小学奥数题库《数论》质数与合数质数2星题（含解析）全国通用版

数论-质数与合数-质数-2星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

质数B1、了解质数的概念。少考

2、能够快速的写出100以内的25

个质数。

2、能够灵活运用质数的概念判断整

数的质合。

知识提要

质数

定义

质数，又称素数，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数.

100以内的质数

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73

、79、83、89、97

・互质数

如果两个数或者多个数只有公因数1,那么这两个数或者多个数就是互质数。

・质数的根本特征

质数只有两个因数,

最小的质数也是唯一一个偶质数：2.

唯一一个末尾是5的质数是：5.

一个质数除2和5外，其它质数的末尾均为

1、3、7、9之一.

精选例题

质数

1.只能被1与其自身整除的大于1的自然数称为素数或质数，比方2,3,5,7,11,13

等.请在以下数表中用圆圈圈出所有的素数：

6

6十6666557

4-3-2-0-9--58-

尸

—7&21I

6L

33--3—

6313333356

618141-3oI

173_17-81-11—55

14-2oI

69-415-

33915-31+r54

—

—

—

11—I

O1118

694016-27-153

8-7,

1111-1017—

7o412k78一9152

111X56—

22-T2

714223-2241

・

—14-X81

35-449-0

724IL4-8L5

14-9

7747-7781

3--7-7.

【答案】2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,

67,71,73,79

【分析】被圈出来的所有素数:

65-64-65-62-@)-60-@-5S-57

66鼾36-35-34-33-32尊56

I

38Q7M6T5-14TlD3055

I

683954

II

6940Q9J6

700#6-8-9-10早52

m)4221-22-@-24-25^26丁

72@-44-45-46-@-48-49-50

6-74-75-76-77-78-软30-81

2.炎黄骄子菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家.华人数学家

丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖.我们知道正整数中有无穷多个质数（素

数），陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数上存在无穷多组含

有k个等间隔质数（素数）的数组.例如，k=3时，3,5,7是间隔为2的3个质数；5,

11,17是间隔为6的3个质数：而,,是间隔为12的3个质数

〔由小到大排列，只写一组3个质数即可）.

【答案】见解析.

【分析】最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12,所以2不能在所要求的数组

中.而且由于个位是5的质数只有一个5,所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个

质数，可参照下表：

第一个质数第二个质数第三个质数满足要求打M

51729

71931

172941V

193143\Z

294153

374961

475971

...

3.9个连续的自然数，它们都大于80,那么其中质数至多有个.

【答案】4

【分析】大于80的9个连续然数中，至多有5个连续的奇数.因为大于80的质数必为奇

数(偶质数只有一个是2),于是质数只可能在这5个连续的奇数之中.又由于“在连续3个

奇数中一定有一个数是3的倍数我们分三种情况加以说明：

当第一个奇数恰好是3的倍数时，结论显然正确；

当第一个奇数被3除余数是1时，因为第二个奇数比第一个奇数大2,那么第二个奇数恰好是

3的倍数；

当第一个奇数被3除余数是2时，因为第三个奇数比第一个奇数大4,那么第三个奇数恰好是

3的倍数.

而且大于80的3的倍数都是合数，所以，在这5个连续的奇数之中至多有4个是质数.

另一方面，在101至109这9个连续自然数中，有101、103、107、109是质数，这就是

说，在9个连续的自然数中可以有4个质数.

综上所述，在大于80的9个连续自然数中至多有4个质数.

4.有些位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数最小是,最大是.

【答案】112,711

【分析】三位数各位数字之积为质数.由于质数除了1和它本身无其他因数，因此三位数必

有两位为1,另外一位应为质数.最小的一位质数为2,最大的一位质数为7,所以这样的三

位数最小为112,最大为711.

5.4b、c都是质数，假设axb+bxc=119,那么a+b+c=.

【答案】24

【分析】

axb+bxc=bx(a+c),

119=17X7,

即a+c或者b为17和7,所以

a+b+c=17+7=24.

