四川省广安市岳池县2022年九年级数学诊断考试(三)（含答案与解析）

广安市岳池县2022年九年级诊断考试（三）

数学试卷

X注意事项:

1.本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答

在答题卡上，答在本试卷上无效.

2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本

人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题

卡及本试卷上.

3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔

写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效.

4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.

一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，本大题共10个小题,每小题3

分，共30分）

1.实数6的倒数是（)

]_D.2

A—y/3B.±\/3C.

33

2.下列运算正确的是（)

A.a3*a2—a6B.(-2a2)3=-8*

C.(a-3)(a+3)=a2-6a+9D.(a+b)2=a2+b2

3.截止到2021年11月25日，诠释伟大抗美援朝精神电影《长津湖》累计票房已突破

56.9亿元，其中56.9亿用科学记数法表示为（）

A.5.69xlO8B.5.69xlO9C.56.9x10sD.0.569xl()10

4.下面几何体的主视图，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数为（）

A.4个D.1个

5.关于x的一元二次方程以2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是

A.。>-1且。:/:0B.“<1且aWOC.a<\D.a>-1

6.下列说法正确的是（）

A.了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查

B.一组数据5,5,3,4,1中位数是3

C.甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为S单2=11，S/=2.5,说明乙的成绩比甲稳定

D.“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件

7.正比例函数丁="优。0）与一次函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是

A.75°B.90°C.100°D.105°

9.如图，四边形ABC。内接于。。，如果它的一个外角NOCE=63°,那么N3。。的度数

C.116°D.117°

10.二次函数卜=改2+法+c（〃wO）的图象如图所示.下列结论：®abc>Qx②

2。+方=0;③根为任意实数，则Q+Z?>Qm2+初%;④Q—〃+c>0；⑤若

6；+法]且玉,则X]+々=2.其中正确结论的个数有（）

C.4个D.5个

二、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11分解因式：3mx2-6mxy+3my2=

12.如图，Zl,Z2,/3是五边形A8CDE的3个外角，若/A+/8=240。，则

Zl+Z2+Z3=.

13.已知点P（2-x,3x+6）到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为.

14.有一面积为5后的等腰三角形，它的一个内角是30。，则以它的腰长为边的正方形的

面积为•

15.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是

y=60t--t2.在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是m.

16.按如图所示的程序进，行计算，计算按箭头指向循环进行，当初始输入为5时，第

2022次计算的结果为.

三、解答题

17.计算题：（乃—2021）°+脆+（-1）2侬—Gtan30°.

18.先化简，再求值：1——"勺3土1,请在0、±1、±2中选一个你喜欢的数

。+2。a-4a

字求值.

19.如图，Z^=ZC=90°,E是BC的中点，OE平分NAOC,求证:

(1)AB+CD=AD；

(2)AE.LDE.

nq

20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数凹=丘+人的图像与反比例函数必=一

x

(旅视)的图像交于月(2,5),B(-5,n).

(1)分别求出两个函数的解析式；

(2)求4OAB面积.

四、实践应用题

21.某校为了解九年级同学学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级同学进行了

问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级.学校绘制

了如图不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：

«青年大学习》学习情况条形统计图《杳年大学习》学习情况扇形统计图

(1)将条形统计图补充完整;

（2）若该校九年级有800名学生，请估计九年级学生“青年大学习”学习情况为“优秀”

和“良好”的一共有多少名？

（3）该校某班有3名同学（1名男同学、2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主

任将从这3名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大

赛.请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概

率.

22.为预防新冠病毒，某大型商场积极响应政府号召，除对进入商场人员进行体温测量、

督促戴口罩外，每天还对商场全面消毒.经了解，该商场购买的是A,8两种桶装消毒

液，已知2桶A种消毒液和3桶8种消毒液共需要1200元；5桶A种消毒液和1桶8种消

毒液共需要1700元.

