高考数学大一轮复习（选修4-4）-人教版高三选修4-4数学试题

选修4－4坐标系与参数方程第一节坐标系[考情展望]1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化特点.2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x，λ＞0，,y′＝μ·y，μ＞0))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．2．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图33所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．图333．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))ρ2＝x2＋y2tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0)4．圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ<2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ≤\f(π,2)))圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半径为r的圆ρ＝2rsinθ(0≤θ<π)5.直线的极坐标方程(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)．(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcosθ＝a.(3)直线过Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，\f(π,2)))且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsinθ＝b.考向一平面直角坐标系中的伸缩变换(2014·辽宁高考改编)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)求曲线C的标准方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【解】(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x1，,y＝2y1.))由xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝1得x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))2＝1，故曲线C的方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(y2,4)＝1，,2x＋y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所求直线斜率为k＝eq\f(1,2)，于是所求直线方程为y－1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，故所求直线的极坐标方程为ρ＝eq\f(3,4sinθ－2cosθ).规律方法11.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，利用方程思想求解．2．求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入转化．对点训练在平面直角坐标系中，经过伸缩变换eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5X′＝x，,4Y′＝y，))曲线C变为曲线X′2＋Y′2＝1，求曲线C的方程．【解】设曲线C上任意一点(x，y)，经过变换后对应的点为(X′，Y′)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5X′＝x，,4Y′＝y，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(X′＝\f(x,5)，,Y′＝\f(y,4).))代入曲线X′2＋Y′2＝1.得曲线C的方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.考向二极坐标与直角坐标系的互化在极坐标系中，已知圆C经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，圆心为直线ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)与极轴的交点，求圆C的直角坐标方程．图34【解】在ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，所以圆C的半径PC＝eq\r(\r(2)2＋12－2×1×\r(2)cos\f(π,4))＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.则ρ2＝2ρcosθ，∴x2＋y2＝2x，故圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.规律方法21.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0)．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，注意ρ，θ的取值范围及其影响；善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；灵活运用代入法和平方法等技巧．对点训练(1)(2014·湖北高考改编)已知曲线C1的方程为y＝eq\f(\r(3),3)x(x≥0)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，求C1与C2交点的直角坐标．(2)(2015·郑州调研)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,3)))，求C、P两点间的距离．【解】(1)将曲线C2：ρ＝2化为直角坐标方程x2＋y2＝4.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)xx≥0，,x2＋y2＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)，,y＝1.))故曲线C1与C2交点的直角坐标为(eq\r(3)，1)．(2)由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，∴圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4.所以圆心C的直角坐标为(2,0)．又点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,3)))的直角坐标为(2,2eq\r(3))，因此|CP|＝eq\r(2－22＋2\r(3)－02)＝2eq\r(3).考向三极坐标方程的应用在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝1，圆C的圆心的极坐标是Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,4)))，圆的半径为1.(1)求圆C的极坐标方程；(2)求直线l被圆C所截得的弦长．【解】(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝eq\f(π,4)－θ或∠AOD＝θ－eq\f(π,4)，OA＝ODcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))或OA＝ODcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))).(2)由ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝1，得eq\f(\r(2),2)ρ(sinθ＋cosθ)＝1，∴直线l的直角坐标方程为x＋y－eq\r(2)＝0，又圆心C的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))满足直线l的方程，∴直线l过圆C的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径2.规律方法31.本题中圆C的圆心过极点，从而得到∠AOD＝eq\f(π,4)－θ，或∠AOD＝θ－eq\f(π,4)，当然如果建系不同，曲线的极坐标方程也会不同，因此建立适当的极坐标系，可简化运算过程．2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．对点训练(2014·陕西高考改编)在极坐标系中，求点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直线ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1的距离．【解】点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))化为直角坐标为(eq\r(3)，1)，直线ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1化为ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinθ－\f(1,2)cosθ))＝1，得eq\f(\r(3),2)y－eq\f(1,2)x＝1，即直线的方程为x－eq\r(3)y＋2＝0，故点(eq\r(3)，1)到直线x－eq\r(3)y＋2＝0的距离d＝eq\f(|\r(3)×1－\r(3)×1＋2|,\r(12＋－\r(3)2))＝1.课时检测坐标系(建议用时：45分钟)1．(2015·石家庄调研)已知圆C的方程为x2＋y2＝2，圆C在点P(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．【解】由l与圆C：x2＋y2＝2相切，∴l的斜率k＝－1，则l的方程y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得ρ(cosθ＋sinθ)＝2，即ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\r(2).2．在极坐标系中，曲线C1：ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，求实数a的值．【解】ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝1，即eq\r(2)ρcosθ＋ρsinθ＝1，∴曲线C1的普通方程为eq\r(2)x＋y－1＝0，在曲线C1方程中，令y＝0，得x＝eq\f(\r(2),2).又曲线C2：ρ＝a(a>0)的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))代入曲线C2的方程x2＋y2＝a2，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋02＝a2，则a＝eq\f(\r(2),2).3．