6.一个两位数，数字和是质数.而且，这个两位数分别乘以3,5,7之后，得到的数的数字

和都仍为质数，满足条件的两位数为

【答案】67

【分析】两位数乘以3之后，数字和一定被3整除.又因为是质数，所以数字和只能是

3.有102、111、120、201、210这五种情况.依次分析：

3倍原数数字和5倍数字和7倍数字和

102347（质）1708（合）

1113710（合）

120404（合）

2016713（原'）33511（质）46919（质）

210707（届）3508（合）

所以满足条件的两位数为67.

7.从1到400这400个自然数中，有奇数个因数的自然数有个，有且仅有3个因数

的有个.

【答案】20：8

【分析】202=400,故拥有奇数个因数的数有20个；20以内的质数有8个，故有3个因

数的数有8个.

8.如果a力均为质数，且3a+7b=41,那么a+b=

【答案】7

【分析】根据奇偶性我们可以知道a力中必然有一个是2,假设a=2,那么b=5,满足题

意；假设b=2,那么a=9与题意不符.所以a为2,b为5,那么a+b=7.

9.用数字卡片1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、7、9、9（不允许把6倒过来当做9,也

不允许把9倒过来当做6）组成七个不同的两位质数，这七个质数之和等于.

【答案】313

【分析】当两位数的个位数字为2、4、5、6时，都不是质数，所以2、4、5、6都不能出

现在个位，那么数字卡片中的2、4、5、6都只能出现在十位上.它们恰好有7个，其中2、

4、5各两个，6只有一个；那么剩下的7张卡片都出现在个位上，其中1,3,9各有两个，7

只有一个.

现在还不知道所组成的7个不同质数都是哪些数，但足已经知道了哪些数字在十位上，哪些数

字在个位上，所以可以进行求和：

(2+2+4+44-5+5+6)X104-(1+1+3+34-7+9+9)=313.

同时可以构造出7个两位质数：23,23,41,41,59,59,67.

10.在10个连续的自然数中，最多存个质数.

【答案】5

【分析】1。个连续自然数有5个奇数，另外要使10个连续自然数中质数个数最多，只能取

2至11,其中有5个质数.

11.如图，三张卡片的正面各写有一个数，它们的反面分别写有质数假设三张卡片正反

两面的两个数的和都相等，那么瓶+n+p的最小值是.

ESH

【答案】57

【分析】质数从小排列：2,3,5,7,11,13……，通过排除法，71的反面为5,那么53的反面是

76-53=23,47的反面是76-47=29.所以：

m+n+p=5+23+29=57.

12.一个两位数，它是个质数，并且其个位与十位数字之和是7,那么这样的两位数

有个.

【答案】2

【分析】2,枚举，61和43.

13.假设4是质数，并且4-4,4-6,4-12,4-18也是质数，那么4=.

【答案】23

【分析】找18以上的质数逐一试验，很快能找到23.再大的话很难找到两个只相差2的数

(4-4,4-6)同为质数，所以答案就是23.

]4.a,b,c都是质数，并且a+b=33,b+c=44,c+d=66,那么cd=

【答案】689

【分析】a+b=33为奇数，b+c=44,所以8c均为奇质数，所以

a-2,b=31,c=44-31=13,d=66-13=53.

那么

cd=13X53=689.

15.用1、2、3、5、6、7,8、9这8个数字最多可以组成个质数(每个数字只能使

用一次，且必须使用).

【答案】6

【分析】2、3、5、7单个质数，剩下6、8、1、9,可以组成61、89两个质数.

16.a、b、c都是质数，如果(a+b)x(b+c)=342,那么b=.

【答案】7

【分析】342是2的倍数，不是4的倍数=a+b与b+c为一奇一偶，a或者c为质数

2,a=2或c=2,342=2X3X3X19.

(1)a+b=9,匕=7是质数；

(2)a+b=19,b=V7,b+c=18,c=1不是质数；

(3)a+b=19x3=57,b=55不是质数；

(4)a+b=19x9=171,b=169不是质数，

综上所述，b=7.

17.n,n+6,n+84,n+102,n+218都是质数，那么n=.