（1）求A,8两种消毒液每桶的单价；

（2）政府规定：一次购买A种消毒液30桶以上，买几桶每桶补贴几元（每桶最多补贴

100元）；B种消毒液没有补贴.若该商场一次购买两种消毒液共100桶，且A种消毒液桶

数不少于B种消毒液桶数的|,则商场最少要花多少钱？

23.在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头.如图，

学校大门高ME=7.5米，AB为体温监测有效识别区域的长度，小明身高B£>=1.5米，他

站在点B处测得摄像头M的仰角为30°,站在点A处测得摄像头M的仰角为60。，求体温

监测有效识别区域4B的长度.（0弓1.41,6。1.73）结果精确到0.1米

24.如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”.请将“弦图”中的四个直角三

角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另外两个不同的图案.画图要求：①

每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案

（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形.

二

二

二

rmT一LT

uX」X

lrIII

二

二

二

rT二LT

LLXL±

二

二

二

l二Il

rIL^

II

L」l

二

二

二

lI二Il

b+L+

一

一

一

二

Lt-L1」l

I

l—Ll

b4++

-

—

—

—

-—

图①图②图③

五、推理论证题

25.如图，A8为。0的直径，点。为圆外一点，连接A。、BD,分别与。。相交于点C、

E,且AC=CE，过点C作C尸，8。于点F,连接8c.

(1)求证：CF是的切线；

(2)若NCBQ=30°,AC=5,求阴影部分面积(结果保留苏.

六、拓展探究题

26.如图1,一次函数y=Gx-46的图象分别与x轴，y轴交于8,C两点，二次函数y

=公2-的图象过-C两点，且与x轴交于另一点A.

（2）点P是二次函数图象的一个动点，设点P的横坐标为山，若NABC=2NABP.求加

的值；

（3）如图2,过点C作C£>〃x轴交抛物线于点。.点M是直线3C上一动点，在坐标平

面内是否存在点N,使得以点C,D,M,N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出

点N的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，本大题共10个小题，每小题3

分，共30分）

1.实数6的倒数是（）

]C

A.-V3B.±6C.-"?

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用倒数的定义分析和二次根式的化简即可得出答案，相乘为1的两个数即

为倒数.

【详解】解：实数6的倒数是：丧=乎.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式化简、倒数的定义，正确化简二次根式是解题的关键.

2.下列运算正确的是（）

2

A.〃3・O2=〃6B.（-2a）3=-8*

C.(a-3)(a+3)=a2-6«+9D.(a+b)2=屋+加

【答案】B

【解析】

【分析】根据同底数幕的乘积，积的乘方，乘法公式，对各选项记性计算求解，然后判断

即可.

【详解】解：A中「2=^,不符合题意；

B正确，符合题意；

C中(a-3)(a+3)=a2-9＞不符合题意；

D中(a+0)2=/+2ah+〃，不符合题意；

故选B.

【点睛】本题考查了同底数基的乘积，积的乘方，乘法公式.解题的关键在于正确的计

算.

3.截止到2021年11月25日，诠释伟大抗美援朝精神的电影《长津湖》累计票房已突破

56.9亿元，其中56.9亿用科学记数法表示为()

A.5.69xl08B.5.69xlO9C.56.9xl08D.

0.569xlO10

【答案】B

【解析】

【分析】根据科学记数法的表示形式进行改写即可.

【详解】56.9亿=5690000000=5.69xl09

故选：B.

【点睛】本题考查了科学记数法得表示方法，科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其

中1S时＜10,〃为整数，表示时关键要正确确定a和〃的值.

4.下面儿何体的主视图，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数为()

【答案】B

【解析】

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】解：圆柱的主视图是矩形，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形;

圆锥的主视图是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；

球的主视图是圆，圆既是轴对称图形又是中心对称图形；

长方体的主视图是矩形，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形；

故共有3个图形既是轴对称图形又是中心对称图形.

故选：B.

【点睛】本题考查了几何体的三视图以及中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形

的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中

心，图形旋转180。后与原图重合.

5.关于x的一元二次方程加-2x-1=0有两个不相等的实数根，则。的取值范围是

()

A.。>-1且〃金0B.且aWOC.a<\D.a>-1

【答案】A

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义，由方程有两个不相等的实数根，得到一元二次方程根

的判别式大于0,求出〃的范围即可.

【详解】解：♦.•关于x的一元二次方程底-您-1=0有两个不相等的实数根，

；.分0,△=(-2)2-4X“X(-1)>0,

解得：a>-l且在0.

