°,540°

②（n-2）X180°

③第三种型号的多边形瓷砖边数是3或12.

【分析】③正方形每个内角为90°,正六边形每个内角为120°,要拼接起来需要拼接

360°.

当一个正多边形内角360°-90--120°=150°时，由180（n-2）=150%得n=12,当一

个正多边形内角360°-90°-90°-120°=60°时，由180（n-2）=60n,得n=3,当一个

正多边形内角360。-90。-120--120°=30°时，这样的多边形不存在，因此第三种型号的

多边形瓷砖边数是3或12.

46.一正多边形，其每个内角小于150°,且大于120。，试求出此多边形可能是哪几种正多边

形？

【答案】可能是正六、七、八、九、十、十一边形.

【分析】正五边形的每个内角是120度，正十一边形的每个内角约是147度，所以这个正

多边形可能是正六、七、八、九、十、十一边形.

47.连结正六边形一局部边的中点，可以得到如下列图形，如果这个图形的面积是20,那么正

六边形的面积是多少？

【答案】40

【分析】将原图进行格点分割，可以看出六边形被分割成24个大小相同的小正三角形，同

时阴影三角形的大小等于12个小正三角形的面积，所以六边形面积为

2012X24=40.

48.如下图，正六边形的面积是36平方厘米，那么阴影的面积是多少平方厘米？

【答案】12平方厘米

【分析】如下列图，易得阴影的面积是36+6x2=12平方厘米.

49.在下列图的正八边形中，长方形的面积是正八边形面积的几分之几？

【答案】I

【分析】如下列图，正八边形可以分成四个全等的长方形和八个全等的等腰直角三角形，而

长方形局部是两个全等的长方形和四个全等的等腰直角三角形，正好是八边形面积的

50.如图，正六边形面积为6,那么阴影局部面积为多少？

【答案】I

【分析】连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和

梯形蝴蝶模型把六边形分为十八份，阴影局部占了其中八份，所以阴影局部的面积

88

51.如下列图，正十二边形和中心白色的正六边形的边长均为12,图中阴影局部的面积是多

少？

【答案】324

【分析】将正十二边形做如下列图的划分，下列图中的阴影是所求面积的三分之一.

下列图阴影划分成一个等腰直角三角形和一个顶角为150度的等腰三角形.

等腰直角三角形的面积为

12X12+2=72.

顶角为150度的三角形面积为

12X62=36.

所求面积为

(72+36)X3=324.

52.如下图，一个正六边形的面积为36平方厘米，那么阴影局部的面积为多少平方厘米？

【答案】12

【分析】把图形进行如下列图的分割，我们发现，阴影局部面积实际上是三角形。4B面积

的二倍，而三角形。4B面积又是六边形面积的：

因此阴影局部面积为

364-6x2=12.

53.假设一多边形的内角分别为2x度、3x度、5x度、6x度、7x度、7x度，试求x的值.

【答案】》=24度

【分析】这个多边形的内角和是(6-2)X180度=720度，所以x=24度.

54.如图，CDGH1为正五边形,/WCDEF为正六边形，试求48前的度数.

【答案】12°

【分析】正五边形的内角和为

(5-2)X180°=540°,

所以正五边形的内角是

540°+5=108",

即

Z/)C/=108°.

正六边形的内角和为

(6-2)X180°=720°,

所以正六边形的内角是

7200+6=120",

即

乙DCB=120°.

于是

/.BC1=/.DCB-乙DCI=120°-108°=12°.

55.如下图，一个正十二边形的边长是1厘米，空白局部是等边三角形，一共有12个.请算

出阴影局部的面积.

【答案】6平方厘米

【分析】如图，将阴影局部分割成一个正六边形和12个小三角形，再把正六边形分割成6

个正三角形，由于正十二边形的每个内角为180°X（12-2）+12=150。，所以阴影小三角形

的顶角等于150。-60°X2=30。，每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都

是30。+60。=90。，所以通过如右上图所示的平移可以组成6个边长为1厘米的正方形，所

以所求阴影局部面积为/X6=6（平方厘米）.

56.假设一多边形，其内角分别为x度、2x度、3x度、4x度、5x度,试求x的值.

【答案】x=36度

【分析】这个多边形的内角和是（5-2）X180度=540度，所以x=36度.

57.如图：将一个正五边形和一个正六边形放置在同一条直线上，请问角4B”为多少度？

D

【答案】48

【分析】角B4F=120度，角BHK=108度，所以角B4"=60度，角BHA=72度，因

为三角形内角和为180度，所以角ABH=180度-角B4"-角BHA=48度.

58.如图，48CD/为正五边形，DEFGHJ为正六边形,求角4/H的度数.