【答案】5

【分析】由于6、84、102、218除以5的余数分别为1,4,2,3,所以"、n+6、

n+8、n+102、n+218这5个数除以5的余数互不相同，那么其中必然有除以5余。的，

也就是有5的倍数，而这5个数都是质数，那么只能是5.由于n+6、n+8、n+102、

n+218都比5大，所以n为5.

18.两个相邻质数的和乘以它们的差得120,这样的质数有两组，它们分别是

(,)和〔，).

【答案】31,29和17,13.

【分析】两个数的乘积是120,可以把120分成以下乘积

120=1X120

=2X60

=3X40

=4x30

=5x24

=6X20

=8x15

=10X12,

而两个数的和与差的奇偶性是相同的，满足条件的只有2X60,4X30,6X20,

10X12.相应的，得到这两个数分别是31,29；17,13；13,7；11,1.

满足相邻质数这个条件的是前两组，31与29,17与13.

19.x为正数，<x>表示不超过x的质数的个数，如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有

2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4〉X<1>X<8>>的值是.

【答案】11

【分析】<19>为不超过19的质数，有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.

<93>为不超过93的质数，共24个.

易知<1>=0,所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.

20.规定：Kx),x是正整数，f⑴=0,f(质数)=1,f(mxn)=mf(r^+nf(m).

问：(1)f(15)=⑵/(24)=

【答案】⑴8；(2)44

【分析】⑴f(15)="3X5)=3f⑸+5,(3)=3+5=8；

(2)f(24)=f(4X6)=4/(6)+6/(4),其中f(6)=f(2X3)=2/(3)+3/(2)=5,

/(4)=f(2X2)=2/(2)+2/(2)=4,所以f(24)=4x5+6x4=44.

21.我们知道0,1,2,3,……叫做自然数，只能被1和自身整除的大于1的自然数叫做质数

或素数，比方2,3,5,7,11等，按照从小到大的顺序，第8个质数是.

【答案】19

【分析】按照从小到大的顺序，2、3、5、7、11、13、17、19…….

22.两位数讪和茄都是质数，那么词有个.

【答案】9

【分析】符合题意的数有11,13,17,31,37,71,73,79,97.

23.有一个三位数，百位数字是最小的质数，十位数字是算式(03+71X13)的结果中的小数

点后第1位数字，个位数字是三位数中能被17整除的最小数的个位数字，那么这个三位数

是.(兀取3.14)

【答案】212

【分析】百位数字是最小的质数即2；

0.3+7TX13=41.12,

即十位数字是1；

能被17整除的最小三位数102,个位数字是2,所以这个三位数是212.

24.当P和P3+5都是质数时，p5+5=.

【答案】37

【分析】P和p3+5,奇偶性不同，又都为质数，那么较小的P一定是2,所以

P，+5=37.

25.将200分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能的小，那么此时这个最大的质

数是.

【答案】23

【分析】要求最大的质数尽可能小，那么拆分的质数要尽量的平均.

200+10=20,

即这1。个质数的平均数为20.那么其中最大的数不小于20,又要为质数，所以至少应为

23.而由200=23X8+11+5可知，将200分拆成8个23与1个11和1个5满足条件,

所以符合题意的最大质数为23.

26.当P和p'+5都是质数时，p5+5=.

【答案】37

【分析】偶质数只有2,根据奇偶性p=2,p5+5=25+5=37.

27.三个合数4B,C两两互质，且4X8X0=1001X28X11,那么4+B+C的最小值

为.

【答案】222

【分析】因为4x8x0=7x11x13x22x7x11=22x72x112x13,由于48,C两两

互质，所以22,72,1仔不能分配给两个数，再根据积一定，差越小，和越小，因此这三个数

只能是1仔，72,22x13,所以4+8+0=121+49+52=222.

28.a、b、c是3个彼此不同的质数，假设a+bxc=37,那么a+b-c最大是.

【答案】32

【分析】。、b、c是3个彼此不同的质数，符合题意的有：

2+7x5=37;

3+17x2=37;

11+13X2=37;

23+7X2=37;

31+3x2=37.

a+b-c最大，那么a=31,b=3,c=2,

a+b-c=32.