故选：A.

【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关

键.

6.下列说法正确的是()

A.了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查

B.一组数据5,5,3,4,1的中位数是3

C.甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为S”，2=1.1,S乙2=2.5,说明乙的成绩比甲稳定

D.“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件

【答案】D

【解析】

【分析】根据全面调查和抽样调查的特点，中位数的定义，方差的意义，随机事件的定义

分别进行判断即可.

【详解】A、了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，故A说法错

误；

B、一组数据5,5,3,4,1,先排序：5,5,4,3,1,中位数是4,故B说法错误；

C、S/<SJ,说明甲的成绩比乙稳定,，故C说法错误；

D、“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，故D说法正确，

故选：D.

【点睛】本题考查了全面调查和抽样调查的特点，中位数的定义，方差的意义，随机事件

的定义，解题关键是正确理解和应用相关的概念.

7.正比例函数丁="（％。0）与一次函数y=x+女在同一平面直角坐标系中图象可能是

【解析】

【分析】根据一次函数自变量x的系数为1,可判定一次函数的图象经过一、三象限，再

对一次函数丁=龙+左和正比例函数y=依分类讨论，若%>0时，刚好符合题意的是c

选项.

【详解】A选项，若一次函数的图象正确，则%>（）,此时正比例函数图象经过一、三象

限，但图上经过二、四象限，不正确；

B选项，一次函数的图象错误，不正确；

C选项，若一次函数的图象正确，则攵〉0,此时正比例函数图象经过一、三象限，正确；

D选项，若一次函数的图象正确，则k<0,此时正比例函数图象经过二、四象限，但图

上经过一、三象限，不正确；

故选C.

【点睛】本题考查正比例函数y=Ax（左。0）和一次函数丁=米+。伏¥0）中攵、。对图象

的影响，熟练掌握左、b决定函数图象过的象限是解决本题的关键.

8.将一副直角三角尺的按照如图所示方式叠放在一起（其中N4=60。，ZB=30°,ZC=

/。=45。），若AB〃CD,则/AOC等于（）

AB

C.100°I).105°

【答案】D

【解析】

【分析】连接AC,根据平行线的性质得到NBAC+NOCA=180。，进而得到/C4O+/ACO

=75。，根据三角形内角和定理即可求得NAOC.

【详解】解：如图，连接AC,

'CAB//CD,

：.ZBAC+ZDCA=\^°,

即ZBAO+ZCAO+ZACO+ZDCO=180°,

VZBAO=60°,Z£>CO=45°,

：.ZCAO+ZACO=iSO0-60°-45°=75°,

ZCAO+ZACO+ZAOC=180°,

NAOC=180。-ZCAO+ZACO=180°-75°=105°,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟记“两直线平行，同旁内角

互补”是解决问题的关键.

9.如图，四边形A8CZ）内接于。。，如果它的一个外角N£>CE=63°,那么NBOO的度数

为（）

o

\D

A.63°B.126°C.116°D.117°

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆内接四边形的性质求出NA,根据圆周角定理解答即可.

【详解】解：•.,四边形ABC。内接于。O,NDCE=63°,

.,./A=NOCE=63°,

由圆周角定理，得/8。。=2/4=126°,

故选:B.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补

是解题的关键.

10.二次函数尸加+以+c（"0）的图象如图所示.下列结论：①曲c>0；②

2a+b=0-.③机为任意实数，则a+Z?>am2+Zw?；®a—b+c>0；⑤若

々=2.其中正确结论的个数有（）

C,4个D.5个

【答案】A

【解析】

【分析】由抛物线的开口方向判断。与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与。的关

系，然后根据对称轴及抛物线马x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】解：①抛物线开口方向向下，则“V0.

抛物线对称轴位于y轴右侧，则“、b异号，即曲<0.

抛物线与）■轴交于正半轴，则。>0

所以abc<0.