(2014·安徽高考改编)在极坐标系中，直线l的极坐标方程是ρ(cosθ－sinθ)＝4，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，求直线l被圆C截得的弦长．【解】直线l：ρ(cosθ－sinθ)＝4的直角坐标方程为x－y－4＝0.将圆C：ρ＝4cosθ化为直角坐标方程x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，∴圆C的圆心C(2,0)，半径r＝2.则圆心(2,0)到直线l：x－y－4＝0的距离d＝eq\f(|2－0－4|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，因此直线l被圆截得弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2).4．在极坐标系中定点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))，点B在直线l：ρcosθ＋ρsinθ＝0(0≤θ<2π)上运动，当线段AB最短时，求点B的极坐标．【解】∵ρcosθ＋ρsinθ＝0，∴cosθ＝－sinθ，tanθ＝－1.∴直线的极坐标方程化为θ＝eq\f(3π,4)(直线如图)．过A作直线垂直于l，垂足为B，此时AB最短．易得|OB|＝eq\f(\r(2),2).∴B点的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3π,4))).5．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2).(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．【解】(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－x－y＝0，,x－y＋1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))故直线l与圆O公共点的一个极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))).6．(2015·南京模拟)在极坐标系中，已知圆C的圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)))，半径r＝3.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且eq\o(OQ,\s\up12(→))＝2eq\o(QP,\s\up12(→))，求动点P的轨迹方程．【解】(1)设M(ρ，θ)是圆C上任意一点．在△OCM中，∠COM＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))，由余弦定理得|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))，化简得ρ＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3))).(2)设点Q(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)，由eq\o(OQ,\s\up12(→))＝2eq\o(QP,\s\up12(→))，得eq\o(OQ,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OP,\s\up12(→))，∴ρ1＝eq\f(2,3)ρ，θ1＝θ，代入圆C的方程，得eq\f(2,3)ρ＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))，即ρ＝9coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3))).7．已知圆O1和圆O2的极坐标方程为ρ＝2，ρ2－2eq\r(2)ρcosθ－eq\f(π,4)＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【解】(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4，因为ρ2－2eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2，所以ρ2－2eq\r(2)ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθcos\f(π,4)＋sinθsin\f(π,4)))＝2，所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2).8．(2014·天津高考改编)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，求实数a的值．【解】由ρ＝4sinθ，得x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，由直线ρsinθ＝a，得直线的直角坐标方程为y＝a.设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.在Rt△DOB中，易求DB＝eq\f(\r(3),3)a，∴B点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a，a)).又∵B在x2＋y2－4y＝0上，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2＋a2－4a＝0，解得a＝3(a＝0舍)．9．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cost，,y＝5＋5sint))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【解】(1)将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cost，,y＝5＋5sint))消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－8x－10y＋16＝0，,x2＋y2－2y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))所以C1与C2交点的极坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2))).10．从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，求|RP|的最小值．【解】(1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.∵ρ0cosθ＝4，∴ρ＝3cosθ，即为所求的轨迹方程．(2)将ρ＝3cosθ化为直角坐标方程，得x2＋y2＝3x，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2，知P的轨迹是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))为圆心，半径为eq\f(3,2)的圆．直线l的直角坐标方程是x＝4.结合图形易得|RP|的最小值为1.第二节参数方程[考情展望]1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt))并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．2．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt))就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)圆x2＋y2＝r2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ，,y＝rsinθ))(θ为参数)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))(φ为参数)考向一参数方程与普通方程的互化(2015·郑州质检)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝2t))(t为参数)，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2tan2θ，,y＝2tanθ))(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【解】因为直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝2t))(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,y2＝2x，))解得公共点的坐标为(2,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1)).规律方法11.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．对点训练(2014·福建高考)已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a－2t，,y＝－4t))(t为参数)，圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ))(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．【解】(1)直线l的普通方程为2x－y－2a圆C的普通方程为x2＋y2＝16.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝eq\f(|－2a|,\r(5))≤4，解得－2eq\r(5)≤a≤2eq\r(5).考向二参数方程及应用已知直线l经过点A(1,2)，倾斜角为eq\f(π,3)，圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数)．(1)求直线l的参数方程；(2)若直线l与圆C交于两点B、C，求|AB|·|AC|的值．【解】(1)∵直线l的倾斜角α＝eq\f(π,3)，∴cosα＝eq\f(1,2)，sinα＝eq\f(\r(3),2)，又直线l过点A(1,2)，因此l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝2＋\f(\r(3),2)t))(t为参数)．(2)由x＝3cosθ，且y＝3sinθ，消去θ.得圆C的直角坐标方程x2＋y2＝9.将直线l的参数方程代入x2＋y2＝9，得t2＋(1＋2eq\r(3))t－4＝0，∴t1t2＝－4.由参数t的几何意义得直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积为|t1t2|＝4.因此|AB|·|AC|＝4.规律方法21.对于形如eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y0＋bt))(t为参数)的参数方程，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．