29.教数学的王老师准备去拜访一位朋友，出发前王老师先和这位朋友通，朋友家的号码是

27433619,当卫老师打完之后，发现这个号码恰好是4个连续质数的乘积.问：这4个质

数的总和是.

【答案】290

【分析】此题考查质数的概念及估算法在分解因数中的应用.先估算，704=24010000,

804=40960000,所以这4个连续质数应在70附近，经验证可得

27433619=67X71X73X79,所以这四个质数的和为67+71+73+79=290.

30.只能被1与其自身整除的大于1的自然数称为素数或质数，比方2,3,5,7,11,13

等，大于1的自然数如果不是素数，那么称为合数.除唯一的偶素数2之外，相邻的两个素数

之间至少间隔一个合数，比方3,5；5,7;7,11等.两个连续的素数之间间隔的合数个数

称为这两个连续素数的间隔数，间隔数为1的两个素数称为李生素数，比方3,5;5,7;而

7,11的间隔数为3,那么100以内的连续素数的最大间隔数为.

【答案】7

【分析】100以内共有25个素数，2,3,5,7,11,13,15,17,19,23,29,31,

37,41,43,4753,5961,67,71,73,79,83,89,97.

经观察：间隔最大的一组连续素数是89、97,间隔数为7.

31.三个数P.P+l,p+3都是质数，它们的倒数和的倒数是.

30

【答案】否

【分析】P与P+1和P+3奇偶性不同，所以p只能是2,另外两个是3和5,所以它们的

130

倒数和的倒数是器万=和

32.将6个自然数14、20、33、117、143、175分组，如果要求每组中的任意两个数都互

质，那么至少需要将这些数分成组.

【答案】3

【分析】先将所存数都分解质因数得：

14=2X7

20=2x2x5

33=3x11

117=3X3X13

143=11x13

175=5X5X7

注意到33、117、143两两都不互质，所以至少应该分成3组，同样14、20、175也必须分

为3组，互相配合就行,如：(14.143)、(20,33)、(117,175).

33.只能被1和自身整除的大于1的自然数叫做质数或素数，比方2,3,5,7,11等.如果

将110分拆成11个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么，这个最大的质数

为.

【答案】89

【分析】极端情况考虑，要得到最大的质数，那么其他质数越小越好，假设其他1。个质数

都是2,那么最后一个不为质数，那就假设9个质数都是2,第10个质数是3,第11个质数

就是89,即110=2x9+3+89,最大的质数为89.

34.有一个正方体木块，如图，每个面上各写了一个自然数，并且相对的两个面上的两个数之

和相等.现在只能看见三个面上写的数，如果看不见的各个面写的都是质数，那么这三个质数

的和是.

【答案】42

【分析】奇偶分析得，25的对面是2,由此推知：10的对面是25+2-10=17；

4的对面是25+2-4=23.三个质数之和是2+17+23=42.

35.a是质数，b是偶数，且a2+b=2010,那么aXb=.

【答案】4012

【分析】详解：b是偶数,说明a?也是偶数，又a是质数，所以a=2,

b=2010-a2=2006,axb=4012.

36.甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方数小1999,乙数是.

【答案】1998

【分析】甲2-甲X乙=1999=甲X（甲-乙）=1999,1999是质数，所以只能

甲=1999,甲-乙=1,所以乙数=1999-1=1998.

37.在算式4、（8+。）=110+（7中，人B、C是三个互不相等的质数，那么

B=.

【答案】2

【分析】如果人B、C都是奇数，那么（B+C）是偶数，从而4x（B+C）是偶数，而

（110+C）是奇数，矛盾，所以4B、。中有偶数.质数中只有2是偶数，如果4=2或

。=2,那么等号两边奇偶性不同，矛盾，所以只有8=2.

38.像2,3,5,7这样的只能被1和自身整除的大于1的自然数叫做质数或者素数.每一个

自然数都能写成假设干个质数（可以相同）的乘积，比方，4=2X2,6=2X3,

8=2X2X2,9=3X3,10=2x5等，那么2x3x5x7-l写成这种形式为.

