高三数学 经典例题精解分析 3-1-4 空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4双基达标限时20分钟1．对于空间中的三个向量a，b，2a－b.它们一定是A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．以上均不对答案A2．若向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))成为空间一组基底的关系是()．A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))解析对于选项A，由结论eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面知，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面；对于B，D选项，易知eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，故只有选项C中eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))不共面．答案C3．已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，则C的坐标是()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，\f(8,5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(4,5)，\f(8,5)))解析设点C坐标为(x，y，z)，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x，y，z)．又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－2，－4)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴x＝－eq\f(6,5)，y＝－eq\f(4,5)，z＝－eq\f(8,5).答案A4．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为____________．解析a，b的坐标即为i，j，k前面的系数，故a的坐标为(2，－4，5)，b的坐标为(1，2，－3)．答案(2，－4，5)(1，2，－3)5．设命题p：{a，b，c}为空间的一个基底，命题q：a、b、c是三个非零向量，则命题p是q的________条件．解析{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c不共面，所以a，b，c是三个非零向量，但反之不成立，故p是q的充分不必要条件．答案充分不必要6．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以底面正方形ABCD的中心为坐标原点O，分别以射线OB，OC，AA1的指向为x轴、y轴、z试写出正方体八个顶点的坐标．解设i，j，k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位坐标向量．因为底面正方形的中心为O，边长为2，所以OB＝eq\r(2).由于点B在x轴的正半轴上，所以eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\r(2)i，即点B的坐标为(eq\r(2)，0，0)．同理可得C(0，eq\r(2)，0)，D(－eq\r(2)，0，0)，A(0，－eq\r(2)，0)．又eq\o(OB1,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\r(2)i＋2k，所以eq\o(OB1,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0，2)．即点B1的坐标为(eq\r(2)，0，2)．同理可得C1(0，eq\r(2)，2)，D1(－eq\r(2)，0，2)，A1(0，－eq\r(2)，2)．综合提高（限时25分钟）7．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))为()．A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cB.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cD．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c解析如图所示，连接ON，AN，则eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(b＋c)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－2a＋b＋c)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.答案C8．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为()．A．(12，14，10)B．(10，12，14)C．(14，10，12)D．(4，2，3)解析8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k∴点A在{i，j，k}下的坐标为(12，14，10)．答案A9．设a，b，c是三个不共面的向量，现在从①a＋b；②a－b；③a＋c；④b＋c；⑤a＋b＋c中选出使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________．解析构成基底只要三向量不共面即可，这里只要含有向量c即可，故③④⑤都是可以选择的．答案③④⑤(答案不唯一，也可以有其它的选择)10．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，若记eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA,\s\up6(→))＝c，则eq\o(DE,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示)．解析eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1C,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)c＋eq\f(1,2)(a＋b－c)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.答案eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b11．如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，AA′＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(AM,\s\up6(→))；(3)eq\o(AN,\s\up6(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up6(→)).解连接AC，AD′.(1)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．(2)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋2b＋c)．(3)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up6(→))＋eq\o(AD′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋c.(4)eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)(eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(1,5)b＋eq\f(4,5)c.12．(创新拓展)已知{i，j，k}是空间的一个基底设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.试问是否存在实数λ，μ，υ，使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立？如果存在，