2．已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．对点训练(2014·课标全国卷Ⅰ)已知曲线C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直线l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【解】(1)曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|，则|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝eq\f(4,3).当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为eq\f(22\r(5),5).当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为eq\f(2\r(5),5).考向三参数方程与极坐标方程的综合问题(2014·课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝eq\r(3)x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．【解】(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cost，,y＝sint))(t为参数，0≤t≤π)．(2)设D(1＋cost，sint)，由(1)知，曲线C是以G(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆．又曲线C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tant＝eq\r(3)，t＝eq\f(π,3).故D的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋cos\f(π,3)，sin\f(π,3)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2))).规律方法31.(1)第(1)问将极坐标方程化为直角坐标方程，进而化为参数方程，但注意极角θ的范围对t的限制，常错为t∈[0,2π]．(2)理解参数t的意义，正确求得点D的直角坐标．2．本题将极坐标与参数方程交织在一起，考查逻辑思维能力及运算求解能力．善于将各类方程相互转化是求解该类问题的前提．对点训练在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝2＋2sinα))(α为参数)，M是C1上的动点，点P满足eq\o(OP,\s\up12(→))＝2eq\o(OM,\s\up12(→))，点P的轨迹为曲线C2.(1)求C2的参数方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝eq\f(π,3)与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.【解】(1)由eq\o(OP,\s\up12(→))＝2eq\o(OM,\s\up12(→))知，点M是线段OP的中点．设点P(x，y)，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，∵点M在曲线C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝2＋2sinα))上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝2cosα，,\f(y,2)＝2＋2sinα，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosα，,y＝4＋4sinα.))从而曲线C2的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosα，,y＝4＋4sinα))(α为参数)．(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.∴射线θ＝eq\f(π,3)与C1的交点A的极径ρ1＝4sineq\f(π,3)，射线θ＝eq\f(π,3)与C2的交点B的极径ρ2＝8sineq\f(π,3).故|AB|＝|ρ2－ρ1|＝4sineq\f(π,3)＝2eq\r(3).课时检测参数方程(建议用时：45分钟)1．设曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t2))(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．【解】将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t2))化为普通方程为y＝x2，由于ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以化为极坐标方程为ρsinθ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sinθ＝0.2．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(\r(2),2)t，,y＝2＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．【解】将直线l的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(\r(2),2)t，,y＝2＋\f(\r(2),2)t))代入抛物线方程y2＝4x，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(2),2)t))2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)t))，解得t1＝0，t2＝－8eq\r(2).所以AB＝|t1－t2|＝8eq\r(2).3．已知动点P、Q都在曲线C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cost，,y＝2sint))(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．【解】(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．M的轨迹的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα＋cos2α，,y＝sinα＋sin2α))(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M点到坐标原点的距离d＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(2＋2cosα)(0＜α＜2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．4．(2015·福州调研)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，直线l的极坐标方程为ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝a，且点A在直线l上．(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosα，,y＝sinα))(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．【解】(1)由点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))在直线ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝a上，可得a＝eq\r(2)，所以直线l的方程可化为ρcosθ＋ρsinθ＝2，从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1.因为圆心C到直线l的距离d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)＜1，所以直线l与圆C相交．5．已知P为半圆C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧eq\x\to(AP)的长度均为eq\f(π,3).(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程．【解】(1)∵M点的极角为eq\f(π,3)，且M点的极径等于eq\f(π,3)，故点M的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,3))).(2)M点的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(\r(3)π,6)))，A(1,0)，故直线AM的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－1))t，,y＝\f(\r(3)π,6)t))(t为参数)．6．(2014·湖南高考改编)在平面直角坐标系中，倾斜角为eq\f(π,4)的直线l与曲线C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosα，,y＝1＋sinα))(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l的极坐标方程．【解】消去曲线C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosα，,y＝1＋sinα))中的参数α，得(x－2)2＋(y－1)2＝1.由于|AB|＝2，因此|AB|为圆的直径．∴直线l过曲线C的圆心C(2,1)．又直线l的倾斜角为eq\f(π,4)，则k＝taneq\f(π,4)＝1.所以直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式，得ρcosθ－ρsinθ＝1.因此直线l的极坐标方程ρ(cosθ－sinθ)＝1.7．(2015·沈阳质检)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2eq\r(2).(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t3＋a，,y＝\f(b,2)t3＋1))(t∈R为参数)，求a，b的值．【解】(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y－22＝4，,x＋y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝4，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2，,y2＝2.))所以C1与C2交点的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4))).注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故