【答案】209=11X19

【分析】先计算得到209,再将209分解质因数.

2X3X5X7-1=209=11X19.

39.如要求最大的质数尽可能的大，那么此时这个最大的质数为.

【答案】181

【分析】现在要求最大的质数尽可能的大，那么其他的质数要尽可能的小，假设均为2,那

么和为

2X9=18.

最大的数为182,不是质数，不符合.最大的这个数为

182-1=181,

所以如果让最大的质数尽可能的大，那么此时最大的质是为181.

40.一个质数的2倍和另一个质数的5倍的和是36,那么这两个质数的乘积是.

【答案】26

【分析】根据题意可列式

2a+5匕=36,

2a为偶数，所以5b也得是偶数，那么力=2,那么Q=13,

13X2=26.

41.萱萱家的门牌号是一个三位回文数丽，其中亚和丽都是质数，且砺是9的倍数，那

么萱萱家的门牌号是.

【答案】171

【分析】详解：讪和茄都是质数，说明讪只能是13、31、17、71、37、73、79、97,

其中只有17对应的三位数171是9的倍数.

42.从20以内的质数中选出6个数，写在一个正方体的六个面上，使两个相对面的和都相

等，所选的6个数是.

【答案】5、7、11、13、17、19

【分析】20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19.

首先2不能人选，否那么会出现有的和为奇数，有的和为偶数的情况，那么还剩下3、5、7、

11、13、17、19这7个数.从中选择6个，相当于从中剔除1个.

由于这7个数的和为3+5+7+11+13+17+19=75,是3的倍数，而选出的6个数之和

也是3的倍数，所以被剔除的那个数也是3的倍数，只能是3.

所以选出的6个数是：5、7、11、13、17、19.

43.如果a、b、c均为质数，且a?+/+c2=318,那么a+b+c最小是.

【答案】24

【分析】根据题意，根据奇偶性，其中一定有一个是2,因此，/+C2=314,完全平方数

的末位有0、1、4、5、6、9这几种情况，两个质数的平方相加末位是4的只能是：

5+9=14,所以这几个数中有一个是5,另一个数02=289,此时C=17,此时

a+b+c=2+5+17=24,所以其最小值为24.

44.像2,3,5,7这样只能被1和自身整除的大于1的自然数叫做质数或素数。将2015分拆

成100个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大质数是.

【答案】23

【分析】要求最大的质数尽可能小，也就是当这1。0个数越接近越好.

2015+100=20……15

因此最大的质数再小也要比20大，比20大的最小的质数为23.

2015=23X86+11X1+2X13

（2015可以表示为86个23、1个11、13个2的和）.所以这个最大质数是23.

45.P.Q都是质数，并且PX11-QX93=2003,那么PxQ=.

【答案】398

【分析】此题充分考察质数与数字奇偶性知识点的结合.通过观察发现题目中有2个未知

数，但是都是质数，从结果上看2003是一个奇数，那么前面2个乘积必须为1个奇数1个偶

数，那么P和Q中必须有一个是2才可以.由大小关系可以发现只能Q是2,解出P=199,

PXQ=398.

46.设q是一个平方数.如果q-2和q+2都是质数，就称q为P型平方数.例如，9就是一

个P型平方数.那么小于1000的最大P型平方数是.

【答案】441

【分析】显然，q是奇数，且4+2和q-2都不是3的倍数，而平方数除以3只能余。或

1,假设9除以3余1那么q+2是3的倍数，所以q只能除以3余0,即q是3的倍数，极

端分析，33?>1000,272+2=731=17X43,212-2=439,2仔+2=443都是质数.

47.一个七位数是100以内的最大质数与另外几个连续质数的积，且其后四位数等于前三位数

的1。倍.这个七位数是多少？

【答案】2912910

【分析】10。以内最大质数是97.后四位是前三位的十倍，可以记作abcabcO,将它分解

得到

abcabcO=abcx1001x10

=a5cx2x5x7x11x13,

型I邻，还缺3,另外97也要在赤之中，所以

疵=97X3=291.