故①错误.

b

②•.•抛物线对称轴为直线4-一=1,

2a

b=-2a,即2a+b=0,

故②正确；

③•••抛物线对称轴为直线A1,

函数的最大值为：a+b+c,

.,.当时，a+b+c>air^+bm+c,HPa+b>am2+bm,

故③错误；

④••,抛物线与x轴的一个交点在(3,0)的左侧，而对称轴为直线x=l,

(3,0)关于直线x=l的对称点为(-1,0),抛物线与x轴的另一个交点在(-1,0)的

右侧

当x=-\时，yVO,

/.a-b+c<0,

故④错误；

⑤ax\1+bx\=ax^+bx2,

/.ax\2+hx\-ax22-bx2=0,

.'.a(xi+%2)(X1-X2)+b(X1-X2)=0,

(X1-X2)1a(xi+%2)+句=0,

而Xl分2,

b

.".a(xi+*2)+b-0,即xi+x2=----,

a

：b=-2a,

；.X|+X2=2,

故⑤正确.

综上所述，正确的有②⑤.

故选：A.

【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2〃与b的

关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.

二、选择题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11.分解因式：3nvc-6mxy+3my2-_.

【答案】3m(x-y)2

【解析】

【分析】先提取公因式3瓶，再利用完全平方公式分解因式即可.

【详解】原式=3加(玄一2利+/)

=3〃?(x—y)~.

故答案为：3m(x-y)2.

【点睛】本题考查分解因式，掌握提公因式法和公式法分解因式是解答本题的关键.

12.如图，Zl,Z2,N3是五边形ABCZJE的3个外角，若NA+NB=240。，则

Zl+Z2+Z3=.

【答案】240°

【解析】

【分析】首先根据多边形内角和定理求出五边形的内角和，然后由/A+NB=240。，求出

NAEO+NEDC+/BCQ的度数，最后根据多边形内角和外角的关系即可求出N1+N2+N3

的度数.

【详解】解：•••五边形的内角和为:(5-2)xl80°=540°,ZA+ZB=240°,

,ZAED+ZEDC+ZBCD=540°-240°=300°,

Zl+N2+N3=3xl80°-300°=240°.

故答案为：240°.

【点睛】此题考查了多边形内角和定理，多边形内角和外角的关系，解题的关键是熟练学

握多边形内角和定理，多边形内角和外角的关系.

13.已知点尸(2-x,3x+6)到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为.

【答案】(6,-6)或(3,3)

【解析】

【分析】根据点到坐标轴的距离的定义，分点的横坐标与纵坐标相等和互为相反数列式子

求出x的值，然后求解即可.

【详解】•••点P(2-x,3x+6)到两坐标轴的距离相等，

则①2-x+3x+6=。

解得：x=Y,

，点P的坐标为(6,-6)

②2—无=3x+6,

解得：x=-l,

・・•点P的坐标为(3,3),

综上：点P的坐标为(3,3),(6,-6),

故答案为：(6,-6)或(3,3).

【点睛】本题考查了点的坐标，是基础题，难点在于分两种情况求解.

14.有一面积为5石的等腰三角形，它的一个内角是30。，则以它的腰长为边的正方形的

面积为.

【答案】20g或20.

【解析】

【详解】试题分析:分两种情形讨论①当30度角是等腰三角形的顶角，②当30度角是底角,

①当30度角是等腰三角形的顶角时，如图1中，

当/A=30°,AB=AC时，设AB=AC=a,

作BD_LAC于D,VZA=30°,

BD=—AB=—a,

22

—a=573>

22

a2=20G,

.,.△ABC的腰长为边的正方形的面积为2073.

②当30度角是底角时，如图2中，

当NABC=30。，AB=ACB^,作BD_LCA交CA的延长线于D,设AB=AC=a,

VAB=AC,

/ABC=/C=30。，

.•.ZBAC=120°,ZBAD=60°,

在RTAABD中，ZD=90°,ZBAD=60°,

.,.BD=—a,

2

—必a=573>

22

.*.a2=20,

.'.△ABC的腰长为边的正方形的面积为20.

A

考点：正方形的性质；等腰三角形的性质.

15.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是

y=60t--Z2.在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是m.

【答案】24

【解析】

【分析】先利用二次函数的性质求出飞机滑行20s停止，此时滑行距离为600m,然后再将

t=20-4=16代入求得16s时滑行的距离，即可求出最后4s滑行的距离.