【答案】132度

【分析】正五边形的内角和为（5-2）X180度=540度，所以正五边形的内角和是540度

+5=108度，即角4/0=108度，正六边形的内角和为（6-2）X180度=720度，所以正

六边形的内角是720度+6=12。度，即角H/O=120度，于是角4〃/=360度-角4/D-

角HJD=360度-108度-120度=132度.

59.如图，将一个正五边形和一个正六边形放置在同一条直线上，请问角CBG为多少度？

【答案】角CBG=84

【分析】六边形每个内角（6-2）X180度+6=120度，正五边形每个内角（5-2）x180

度+5=108度，角180度-120度=60度，角4H8=180度-108度=72度，

角ABH=180度-60度-72度=48度，角CBG=360度-120度-108度-48度=84

度.

60.如图，一个正十二边形的边长是1厘米，阴影局部是正三角形，那么空白局部的面积为多

少平方厘米.

【答案】6

【分析】根据正十二边形的画法，补原图成为下列图，将外圈六个三角形拼进内部的正六边

形，可以看看到空白局部就是6个正方形，所以面积为6.

61.下列图正六边形ARCDEF的面积是54.AP=2PF,CQ=2BQ,求阴影四边形CEPQ的面

积.

【答案】31

【分析】如下列图，将正六边形48CDEF等分为54个小正三角形（每个平行四边形代表两

个），那么每个小等边三角形的面积为1,根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，采用

数小三角形方法来计算面积.

APEF面积=3,ACOE面积=9.

四边形ABQP面积=7+4=11.

上述三块面积之和为3+9+11=23.

因此，阴影四边形CEPQ面积为54-23=31.

62.如下图，正六边形的面积是6,那么阴影局部的面积是多少？

【答案】2：

【分析】方法一：连结阴影局部的对角线，如图1所示.

图1

这条辅助线平分阴影局部，也正好把正六边形平分成两个等腰梯形.那么每个梯形的面积为

6+2=3.

要求出阴影局部的面积，只需求出其中的一半即可.

画出其中一个梯形，给它的各个顶点标上字母，如图2所示，△BCD和△ABD是一对等高三

角形，并且底边8。是力。的2倍，所以ABC。的面积是△42。面积的2倍，于是4BCD

面积为

2

3X—=2.

图2

在沙漏4D0BC中，黑=：,所以

21

sABOC~5s△BDC~与.

因此正六边形中的阴影局部面积为

12

1—X2=2—.

方法二：利用正六边形中的格点，将其分割，如图3所示.

观察图形可知，这时正六边形被分割成18个三角形，这些三角形面积全都相等.阴影局部由

8个三角形组成，所以阴影局部面积为

2

6+18X8=

W

图3

63.如下图，正八边形中的阴影局部面积是125平方厘米,那么正八边形的面积是多少？

【答案】略.

【分析】因为正八边形的内角是135°,所以

/.PGH=Z.PHG=45".

&GHP,AABK,4CDM,△EFN都是等腰直角三角形.

因为PK=H4=GH,那么正方形PKMN中有4个和△GHP全等的等腰直角三角形.

即上图中有4个全等的小长方形和8个全等的等腰直角三角形.阴影局部由一个小长方形和2

等腰直角三角形构成，面积为125平方厘米，所以正八边形48CDEFG”相当于4个阴影局部

的面积，为

125X4=500（平方厘米）.

BC

64.下列图中，每个六边形的面积是6,那么，阴影局部的面积是多少？

【答案】13

【分析】如下列图分割，阴影局部占了13个小等边三角形，所以阴影局部的面积是13.

65.一正多边形，其外角大于30°,且小于60°,试求出此多边形可能是哪几种正多边形？

【答案】正七边形、正八边形、正九边形、正十边形、正十一边形.

【分析】这个正多边形的外角大于30。，且小于60°.于是其边数小于

360°+30°=12

且大于

360°+60°=6

从而这个正多边形的边数可能为7、8、9、10、11.

66.如图，涂阴影局部的小正六角星形面积是16平方厘米.问：图形的总面积是多少平方厘

米？

【答案】48

【分析】

从原图中取出原图的如上图，其中的阴影局部占右图的《所以原阴影局部也是总面积的

图形的总面积为16+：=48（平方厘米）.

67.假设一正n边形，（内角-外角）和外角相等，那么求"的值.

【答案】门=6

【分析】（内角-外角）和外角相等，说明内角是外角的两倍，那么外角的度数是180度

+3=60度，因为是正n边形，所以外角相同，外角共有360度+60度=6（个）.即

n=6.

68.下列图中，每一个正三角形的边长都是中间那个