这个七位数是2912910.

48.有三张卡片，在它们上面各写有一个数字（以下图）.从中抽出一张、二张、三张，按任

意次序排起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数.请你将其中的质数都写出来.

123

【答案】2,3,13,23,31.

【分析】因为三张卡片上的数字和为6,能被3整除，所以用这三个数字任意排成的三位数

都能被3整除，因此不可能是质数.再看二张卡片的情形.因为1+2=3,根据同样的道

理，用1,2,组成的二位数也能被3整除，因此也不是质数.这样剩下要讨论的二位数只有

13、31、23、32这四个了，其中13,31和23都是质数，而32不是质数.最后，一位数有

三个：1,2,3,1不是质数，2和3都是质数.所以，此题中的质数共有五个：2,3,13,

23,31.

49.如果三个互不相同的质数相加，和为52,这三个质数可能是多少？

【答案】2、3、47或2、7、43或2、13、37或2、19、31

【分析】简答：三个质数，一偶两奇数是2.

50.P是质数，P+10,P+14,P+102都是质数.求尸是多少？

【答案】3

【分析】由题意知P是一个奇数，因为10+3=3…1,14^3=4-2,所以P是3的倍

数，所以P=3.

51.(1)如果两个不同的质数相加等于26,那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写

出.

(2)如果两个不同的质数相加等于25,那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出.

（3）三个互不相同的质数相加，和为40,这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出.

【答案】69、133；（2）46；⑶434

【分析】详解：

（1）26可以拆成3与23的和，或者7与19的和；

（2）25只能拆成2和23的和；

（3）三个数的和是偶数，可以是三个偶数，或者一偶两奇.考虑到质数中只有2是偶数，可

知一定是一偶两奇，且偶数是2,另外两个奇数是7和31.

52.一个分数，分母是901,分子是一个质数.现在有下面两种方法：

⑴分子和分母各加一个相同的一位数；

⑵分子和分母各减一个相同的一位数.用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分

7

后是正.那么原来分数的分子是多少？

【答案】487

【分析】因为新分数约分后分母是13,而原分母为901,由于901+13=69……4,所以分

母是加上9或者减去4.假设是前者那么原来分数分子为7x70-9=481,但

481=13X37,不是质数；假设是后者那么原来分数分子是69X7+4=487,而487是质

数.所以原来分数分子为487.

53.一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁

数都是一个质数，四人岁数之和是I。。，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁？

【答案】37

【分析】从任意三人岁数之和是3的倍数，100除以3余1,就知四个岁数都是3A+1型

的数，又是质数.只有7,13,19,31,37,43,就容易看出：父43岁，母37岁，兄13

岁，妹7岁.

54.100以内有多少个质数？哪两个质数之和为100?找出所有这样的两个质数.

【答案】25个；6对.

【分析】枚举可得：

（3、97）、（11、89）、（17、83）、（29、71）、（41、59）、（47、53）.

55.小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数.同时，她感到这个号码

很容易记住，因为它的形式为涵丽，其中a4人而且必和叔都是质数（a和匕是两个数

字）.具有这种形式的数共有多少个？

【答案】8个

【分析】假设两位数词、丽均为质数，那么a、b均为奇数且不为5,故有1331,3113,

1771,7117,7337,3773,9779,7997共8个数.

56.将20以内的质数分别填入下面的方框中，使得结果为整数.结果最小是多少？

（。+。+。+。+。+。+°）+。

【答案】6

【分析】20以内共有8个质数，其和为

2+3+5+7+11+13+17+19=77=7X11.

除数选11时商最小，是

（2+3+5+7+13+17+19）+11=6.

57.对四位数乐假设存在质数p和正整数k,使axbxcxd=pk,且

a+b+c+d=pP-5,求这样的四位数的最小值，并说明理由。

【答案】1399

【分析】①范围分析：a+b+c+d<36=>p=3=>a+b+c+d=27-5=22；

②质因子分析：axbXcXd=3*=>a,b、c、d为1、3、9…；

③极值突破：a=1力--i,c--9,d9nabcd,最小是1399.