33

【详解】y=60t--t2=-一（t-20）2+600,即飞机着陆后滑行20s时停止，滑行距离为600m,

22

当t=20-4=16时，y=576,

600-576=24,

即最后4s滑行的距离是24m,

故答案为24.

【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练应用二次函数的性质解

决问题.

16.按如图所示的程序进，行计算，计算按箭头指向循环进行，当初始输入为5时，第

2022次计算的结果为.

【答案】4

【解析】

【分析】根据题意求得前7次的结果，得到结果的循环关系，然后根据关系即可求解.

【详解】解：第1次输出结果为3x5+1=16,

第2次输出结果为一=8,

2

Q

第3次输出结果为大=4,

2

4

第4次输出结果为一二2,

2

第5次输出结果为2=1,

2

第6次输出结果为3xl+l=4,

4

第7次输出结果为一=2,

2

得该数列从第三次开始以4,2,1,这3个数依次循环，

2022-2=2020,

2020+3=673……1,则第2022个数和第6次相等，即为4.

故答案为：4

【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，代数式求值的问题，

熟练找出规律是解答本题的关键.

三、解答题

17.计算题：(万一2021)°+我+(-1)改2一J5tan3O。.

【答案】3

【解析】

【分析】先根据零指数幕，立方根的性质，乘方，特殊角锐角三角函数值化简，再合并，

即可求解.

【详解】解：(〃一2021)°+我+(-1)2侬一6tan30。

=l+2+l-V3x—

3

=1+2+1-1

=3

【点睛】本题主要考查了零指数累，立方根性质，乘方，特殊角锐角三角函数值，二次

根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

18.先化简，再求值：1-一一产+1,请在0、±］、±2中选一个你喜欢的数

a+2。a-4a

字求值.

33

恪案】不’5

【解析】

【分析】根据分式加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后将。的值代入原式即

可求出答案.

【详解】解：原式=1一一£±!_^£1±3£±1

cT+2。ci—4。

]<74-1a(a+2)(。一2)

a(a+2)(a+1)12

a—2

=1------

a+1

a+1ci-2

a+\a+\

3

a+1

由分式有意义的条件可知a不能取±2,0,-1,

33

，当a=l时，原式=....——.

1+12

【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件及分式运算，根据分式的加减运算法则以及乘

除运算法则进行化简是解题关键.

19.如图，NB=/C=90°,E是BC的中点，ZJE平分NAZJC,求证：

(1)AB+CD=AD；

(2)AEA.DE.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】(1)延长。E交A8的延长线城于点凡通过证明△COE与△8EF全等，说明C。

与BF的关系，再利用等腰三角形的性质得结论；

(2)利用等腰三角形的三线合一得结论.

【小问1详解】

证明：延长。E交A8的延长线城于点凡

*/ZABC=ZC=90°,

：.DC//AB,

：.^CDF=ZF.

•.•点E是8c中点，

CE=BE,

NCDE=NF

在RCDE和ABFE中，<ZDEC=NBEF,

CE=BE

：./^CDE^/\BFE（A4S）.

/.CD=BF.

平分NAOC,

，ZADE=ZCDE.

：.ZADE=ZF.

：.AD=AF^AB+BF^AB+CD；

【小问2详解】

证明：由（1）知ACDE注ABFE,

:.DE=FE.

由（1）知A£>=AF.

：.AE±DE.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法、性质及等腰

三角形的性质是解决本题的关键.

20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数必=依+人的图像与反比例函数为=竺

(777/0)的图像交于A(2,5),B(-5,〃).

（1）分别求出两个函数的解析式；

（2）求△OAB的面积.

【答案】（1）反比例函数的解析式为必=电，一次函数的解析式为X=x+3;

x

、21

（2）—

2

【解析】

【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；

（2）设直线AB交y轴于点C,可得点C（0,3）,再由SAOAB=S^oc+,即可求

解.

