高三数学 经典例题精解分析 3-2第4课时 空间向量与空间距离（选学）

第4课时空间向量与空间距离（选学）双基达标限时20分钟1．若O为坐标原点，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3，2，8)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()．A.eq\f(\r(165),2)B．2eq\r(14)C.eq\r(53)D.eq\f(\r(53),2)解析由题意eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝(2，eq\f(3,2)，3)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝(－2，－eq\f(1,2)，－3)，|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝eq\r(4＋\f(1,4)＋9)＝eq\f(\r(53),2).答案D2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在a内，则P(－2，1，4)到α的距离为()．A．10B．3C.eq\f(8,3)D.eq\f(10,3)解析设点P到α的距离为h，则h＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(10,3).答案D3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则D1到直线AC的距离为A.eq\r(3)aB.eq\f(\r(3)a,2)C.eq\f(2\r(2)a,3)D.eq\f(3\r(2)a,2)解析连结BD，AC交于点O，则D1O＝eq\r(（2a）2＋（\f(\r(2),2)a）2)＝eq\f(3\r(2),2)a为所求．答案D4．二面角α­l­β的平面角为60°，A、B∈l，AC⊂α，BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，若AB＝AC＝BD＝1，则CD的长为________．解析∵eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，AC⊥l，BD⊥l，A，B∈l.∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(CA→2＋AB→2＋BD→2＋2CA→·BD→)＝eq\r(3－2×\f(1,2))＝eq\r(2).答案eq\r(2)5．正方形ABCD与ABEF边长都为a，若二面角E­AB­C的大小为30°，则EF到平面ABCD的距离为________．解析直线EF到平面ABCD的距离即为点E到平面ABCD的距离，∴d＝eq\f(a,2).答案eq\f(a,2)6．已知直线l过点A(1，－1，2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3，0，4)，求P(3，5，0)到l的距离．解∵eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2，－6，2)．∴eq\o(PA,\s\up6(→))·n＝(－2，－6，2)·(－3，0，4)＝14，|n|＝eq\r(32＋42)＝5.∴点P到直线l的距离为eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(14,5).综合提高（限时25分钟）7．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)解析以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)．因O为A1C1的中点，所以O(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1)，eq\o(C1O,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，0)，设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AD1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋z＝0，,y＝0，))取n＝(1，0，1)∴O到平面ABC1D1的距离为：d＝eq\f(|\o(C1O,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(\f(1,2),\r(2))＝eq\f(\r(2),4).答案B8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为A.eq\f(8,3)B.eq\f(3,8)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,4)解析如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(2，0，0)，A1(2，0，4)，B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，∴eq\o(D1B1,\s\up6(→))＝(2，2，0)，eq\o(D1A,\s\up6(→))＝(2，0，－4)，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0，0，4)，设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的法向量，则n⊥eq\o(D1B1,\s\up6(→))，n⊥eq\o(D1A,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(D1B1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(D1A,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋2y＝0，,2x－4z＝0，))令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2，1)．由eq\o(AA1,\s\up6(→))在n上的投影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝eq\f(|\o(AA1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(4,3).答案C9．直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝eq\f(9,5)，则点P到斜边AB的距离是________．解析以C为坐标原点，CA、CB、CP为x轴、y轴、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系．则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P(0，0，eq\f(9,5))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，3，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－4，0，eq\f(9,5))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))在AB上的投影长为eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(16,5)，所以P到AB的距离为d＝eq\r(|AP|2－（\f(16,5)）2)＝eq\r(16＋\f(81,25)－\f(256,25))＝3.答案310．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，则点B1到平面A1BC1的距离为______．解析如图所示，建立空间直角坐标系，则A1(4，0，3)，B1(4，6，3)，B(4，6，0)，C1(0，6，3)，eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(－4，6，0)，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(0，6，－3)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－4，0，3)，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝(0，6，0)，设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1C1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(A1B,\s\up6(→))＝0，))解得n＝(1，eq\f(2,3)，eq\f(4,3))．∴d＝eq\f(|\o(A1B1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(12\r(29),29).答案eq\f(12\r(29),29)11．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．解(1)建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，eq\f(1,2)，0)，F(eq\f(1,2)，1，0)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)，eq\o(PE,\s\up6(→))＝(1，eq\f(1,2)，－1)，设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，则n·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，且n·eq\o(PE,\s\up6(→))＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＝0，,x＋\f(1,2)y－z＝0.))令x＝2，则y＝2，，z＝3，所以n＝(2，2，3)，所以点D到平面PEF的距离为d＝eq\f(|\o(DE,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|2＋1|,\r(4＋4＋9))＝eq\f(3,17)eq\r(17)，因此，点D到平面PEF的距离为eq\f(3,17)eq\r(17).(2)因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝(0，eq\f(1,2)，0)，所以点A到平面PEF的距离为d＝eq\f(|\o(AE,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(1,\r(17))＝eq\f(\r(17),17)，所以AC到平面PEF的距离为eq\f(\r(17),17).12．(创新拓展)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD解如图所示，建立空间直角坐标系D­xyz，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)，从而eq\o(EF,\s\up6(→))＝(2，2，0)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(2，2，0)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－2，0，4)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－2，0，4)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))，∴EF∥MN，AM∥EF，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.∴平面AMN∥平面EFBD.设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，从而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(MN,\s\up6(→))＝2x＋2y＝0，