58.两个质数之和为39,求这两个质数的乘积是多少.

【答案】74

【分析】因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2,另一个是37,

乘积为74.

59.下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗:

美少年华朋会友,幼长相亲同切磋;

杯赛联谊欢声响,念一笑慰来者多:

九天九宵志凌云,九七共庆手相握;

聚起华夏中兴力,同唱移山壮丽歌.

将诗中56个字，从第1行左边第一字起逐行逐字编为1~56号，再将号码中质数由小到大找

出来，将它们对应的汉字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话.

【答案】少年朋友亲切联欢一九九七相聚中山

【分析】详解：1~56中的质数有2、3、5、7,11、13、17、19、23、29、31、37、

41、43、47、53共16个.

60.两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数，比方由17,19可得到一个四位数

1719,由19,17也可得到一个四位数1917.这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所

整除，试写出所有这样的四位数.

【答案】见解析.

【分析】设这2个两位质数分别是a和b,那么这个四位数是100a+b,根据条件可知：

岁|（100a+b）,即（a+b）|（200a+2b）,设号*=k,那么200a+2b=k（a+b）,化简

得（200-k）a=（k-2）b,因此（=与号，其中k是整数，a和b均为两位质数，设

200-k=bm,k-2=am,那么两式相加得（a+b）m=198,注意到a和b都是质数即也是

奇数，所以a+b是198的约数.198=2x32x11,由于a、b都是两位不同的质数，因为

11+13<a+b<89+97中的偶数，所以a+b=66.

61.九九重阳节，一批老人决定分乘假设干辆至多可乘32人的大巴前去参观兵马俑.如果打算

每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘

余下的大巴.那么有多少个老人？原有多少辆大巴？

【答案】529；24

【分析】仍按每车坐22人计算，少开一辆车将有23人无座位，这些人刚好平均分乘余下

的车，23是质数，所以余下23辆车，原有24辆车，原有老人

22X23+23=232=529（个）.

62.从小到大写出5个质数，使后面数都比前面的数大12.这样的数有几组？

【答案】1

【分析】考虑到质数中除了2以外其余都是奇数，因此这5个质数中不可能有2；又质数中

除了2和5,其余质数的个位数字只能是1、3、7、9.假设这5个质数中最小的数其个位数

字为1,那么比它大24的数个位即为5,不可能是质数；假设最小的数其个位数字为3,那么

比它大12的数个位即为5,也不可能为质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是7和

9,因此最小的数只能是5,这5个数依次是5,17,29,41,53.这样的数只有一组.

63.求三个质数使它们的积为它们的和的5倍.

【答案】2、5、7

【分析】设三个质数分别为a、b、c由题意，abc=5(a+b+c).容易判断，a、b、c中必

有一个是5,不妨设c=5,那么ab=a+b+5,因而ab-(a+b)=5=(a-l)(b-1)=6,

fa-1=1(a-1=2(a=2fa=3

不妨设a<b,那么|b-l=6或5-1=3,解得［b=7或5=4(舍去)，所以这三个质数

是2、5、7.

64.3个质数的倒数之和是礴，那么这3个质数之和为多少？

【答案】336

【分析】设这3个质数从小到大为a、b、c它们的倒数分别为"；、g计算它们的和时需

通分，且通分后的分母为axbxc求和得到的分数为白，如果这个分数能够约分，那么得到

的分数的分母为a、b、c或它们之间的积，现在和为鼠=2X：：；31，所以一定是a=2,

b=3,c=331,检验满足.所以这3个质数的和为2+3+331=336.

65.请将1、2、3、…、99、10。这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行，使

每两个相邻的数都不互质(假设一行写不下，可移至第二行接着写，假设第二行仍写不下，可

移至第三行接着写).

【答案】9,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,87,93,99,15,25,

55,65,85,95,35,49,77,91（答案不唯一）

【分析】此题考查运用奇数、合数和互质的概念，以及构造数列的能力.

奇合数有25个：9,15,21,25,27,33,35,39,45,49,51,55,57,63,65,69,

75,77,81,85,87,91,93,95,99.