【小问1详解】

m

解：・・,一次函数x=h+〃的图像与反比例函数%二一（〃?r0）的图像交于A（2,5）,

x

m

・・.5=—,解得：根=10,

2

...反比例函数的解析式为%=w,

X

当x=-5时，y2=—=—2,

-5

:.点、B(-5,-2),

把点A(2,5),B(-5,-2)代入乂=履+。得:

'2k+b=5伙=1

>解得：,

-5k+b--2b=3

一次函数的解析式为y=x+3；

【小问2详解】

解：如图，设直线48交y轴于点C,

当%=o时，％=3,

.•.点C(0,3),

；.OC=3,

^&OABS^oc+5丛"=5x3x5+/x3x2=5.

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握待定系数法求函数

解析式，掌握坐标系内求图形面积的方法.

四、实践应用题

21.某校为了解九年级同学学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级同学进行了

问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级.学校绘制

了如图不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：

«青年大学习》学习情况条形统计图《青年大学习》学习情况扇形统计图

(1)将条形统计图补充完整；

(2)若该校九年级有800名学生，请估计九年级学生“青年大学习”学习情况为“优秀”

和“良好”的一共有多少名？

(3)该校某班有3名同学(1名男同学、2名女同学)在调查中获得“优秀”等级，班主

任将从这3名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大

赛.请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概

率.

【答案】(1)答案见解析

(2)560

【解析】

【分析】（1）利用优秀的人数除以优秀的人数所占的百分比可得抽查的人数，则计算出良

好的人数，然后将条形统计图补充完整即可；

（2）由九年级总人数乘以“优秀”和“良好”所占的比例即可；

（3）利用树状图法求出所有可能，进而求出概率.

【小问1详解】

解：（1）抽取的学生数为：24+30%=80（人）；

抽取的学生中良好的人数为：80-24-16-8=32（人），

将条形统计图补充完整如图：

《青年大学习》学习情况条形统计图

80

即估计九年级学生“青年大学习”学习情况为“优秀”和“良好”的一共有560名;

【小问3详解】

画树状图如图：

开始

/I、

男女W

AAA

女女男女男女

共有6个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的有4个，

42

•••所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为二=I.

【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率、扇形统计图和条形统计图的应用，正确画

出树状图是解题关键.

22.为预防新冠病毒，某大型商场积极响应政府号召，除对进入商场人员进行体温测量、

督促戴口罩外，每天还对商场全面消毒.经了解，该商场购买的是A,8两种桶装消毒

液，已知2桶A种消毒液和3桶B种消毒液共需要1200元；5桶A种消毒液和1桶B种消

毒液共需要1700元.

(1)求A,B两种消毒液每桶的单价；

(2)政府规定：一次购买A种消毒液30桶以上，买几桶每桶补贴几元(每桶最多补贴

100元)；B种消毒液没有补贴.若该商场一次购买两种消毒液共100桶，且A种消毒液桶

数不少于B种消毒液桶数的|，则商场最少要花多少钱？

【答案】(1)4种消毒液的单价是每桶300元，8种消毒液的单价是每桶200元;

(2)该商场最少要花20000元

【解析】

【分析】设A种消毒液的单价是每桶x元，B种消毒液的单价是每桶y元.由题意：2桶A

种消毒液和3桶B种消毒液共需要1200元；5桶A种消毒液和1桶B种消毒液共需要1700

元.列出二元一次方程组，解方程组即可；

(2)设商场购买A种消毒液机桶，总费用为w元.先求出，"240,再由卬=(300-m)

〃7+200(100-m)=-0-50)2+22500,即可求解.

【小问1详解】

解：设A种消毒液的单价是每桶x元，8种消毒液的单价是每桶〉元.

根据题意，得：

2x+3y-1200

5x+y=1700

答：A种消毒液的单价是每桶300元，8种消毒液的单价是每桶200元.

【小问2详解】

设商场购买A种消毒液皿桶，总费用为卬元.

2

Vm>—(100-//2),

.♦.nt240,

/.w—(300-in)/n+200(100-w)=-zn2+100/n+20000=-(/«-50)2+22500,

当胆=100时，卬有最小值，为20000.

答：该商场最少要花20000元

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二次函数的性质等知识；熟练掌握二次函数

的性质，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键.