符合条件的排列不唯一，下面给出一种排列：

9,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,87,93,99,15（3的倍数），

25,55,65,85,95（5的倍数），

35,49,77,91（7的倍数）.

66.万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同.如果个位数字等于前两个数字的和，那么

这个数是几？

【答案】这个三位质数可以是167,257,347,527或617中间的任一个.

【分析】因为是质数所以个位数不可能为偶数0,2,4,6,8也不可能是奇数5.如果末位

数字是3或9,那么数字和就将是3或9的两倍，因而能被它们整除，这就不是质数了.所以

个位数只能是7.这个三位质数可以是167,257,347,527或617中间的任一个.

67.哥德巴赫猜测是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和〃.问：168是哪两个

两位数的质数之和，并且其中的一个的个位数字是1?

【答案】71+97

【分析】个位数字是1的两位质数有：11,31,41,61,71

其中168-11=157,168-31=137,168-41=127,168-61=107,都不是两位数，只

有168-71=97是两位数，而且是质数.所以168=71+97是唯一的解.

68.设P，a,b,c为互不相等的质数.且满足p=a4+/-3,那么满足条件的p的和为多

少？

【答案】719

【分析】显然a、b、c中必有2.否那么假设a、b、c都不等于2,那么a、b、c均为奇

数，那么P为非零偶数.

不妨设c=2,那么p=£?+/+13,如果a、b都不等于3,那么a、匕都可以写成6n±l

的形式，因而a4+/=6m+2np=6m+15,此时，p显然是合数，矛盾。所以a、b中必

有3.

不妨设b=3,那么p=a4+94,由于a必为奇数，其个位数只能是1,3,5,7,9,除了5

之外，其余四个数的四次方的个位数都是1,与94相加后个位数为5,显然导致p为合数，

所以a的个位为5,因为a为质数，所以a=5.

综上，p只有1个，p=719.

注意：因为大于3的任意整数都可以写成6n、6n+l、6n+2、6n+3、6n+4和6n+5这

六种形式之一，其中6n、6n+2、6n+3和6n+4四种显然是合数，那么把一个质数写成

6n+k(04k45)的形式只能是6葭+1、6n+5两种形式或其中的一种形式，但实例证明，两

种形式都有可能.所以用6去除大于3的质数，余数一定是1或5.

69.将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大的质数是多

少？

【答案】31

【分析】假设要求最大的质数尽可能大，那么其余9个质数应尽可能小，最正确的方案是9

个2.但是此时剩余的数为32,不是质数，所以退而求其次，另其余9个数为8个2,1个

3,那么第10个数为31.

7().将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？

【答案】7

【分析】最大的质数必大于5,否那么1。个质数之和将不大于50,又

60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2,

即8个7与2个2的和为60,故其中最大的质数是7.

71.用L表示所有被3除余1的全体正整数.如果心中的数(1不算)除1及它本身以外，不

能被L的任何数整除，称此数为"一质数".问：第8个"一质数"是什么？

【答案】31

【分析】"L数”为1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,“L—质数”应

为上列数中去掉1,16,28,即为4,7,10,13,19,22,25,31,34,所以，第

8个"L一质数”是31.

72.自然数49、87、101、103、121中，哪些是质数？

【答案】101,103.

73.三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数.

【答案】3,5,7

【分析】设这三个质数分别是a、b、c,满足abc=7(a+b+c),那么可知a、b、c中必

有一个为7,不妨记为a,那么加=7+b+c,整理得(b-l)(c-1)=8,又

8=lx8=2x4,对应的b=2,c=9(舍去)或b=3、c=5,所以这三个质数可能是

3,5,7.

74.如图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈.如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的

和是20,而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等.问这六个质数的积是多少？

【答案】900

【分析】设每个小三角形三个顶点上的数的和都是S.4个小三角形的和S相加时，中间三

角形每个顶点上的数被算了3次，所以：45=25+20,从而：5=10,这样，每个小三角形

顶点上出现的三个质数只能是2,3,5,从而六个质数是2,2,3,3,5,5,它们的积是：

2x2x3x3x5x5=900.

7