23.在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头.如图，

学校大门高ME=7.5米，AB为体温监测有效识别区域的长度，小明身高BO=1.5米，他

站在点B处测得摄像头M的仰角为30°,站在点A处测得摄像头M的仰角为60。，求体温

监测有效识别区域4B的长度.1.41,6“1.73）结果精确到0.1米

【答案】6.9X.

【解析】

【分析】过。作。于F,先证四边形O8AC为矩形，再证四边形O8E尸为矩形，得

出FE=BD=1.5米，可求MF=ME-EF=1.5-\.5=6米，在RtAMFC中

MF

心MF6DF==-^=6A/3

CF=——二=r==213米，在中，tan30°M米即

tan60°J3—

3

可.

【详解】解：过。作。凡LME于凡

「AC与8。都是小明身高，

：.AC/7BD,且AC=8£>,ZDBA=90°

四边形。氏4c为矩形，

：.AB=CD,CD〃AB,

：.DF//BE,BD〃FE,ZDBE=90°,

...四边形。BE尸为矩形，

.,.FE=BO=L5米，

MF=ME-EF=7.5-1.5=6米，

〜MF

在RtAMFC中tan60°=——，

CF

：.CF=上吟=《=2百米，

tan60°G

在RtAMFD中,tan3(T=——

CF

…飞…米,

3

：.CD=DF-CF=Qy/3_273=4次21.73=6.92=69米,

；.AB=6.9米.

【点睛】本题考查解直角三角形在生活中运用，矩形性质，仰角，锐角正切函数定义，线

段和差，掌握解直角三角形的方法，矩形性质，仰角，锐角正切函数定义，线段和差是解

题关键.

24.如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”.请将“弦图”中的四个直角三

角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另外两个不同的图案.画图要求：①

每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案

（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形.

二

二

rmrr二TTT-

kl^^X-

lIII4I.

二

二

二-

rrrrTT

L-LLX-II-X-

一

一

二

II—

1IIT-

rr十

L-LrI十1-

二

二

L一I

II--

HTI

b+十

-

二

二

LTLM二1-t-1

I十

TI—II-

bb^++

1

—

1—TI

-I

图①图②T图③

【答案】见解析

【解析】

【分析】

【详解】解析：运用基本图形二,按照轴对称和中心对称的特点以及画图规律直接绘制

图形即可.

答案：解：如下图所示，答案不唯一.

易错：容易把三角形画成重叠的.

错因：没有看清题目要求.

满分备考：由“基本图形''经过旋转、轴对称、平移等可以得到美丽而丰富的图案，而图案

涉及的关键是确定基本图形，制定图形变换的具体操作程序.注意应用几种常见的图形变

换.

五、推理论证题

25.如图，AB为的直径，点。为圆外一点，连接A。、BD,分别与。0相交于点C、

E,且AC=CE，过点C作CFLBO于点尸，连接BC.

(1)求证：CF是的切线；

(2)若NCBZ)=30°,AC=5,求阴影部分面积(结果保留TT).

【答案】(1)见解析(2)阴影部分面积为：5(/-75..

12

【解析】

【分析】(1)要证明CF是。。的切线，所以想到连接OC,只要证明OC〃B。即可解答；

(2)根据已知可得NCBA=30。，所以可求出NAOC=60。，再证明△40C是等边三角形，利

用扇形AOC的面积减去△AOC的面积即可.

【小问1详解】

证明：连接0C,

D

":CF工BD,

：.ZCFD=90°9

•・•AC=CE，

・・・/ABC=/CBD,

•：OC=OB,

：./ABC=/OCB,

:.ZOCB=ZCBD9

：.OC〃BD,

・・・NOCr=NCFO=90。，

・・・0C是圆。的半径，

・・・C/是。O的切线；

【小问2详解】

解：・・・A3为。。的直径，

・・・ZACB=90°f

•：NC8O=30。,

・・・ZABC=ZCB£>=30°,

,ZAOC=2ZABC=60°,

•：OA=OC,

•••△AOC是等边三角形，

・・・N048=60。，AO=AC=5t

：.AB=\Of

由勾股定理得8C=5石，

।।ocn

△ABC的面积=-4GBC=-x5x5百

222

,：OA=OB,

...AAOC的面积=-AABC的面积=至叵，

24

.••阴影部分面积=扇形